PAGEPAGE1集合1.1.1集合的含義與表示第1課時集合的含義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解集合與元素的含義.2.理解集合中元素的特征，并能利用它們進(jìn)行解題.3.理解集合與元素的關(guān)系.4.掌握數(shù)學(xué)中一些常見的集合及其記法.知識點一集合的概念思考有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在這句話中，誰是集合？誰是集合中的元素？答案“某人的舅”是一個集合，“某人的大舅、二舅”都是這個集合中的元素.梳理元素與集合的概念(1)把研究對象統(tǒng)稱為元素，通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示.(2)把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示.知識點二元素與集合的關(guān)系思考1是整數(shù)嗎？eq\f(1,2)是整數(shù)嗎？有沒有這樣一個數(shù)，它既是整數(shù)，又不是整數(shù)？答案1是整數(shù)；eq\f(1,2)不是整數(shù).沒有.梳理元素與集合的關(guān)系有且只有兩種，分別為屬于、不屬于，數(shù)學(xué)符號分別為∈、?.知識點三元素的三個特性思考1某班所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個集合？某班身高高于175厘米的男生能否構(gòu)成一個集合？集合元素確定性的含義是什么？答案某班所有的“帥哥”不能構(gòu)成集合，因“帥哥”無明確的標(biāo)準(zhǔn).高于175厘米的男生能構(gòu)成一個集合，因標(biāo)準(zhǔn)確定.元素確定性的含義：集合中的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.思考2構(gòu)成單詞“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少個？答案2個.集合中的元素互不相同，這叫元素的互異性.思考3“中國的直轄市”構(gòu)成的集合中，元素包括哪些？甲同學(xué)說：“北京、上海、天津、重慶”；乙同學(xué)說：“上海、北京、重慶、天津”，他們的回答都正確嗎？由此說明什么？怎么說明兩個集合相等？答案兩個同學(xué)都說出了中國直轄市的所有城市，因此兩個同學(xué)的回答都是正確的.由此說明，集合中的元素是無先后順序的，這就是元素的無序性.只要構(gòu)成兩個集合的元素一樣，我們就稱這兩個集合是相等的.梳理元素的三個特性是指確定性、互異性、無序性.知識點四常用數(shù)集及表示符號名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR類型一判斷給定的對象能否構(gòu)成集合例1考察下列每組對象能否構(gòu)成一個集合.(1)不超過20的非負(fù)數(shù)；(2)方程x2－9＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解；(3)某班的所有高個子同學(xué)；(4)eq\r(3)的近似值的全體.解(1)對任意一個實數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集合；(2)能構(gòu)成集合；(3)“高個子”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個人算不算高個子無法客觀地判斷，因此不能構(gòu)成一個集合；(4)“eq\r(3)的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合.反思與感悟判斷給定的對象能不能構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于是否給出一個明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對于任何一個對象，都能按此標(biāo)準(zhǔn)確定它是不是給定集合的元素.跟蹤訓(xùn)練1下列各組對象可以組成集合的是()A.數(shù)學(xué)必修1課本中所有的難題B.小于8的所有素數(shù)C.直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點D.所有小的正數(shù)答案B解析A中“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，不能構(gòu)成集合；B能構(gòu)成集合；C中“一些點”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個點是否在“一些點”中無法確定，因此“直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點”不能構(gòu)成集合；D中沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能構(gòu)成集合.類型二元素與集合的關(guān)系命題角度1判定元素與集合的關(guān)系例2給出下列關(guān)系：①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)?Q；③|－3|?N；④|－eq\r(3)|∈Q；⑤0?N，其中正確的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案B解析eq\f(1,2)是實數(shù)，①對；eq\r(2)不是有理數(shù)，②對；|－3|＝3是自然數(shù)，③錯；|－eq\r(3)|＝eq\r(3)為無理數(shù)，④錯；0是自然數(shù)，⑤錯.故選B.反思與感悟要判斷元素與集合的關(guān)系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用數(shù)集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的條件.跟蹤訓(xùn)練2用符號“∈”或“?”填空.－eq\r(2)________R；－3________Q；－1________N；π________Z.答案∈∈??