重難點培優(yōu)04常見函數(shù)與函數(shù)中的新定義問題目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）TOC\o"12"\h\u01知識重構?重難梳理固根基 102題型精研?技巧通法提能力 4題型一對勾函數(shù)（★★★★） 4題型二反函數(shù)（★★★） 7題型三高斯函數(shù)（★★★★） 11題型四狄利克雷函數(shù)（★★★） 16題型五最值函數(shù)（★★★★） 19題型六黎曼函數(shù)（★★★） 25題型七倍值函數(shù)（★★★） 31題型八給出其他新性質(zhì)定義（★★★★★） 37題型九給出其他新概念定義★★★★★） 46題型十給出其他新運算定義（★★★★★） 5503實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效 59檢測Ⅰ組重難知識鞏固 59檢測Ⅱ組創(chuàng)新能力提升 851、反函數(shù)（2）性質(zhì)③互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性相同；④反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域；⑤單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)．2、對勾函數(shù)解析式圖像定義域漸近線值域奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性（1）定義：不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，這一規(guī)定最早為數(shù)學家高斯所使用，故函數(shù)y＝[x]稱為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù).（2）性質(zhì)①定義域：R；值域：Z.②不具有單調(diào)性、奇偶性、周期性.（3）圖象（1）定義域R；值域{0，1}.（2）奇偶性：偶函數(shù).（3）周期性：以任意正有理數(shù)為其周期，無最小正周期.（4）無法畫出函數(shù)的圖象，但其圖象客觀存在.5、最值函數(shù)設min{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a＞b，))max{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a＜b.))直觀上來說min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我們將其稱為最小值函數(shù)，同樣，max{a，b}用來表示a，b的最大值，稱作最大值函數(shù).6、倍值函數(shù)7、函數(shù)中的新定義問題（1）常見題型①利用函數(shù)中的新定義及相關知識求參數(shù)取值范圍；②利用函數(shù)中的新定義及相關知識探究問題是否成立.（2）解決方案聯(lián)系所學函數(shù)的相關知識和方法解決問題函數(shù)中的新定義型問題（3）常用方法①理解函數(shù)的新定義；②將新定義問題轉(zhuǎn)化為已知問題；③利用函數(shù)的性質(zhì).（4）失誤與防范①注意函數(shù)的定義域；②注意對結果的檢驗；③利用方程思想.題型一對勾函數(shù)【技巧通法·提分快招】【答案】D故選：D【答案】C【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.故選：CA．3 B．4 C．6 D．8【答案】C故選：C【答案】AC【分析】根據(jù)題設“對勾函數(shù)”的性質(zhì)討論參數(shù)a的范圍，結合最值之差列方程求參數(shù)，即可得答案.故選：AC【答案】/0.75所以實數(shù)的最大值為．故答案為：題型二反函數(shù)【技巧通法·提分快招】A． B． C． D．【答案】A故選：A.【答案】D故選：D.C．關于x軸對稱 D．關于原點對稱【答案】A故選：A.【答案】D故選：D.【答案】D

故選：D.【答案】B故選：B.題型三高斯函數(shù)【技巧通法·提分快招】高斯函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：R；（2）值域：Z.（3）不具有單調(diào)性、奇偶性、周期性.【答案】C故選：C.【答案】C故選：C【答案】D【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義分區(qū)間討論結合對數(shù)函數(shù)的圖象判定即可.故選：D【點睛】思路點睛：對于高斯函數(shù)相關的函數(shù)可以分區(qū)間討論其函數(shù)形式，然后利用方程轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點問題，數(shù)形結合計算即可.【答案】AC【分析】根據(jù)取整函數(shù)的定義判斷各選項.故選：AC.【答案】ABD

故選：ABD．【答案】ABD題型四狄利克雷函數(shù)【技巧通法·提分快招】狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域R；值域{0，1}.（2）奇偶性：偶函數(shù).（3）周期性：以任意正有理數(shù)為其周期，無最小正周期.（4）無法畫出函數(shù)的圖象，但其圖象客觀存在.A．0 B．1 C． D．【答案】B故選B.【答案】D故選：D.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分與必要條件的概念即可求解.故選：AA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】結合奇偶函數(shù)以及周期函數(shù)的定義判斷①②④，應用零點的定義判斷③，可得出結果.故選：C【答案】ABD若為有理數(shù),則為有理數(shù)，可得若為無理數(shù),則為無理數(shù)，可得對任意有理數(shù)，若為有理數(shù)，則為有理數(shù)，【答案】BD故選：BD題型五最值函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，分段求解不等式即可.故選：A【答案】B畫出函數(shù)圖象如下：