命題角度2根據(jù)已知的元素與集合的關(guān)系推理例3集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________.答案0,1,2解析∵x∈N，eq\f(6,3－x)∈N，∴0≤x≤2且x∈N.當(dāng)x＝0時，eq\f(6,3－x)＝eq\f(6,3)＝2∈N；當(dāng)x＝1時，eq\f(6,3－x)＝eq\f(6,3－1)＝3∈N；當(dāng)x＝2時，eq\f(6,3－x)＝eq\f(6,3－2)＝6∈N.∴A中元素有0,1,2.反思與感悟判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接給出的.②判斷方法：首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成，然后再判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn).(2)推理法①使用前提：對于某些不便直接表示的集合.②判斷方法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征.跟蹤訓(xùn)練3已知集合A中元素滿足2x＋a>0，a∈R，若1?A,2∈A，則()A.a>－4 B.a≤－2C.－4<a<－2 D.－4<a≤－2答案D解析∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4<a≤－2.類型三元素的三個特性的應(yīng)用例4已知集合A有三個元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三個元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求實數(shù)x的值；(3)是否存在實數(shù)a，x，使A＝B.解(1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，當(dāng)a－3＝－3時，a＝0；當(dāng)2a－1＝－3時，a＝－1.經(jīng)檢驗，0與－1都符合要求.∴a＝0或－1.(2)當(dāng)x＝0,1，－1時，都有x2∈B，但考慮到集合元素的互異性，x≠0，x≠1，故x＝－1.(3)顯然a2＋1≠0.由集合元素的無序性，只可能a－3＝0或2a－1＝0.若a－3＝0，則a＝3，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}＝{0,5,10}≠B.若2a－1＝0，則a＝eq\f(1,2)，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}＝{0，－eq\f(5,2)，eq\f(5,4)}≠B.故不存在這樣的實數(shù)a，x，使A＝B.反思與感悟元素的無序性主要體現(xiàn)在：①給出元素屬于某集合，則它可能表示集合中的任一元素；②給出兩集合相等，則其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.元素的互異性主要體現(xiàn)在求出參數(shù)后要代入檢驗，同一集合中的元素要互不相等.跟蹤訓(xùn)練4已知集合M中含有三個元素：2，a，b，集合N中含有三個元素：2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值.解方法一根據(jù)集合中元素的互異性，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))再根據(jù)集合中元素的互異性，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))方法二∵兩個集合相等，則其中的對應(yīng)元素相同.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2a＋b2，,a·b＝2a·b2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋bb－1＝0，①,ab·2b－1＝0，②))∵集合中的元素互異，∴a，b不能同時為零.當(dāng)b≠0時，由②得a＝0，或b＝eq\f(1,2).當(dāng)a＝0時，由①得b＝1，或b＝0(舍去).當(dāng)b＝eq\f(1,2)時，由①得a＝eq\f(1,4).當(dāng)b＝0時，a＝0(舍去).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))1.下列給出的對象中，能組成集合的是()A.一切很大的數(shù)B.好心人C.漂亮的小女孩D.方程x2－1＝0的實數(shù)根答案D2.下面說法正確的是()A.所有在N中的元素都在N*中B.所有不在N*中的數(shù)都在Z中C.所有不在Q中的實數(shù)都在R中D.方程4x＝－8的解既在N中又在Z中答案C3.由“book中的字母”構(gòu)成的集合中元素個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案C4.下列結(jié)論不正確的是()A.0∈NB.eq\r(2)?QC.0?QD.－1∈Z答案C5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數(shù)m為()A.2 B.3C.0或3 D.0,2,3均可答案B解析由2∈A可知：若m＝2，則m2－3m＋2＝0，這與m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，則m＝0或m＝3，當(dāng)m＝0時，與m≠0相矛盾，當(dāng)m＝3時，此時集合A的元素為0,3,2，符合題意.1.考察對象能否構(gòu)成一個集合，就是要看是否有一個確定的特征(或標(biāo)準(zhǔn))，依此特征(或標(biāo)準(zhǔn))能確定任何一個個體是否屬于這個總體，如果有，能構(gòu)成集合，如果沒有，就不能構(gòu)成集合.2.元素a與集合A之間只有兩種關(guān)系：a∈A，a?A.3.集合中元素的三個特性(1)確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬不屬于這個集合是確定的.要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合.(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的.(3)無序性：集合與其中元素的排列順序無關(guān)，如由元素a，b，c與由元素b，a，c組成的集合是相等的集合.這個性質(zhì)通常用來判斷兩個集合的關(guān)系.第2課時集合的表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握用列舉法表示有限集.2.理解描述法格式及其適用情形.3.學(xué)會在集合不同的表示法中作出選擇和轉(zhuǎn)換.知識點一列舉法思考要研究集合，要在集合的基礎(chǔ)上研究其他問題，首先要表示集合.而當(dāng)集合中元素較少時，如何直觀地表示集合？答案把它們一一列舉出來.梳理把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.適用于元素較少的集合.知識點二描述法思考能用列舉法表示所有大于1的實數(shù)嗎？如果不能，又該怎樣表示？答案不能.表示集合最本質(zhì)的任務(wù)是要界定集合中有哪些元素，而完成此任務(wù)除了一一列舉，還可用元素的共同特征(如都大于1)來表示集合，如大于1的實數(shù)可表示為{x∈R|x＞1}.梳理描述法常用以表示無限集或元素個數(shù)較多的有限集.表示方法是在花括號內(nèi)畫一豎線，豎線前寫元素的一般符號及取值(或變化)范圍，豎線后寫元素所具有的共同特征.類型一用列舉法表示集合例1用列舉法表示下列集合.(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；(2)方程x2＝x的所有實數(shù)根組成的集合.解(1)設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)設(shè)方程x2＝x的所有實數(shù)根組成的集合為B，那么B＝{0,1}.反思與感悟(1)集合中的元素具有無序性、互異性，所以用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序，且元素不能重復(fù)，元素與元素之間要用“，”隔開；(2)列舉法表示的集合的種類①元素個數(shù)少且有限時，全部列舉，如{1,2,3,4}；②元素個數(shù)多且有限時，可以列舉部分，中間用省略號表示，如“從1到1000的所有自然數(shù)”可以表示為{1,2,3，…，1000}；③元素個數(shù)無限但有規(guī)律時，也可以類似地用省略號列舉，如：自然數(shù)集N可以表示為{0,1,2,3，…}.跟蹤訓(xùn)練1用列舉法表示下列集合.(1)由所有小于10的既是奇數(shù)又是素數(shù)的自然數(shù)組成的集合；(2)由1～20以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合.解(1)滿足條件的數(shù)有3,5,7，所以所求集合為{3,5,7}.(2)設(shè)由1～20以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合為C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.類型二用描述法表示集合例2試用描述法表示下列集合.(1)方程x2－2＝0的所有實數(shù)根組成的集合；(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.解(1)設(shè)方程x2－2＝0的實數(shù)根為x，并且滿足條件x2－2＝0，因此，用描述法表示為A＝{x∈R|x2－2＝0}.(2)設(shè)大于10小于20的整數(shù)為x，它滿足條件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示為B＝{x∈Z|10<x<20}.引申探究用描述法表示函數(shù)y＝x2－2圖象上所有的點組成的集合.解{(x，y)|y＝x2－2}.反思與感悟用描述法表示集合時應(yīng)注意的四點(1)寫清楚該集合中元素的代號；(2)說明該集合中元素的性質(zhì)；(3)所有描述的內(nèi)容都可寫在集合符號內(nèi)；(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范圍，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，豎線不可省略.跟蹤訓(xùn)練2用描述法表示下列集合.(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函數(shù)y＝x2－10圖象上的所有點組成的集合.解(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集為{(x，y)|x＝2，y＝－3}.(2)“二次函數(shù)y＝x2－10圖象上的所有點”用描述法表示為{(x，y)|y＝x2－10}.類型三集合表示的綜合應(yīng)用命題角度1選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯侠?用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N組成的集合；(2)拋物線y＝x2－2x與x軸的公共點的集合；(3)直線y＝x上去掉原點的點的集合.解(1)列舉法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}.(2)列舉法：{(0,0)，(2,0)}.(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}.反思與感悟用列舉法與描述法表示集合時，一要明確集合中的元素；二要明確元素滿足的條件；三要根據(jù)集合中元素的個數(shù)來選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯?跟蹤訓(xùn)練3若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2000，x∈A}，則用列舉法表示集合B＝________.答案{2000,2001,2004}解析由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2000的值為2000,2001,2004，所以B＝{2000,2001,2004}.