顯然最小值為2，不合題意，

顯然函數(shù)在點取得最小值，

顯然函數(shù)在點取得最小值，故選：B【答案】ACD故選：ACD.【答案】ABD【分析】化簡函數(shù)解析式，代值計算可判斷AB選項；作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結合可判斷CD選項.故選：ABD.【答案】故答案為：(2)答案見解析題型六黎曼函數(shù)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意結合奇函數(shù)性質(zhì)分析求解.故選：A.【答案】D故選：D【答案】ACD【分析】根據(jù)黎曼函數(shù)的定義域分類對函數(shù)進行分析，再對每一個選項逐一分析判斷，即可求出結果.故選：ACD【答案】ABC故選：ABC【答案】BC【分析】根據(jù)黎曼函數(shù)R（x）的性質(zhì)求解判斷.故選：BC題型七倍值函數(shù)【答案】C故選:C．【點睛】方法點睛：用導數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結合來解決．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)所給定義得到方程組，再構造函數(shù)利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷函數(shù)的零點，從而得解.故選：B下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有（）【答案】ABD【分析】根據(jù)定義分別討論是否滿足“倍值區(qū)間”的兩個條件，即可得出結論.故選：ABD．【答案】②③故答案為：②③.【答案】(1)2(2)(3)1（3）根據(jù)“倍值函數(shù)”，且存在唯一的“倍值區(qū)間”分類討論即可.因為存在唯一的“倍值區(qū)間”，題型八給出其他新性質(zhì)定義【技巧通法·提分快招】（1）嘗試用自己的話復述新信息的核心要點，清晰流暢的表述是理解透徹的標志（2）探索新信息與現(xiàn)有知識體系的聯(lián)系，通過對比分析來把握新知識的內(nèi)在屬性和運作規(guī)律【答案】D【分析】根據(jù)新定義結合條件逐項進行驗證．故選：D．【答案】D【分析】根據(jù)性質(zhì)的定義，結合各個函數(shù)的圖象，數(shù)形結合，即可逐一判斷各選擇.故選：D.【答案】B【分析】利用基本不等式判斷A，舉反例判斷B，利用作差法判斷C，D即可.故選：B(1)判斷以下三個函數(shù)是否具有平移不變性，若具有該性質(zhì)，則直接寫出一個平移方向．【分析】（1）由平移不變性定義結合函數(shù)周期性可得答案；【點睛】關鍵點睛：對于函數(shù)新定義問題，關鍵為讀懂定義；將新問題轉(zhuǎn)化為與已解決問題有關的問題，是我們常見處理問題的手段.（2）根據(jù)余弦函數(shù)的周期性，即可求出的取值集合.（3）采用數(shù)形結合的思想，進行分類討論分析即可得出結論.