命題角度2新定義的集合例4對于任意兩個正整數(shù)m，n，定義某種運算“※”如下：當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時，m※n＝m＋n；當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，m※n＝mn，則在此定義下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素個數(shù)是()A.18B.17D.16D.15答案B解析因為1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序數(shù)對(a，b)，所以集合M中的元素共有17個，故選B.反思與感悟命題者以考試說明中的某一知識點為依托，自行定義新概念、新公式、新運算和新法則，做題者應(yīng)準(zhǔn)確理解應(yīng)用此定義，在新的情況下完成某種推理證明或指定要求.跟蹤訓(xùn)練4定義集合運算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，設(shè)A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A※B的所有元素之和為________.答案6解析由題意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和為6.1.用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為()A.{1,1} B.{1}C.{x＝1} D.{x2－2x＋1＝0}答案B2.一次函數(shù)y＝x－3與y＝－2x的圖象的交點組成的集合是()A.{1，－2} B.{x＝1，y＝－2}C.{(－2,1)} D.{(1，－2)}答案D3.設(shè)A＝{x∈N|1≤x<6}，則下列正確的是()A.6∈AB.0∈AC.3?AD.3.5?A答案D4.第一象限的點組成的集合可以表示為()A.{(x，y)|xy>0}B.{(x，y)|xy≥0}C.{(x，y)|x>0且y>0}D.{(x，y)|x>0或y>0}答案C5.下列集合不等于由所有奇數(shù)構(gòu)成的集合的是()A.{x|x＝4k－1，k∈Z} B.{x|x＝2k－1，k∈Z}C.{x|x＝2k＋1，k∈Z} D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}答案A1.在用列舉法表示集合時應(yīng)注意：(1)元素間用分隔號“，”；(2)元素不重復(fù)；(3)元素?zé)o順序；(4)列舉法可表示有限集，也可以表示無限集.若元素個數(shù)比較少用列舉法比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以用列舉法表示.2.在用描述法表示集合時應(yīng)注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(點)、還是集合或其他形式；(2)當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真(元素具有怎樣的屬性)，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.1.2集合間的基本關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符號和Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系.3.掌握列舉有限集的所有子集的方法.知識點一子集思考如果把“馬”和“白馬”視為兩個集合，則這兩個集合中的元素有什么關(guān)系？答案所有的白馬都是馬，馬不一定是白馬.梳理對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A含于B”(或“B包含A”).子集的有關(guān)性質(zhì)：(1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A.(2)對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.(3)若A?B，B?A，則A＝B.知識點二真子集思考在知識點一中，我們知道集合A是它本身的子集，那么如何刻畫至少比A少一個元素的A的子集？答案用真子集.梳理如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，稱集合A是集合B的真子集，記作：或，讀作：A真包含于B(或B真包含A).知識點三空集思考集合{x∈R|x2＜0}中有幾個元素？答案0個.梳理定義不含任何元素的集合叫做空集符號用符號表示為?規(guī)定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集知識點四Venn圖思考圖中集合A，B，C的關(guān)系用符號可表示為__________.答案A?B?C梳理一般地，用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖.Venn圖可以直觀地表達(dá)集合間的關(guān)系.類型一求集合的子集例1(1)寫出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有多少個子集？多少個真子集？驗證你的結(jié)論.解(1)?，{a}，，{c}，dz11v11，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}.(2)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有2n個子集，2n－1個真子集.如?，有一個子集，0個真子集.反思與感悟為了羅列時不重不漏，要講究列舉順序，這個順序有點類似于從1到100數(shù)數(shù)：先是一位數(shù)，然后是兩位數(shù)，在兩位數(shù)中，先數(shù)首位是1的等等.跟蹤訓(xùn)練1適合條件{1}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的個數(shù)是()A.15 B.16C.31 D.32答案A解析這樣的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15個.