（2）（?。├闷婧瘮?shù)的性質(zhì)以及題干的定義即可證明結論.題型九給出其他新概念定義【技巧通法·提分快招】（1）學會通過具體例子來體現(xiàn)抽象概念，將復雜理論以簡單應用的形式展現(xiàn)出來，以此促進對概念的深刻理解（2）若新信息是對傳統(tǒng)概念的擴展，應細致比較其與傳統(tǒng)概念的異同，并明確在何種情境下適宜運用書中的理論。A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B故選：B.（4）若為，則也為（為自然對數(shù)的底數(shù)）.A．（1）（4） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）【答案】C【分析】根據(jù)題目新定義，以及對數(shù)運算和三角函數(shù)性質(zhì)，分別判斷各命題是否符合三個條件，判斷命題的真假.故選：C.【答案】C【分析】利用題中“半壓縮函數(shù)”的定義逐項判斷即可.故選：C.【答案】(1)是，理由見解析；【分析】（1）根據(jù)函數(shù)新定義列式計算判斷即可；（2）根據(jù)函數(shù)新定義結合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值域計算求解；（3）應用輔助角公式結合新定義列式計算求參.由正弦的差角公式化簡得：利用上述性質(zhì)，解決以下問題：(3)【分析】（1）利用雙曲函數(shù)滿足的等式和奇偶性構造方程組，求解即得；題型十給出其他新運算定義【答案】D故選：D.【答案】B故選：B.【答案】C故選：C.(2)或.【分析】（1）根據(jù)三階行列式運算的定義求函數(shù)解析式即可；綜上所述，實數(shù)的值為或.(3)（i）答案見解析；（ii）答案見解析【分析】（1）（2）由新定義可直接計算判斷；【點睛】關鍵點點睛：第三額解題關鍵點是利用陰影部分的面積與相應梯形矩形的面積大小，可推出不等式.檢測Ⅰ組重難知識鞏固A．1 B． C．2 D．11【答案】D故選：D.A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C．既是偶函數(shù)又是減函數(shù) D．既是偶函數(shù)又是增函數(shù)【答案】B故選：BA．定義域為【答案】B對于D：由于實數(shù)的稠密性，任何兩個有理數(shù)之間都有無理數(shù)，任何兩個無理數(shù)之間都有有理數(shù)，故選：BA．①②都正確 B．①正確、②不正確 C．②正確、①不正確 D．①②都不正確【答案】A故選：AA．只有是 B．只有是C．和都是 D．和都不是【答案】C故選：C.6．對于函數(shù)y=f(x)，若存在區(qū)間[a，b]，當x∈[a，b]時的值域為[ka，kb](k>0)，則稱y=f(x)為k倍值函數(shù).若f(x)=ex+3x是k倍值函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A．(e+，+∞) B．(e+，+∞)C．(e+2，+∞) D．(e+3，+∞)【答案】D【詳解】因為f(x)=ex+3x是定義域R上的增函數(shù)，所以實數(shù)k的取值范圍是(e+3，+∞)，故選：D【點睛】方法點睛：用導數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結合來解決．【答案】B故選：B．【答案】B【分析】利用給定定義判斷B，舉反例判斷A，C，D即可.故選：BA． B．0 C． D．【答案】C故選：C．【答案】A【分析】根據(jù)給定信息，利用函數(shù)的相關概念逐項判斷即得.故選：AA．1012 B．2024 C．4048 D．8096【答案】B【分析】由已知函數(shù)表達式變形后分別設出，兩點坐標，再利用反函數(shù)的性質(zhì)結合兩直線垂直，斜率之積的關系得到結果.故選：B．【答案】D故選：D.其中錯誤結論的序號是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C故選：C.【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：【答案】BC故選：BC【答案】BCD【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義結合分段函數(shù)的性質(zhì)，分別討論為有理數(shù)和無理數(shù)，依次判斷各個選項，即可得解.故選：BCDC．黎曼函數(shù)的最大值為【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的定義計算特殊值判斷A選項，根據(jù)定義域判斷B選項，根據(jù)值域判斷C選項，結合對稱性及周期性判斷D選項.故選:.【答案】BC故選：BC下列說法正確的是（

）【答案】AC故選：AC【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)已知函數(shù)性質(zhì)，奇偶性定義、賦值法、反證思想的應用為關鍵.【分析】首先求命題為真命題時的取值范圍，再求其補集，即可求解.【答案】……故答案為：【答案】故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解決此題的關鍵在于利用不等式及分數(shù)的性質(zhì)求解最小值.【分析】（1）根據(jù)倒函數(shù)的定義判斷即可；(1)求雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的解析式；(2)證明見解析；通過查閱資料，小明同學了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)下凸函數(shù)的定義，列出不等式求解得答案；（2）結合下凸函數(shù)的定義，利用作差法證明即可；【點睛】思路點睛：本題第3問，構造函數(shù)并證明其為下凸函數(shù)，再利用琴生不等式求出最小值.26．（2425高三上·廣東廣州·期末）函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的重要性質(zhì)，運用函數(shù)的凹凸性可以很好地解決一些數(shù)學問題．在不同的條件下，可以給出函數(shù)凹凸性的不同定義．【答案】(1)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)下凸函數(shù)的定義分析證明即可；【點睛】方法點睛：本題屬于新概念題，根據(jù)題目下凸和上凸函數(shù)的概念，利用轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學思想對復雜函數(shù)進行簡單化，據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式以及對數(shù)恒等式的運用.【分析】（1）用模取余法可求結論；如果把二者關聯(lián)起來，后者的圓環(huán)可以認為是前者的圓環(huán)退出一人而形成的，當然還要重新排序，由于退出來的是，則原環(huán)的就成了新環(huán)的，也就是說原環(huán)的序號下標要比新環(huán)的大，原環(huán)的就成了新環(huán)的．需要注意，新環(huán)序號后面一直到，如果下標加上，就會超過．下面用數(shù)學歸納法證明：推測成立.【點睛】思路點睛：關于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問