類型二判斷集合間的關(guān)系命題角度1概念間的包含關(guān)系例2設(shè)集合M＝{菱形}，N＝{平行四邊形}，P＝{四邊形}，Q＝{正方形}，則這些集合之間的關(guān)系為()A.P?N?M?Q B.Q?M?N?PC.P?M?N?Q D.Q?N?M?P答案B解析正方形都是菱形，菱形都是平行四邊形，平行四邊形都是四邊形，所以選B.反思與感悟一個概念通常就是一個集合，要判斷概念間的關(guān)系首先得準(zhǔn)確理解概念的定義.跟蹤訓(xùn)練2我們已經(jīng)知道自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集可以分別用N、Z、Q、R表示，用符號表示N、Z、Q、R的關(guān)系為________.答案NZQR命題角度2數(shù)集間的包含關(guān)系例3設(shè)集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，則A與B的關(guān)系為()A.A∈B B.B∈AC.A?B D.B?A答案C解析∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B.∴A?B.反思與感悟判斷集合關(guān)系的方法(1)觀察法：一一列舉觀察.(2)元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系.(3)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖.跟蹤訓(xùn)練3已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，則()A.A∈B B.A?BC.B?A D.B?A答案B解析由數(shù)軸易知A中元素都屬于B，B中至少有一個元素如－2?A，故有A?B類型三由集合間的關(guān)系求參數(shù)(或參數(shù)范圍)例4已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求實數(shù)a的值.解A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}.(1)當(dāng)a＝0時，B＝??A，符合題意.(2)當(dāng)a≠0時，B＝{x|ax＝1}＝{eq\f(1,a)}，∵eq\f(1,a)≠0，要使A?B，只有eq\f(1,a)＝1，即a＝1.綜上，a＝0或a＝1.反思與感悟集合A的子集可分三類：?、A本身，A的非空真子集，解題中易忽略?.跟蹤訓(xùn)練4已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，且A?B，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)當(dāng)2a－3≥a－2，即a≥1時，B＝??A，符合題意.(2)當(dāng)a<1時，要使A?B，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1，,2a－3≥1，,a－2≤2，))這樣的實數(shù)a不存在.綜上，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}.1.下列集合中，結(jié)果是空集的是()A.{x∈R|x2－1＝0} B.{x|x＞6或x＜1}C.{(x，y)|x2＋y2＝0} D.{x|x＞6且x＜1}答案D2.集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，則P與T的關(guān)系為()A.PT B.P∈TC.P＝T D.P?T答案A3.下列關(guān)系錯誤的是()A.??? B.A?AC.??A D.?∈A答案D4.下列正確表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}關(guān)系的Venn圖是()答案B5.若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A?B，則實數(shù)a可以是()A.3 B.4C.5 D.6答案D1.對子集、真子集有關(guān)概念的理解(1)集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，這是判斷A?B的常用方法.(2)不能簡單地把“A?B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因為若A＝?時，則A中不含任何元素；若A＝B，則A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定義中，AB首先要滿足A?B，其次至少有一個x∈B，但xD∈/A.2.集合子集的個數(shù)求集合的子集問題時，一般可以按照子集元素個數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集.集合的子集、真子集個數(shù)的規(guī)律為：含n個元素的集合有2n個子集，有2n－1個真子集，有2n－2個非空真子集.寫集合的子集時，空集和集合本身易漏掉.3.由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的注意點及常用方法(1)注意點：①不能忽視集合為?的情形；②當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時，一般需要分類討論.(2)常用方法：對于用不等式給出的集合，已知集合的包含關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的范圍(值)時，常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.1.1.3集合的基本運算第1課時并集與交集學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并集、交集的概念.2.會用符號、Venn圖和數(shù)軸表示并集、交集.3.會求簡單集合的并集和交集.知識點一并集思考某次校運動會上，高一(1)班有10人報名參加田賽，有12人報名參加徑賽.已知兩項都報的有3人，你能算出高一(1)班參賽人數(shù)嗎？答案19人.參賽人數(shù)包括參加田賽的，也包括參加徑賽的，但由于元素互異性的要求，兩項都報的不能重復(fù)計算，故有10＋12－3＝19人.梳理(1)定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”).(2)并集的符號語言表示為A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)圖形語言：、陰影部分為A∪B.(4)性質(zhì)：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝A?B?A，A?A∪B.知識點二交集思考一副撲克牌，既是紅桃又是A的牌有幾張？答案1張.紅桃共13張，A共4張，其中兩項要求均滿足的只有紅桃A一張.梳理(1)定義：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”).(2)交集的符號語言表示為A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)圖形語言：陰影部分為A∩B.(4)性質(zhì)：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝A?A?B，A∩B?A∪B，A∩B?A，A∩B?B.類型一求并集命題角度1數(shù)集求并集例1(1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，則集合A∪B是()A.{1,3,4,5,6} B.{3}C.{3,4,5,6} D.{1,2,3,4,5,6}答案A解析A∪B是將兩集合的所有元素合并到一起構(gòu)成的集合(相同元素算一個)，因此A∪B＝{1,3,4,5,6}，故選A.(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.解如圖：由圖知A∪B＝{x|－1<x<3}.反思與感悟有限集求并集就是把兩個集合中的元素合并，重復(fù)的保留一個；用不等式表示的，常借助數(shù)軸求并集.由于A∪B中的元素至少屬于A，B之一，所以從數(shù)軸上看，至少被一道橫線覆蓋的數(shù)均屬于并集.跟蹤訓(xùn)練1(1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.解B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}.(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∪B.解如圖：由圖知A∪B＝{x|x<2或x>3}.命題角度2點集求并集例2集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并說明其幾何意義.解A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}.其幾何意義為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)去掉第三象限和x軸、y軸的非正半軸后剩下的區(qū)域內(nèi)所有點.反思與感悟求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是點還是數(shù).跟蹤訓(xùn)練2A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}.求A∪B，并說明其幾何意義.解A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其幾何意義是直線x＝2和直線y＝2上所有的點組成的集合.類型二求交集例3(1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，則A∩B等于()A.{x|－3<x<2} B.{x|－5<x<2}C.{x|－3<x<3} D.{x|－5<x<3}答案A解析在數(shù)軸上將集合A，B表示出來，如圖所示，由交集的定義可得A∩B為圖中陰影部分，即A∩B＝{x|－3<x<2}，故選A.(2)若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，則M∩N等于()A.{0} B.{1}C.{0,1,2} D.{0,1}答案D解析M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，則M∩N＝{0,1}，故選D.(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并說明其幾何意義.解A∩B＝{(x，y)|x>0且y>0}，其幾何意義為第一象限所有點的集合.反思與感悟求集合A∩B的步驟(1)首先要搞清集合A，B的代表元素是什么；(2)把所求交集的集合用集合符號表示出來，寫成“A∩B”的形式；(3)把化簡后的集合A，B的所有公共元素都寫出來即可.跟蹤訓(xùn)練3(1)集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∩B；(2)集合A＝{x|2k<x<2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1<x<6}，求A∩B；(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.解(1)A∩B＝{x|－1<x≤1}.(2)A∩B＝{x|2<x<3或4<x<5}.(3)A∩B＝?.類型三并集、交集性質(zhì)的應(yīng)用例4已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求a的取值范圍.解A∪B＝B?A?B.當(dāng)2a>a＋3，即a>3時，A＝?，滿足A?B.當(dāng)2a＝a＋3，即a＝3時，A＝{6}，滿足A?B.當(dāng)2a<a＋3，即a<3時，要使A?B，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,a＋3<－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,2a>5，))解得a<－4，或eq\f(5,2)<a<3.綜上，a的取值范圍是{a|a>3}∪{a|a＝3}∪{a|a<－4，或eq\f(5,2)<a<3}＝{a|a<－4，或a>eq\f(5,2)}.反思與感悟解此類題，首先要準(zhǔn)確翻譯，諸如“A∪B＝B”之類的條件.在翻譯成子集關(guān)系后，不要忘了空集是任何集合的子集.跟蹤訓(xùn)練4設(shè)集合A＝{x|2x2＋3px＋2＝0}，B＝{x|2x2＋x＋q＝0}，其中p、q為常數(shù)，x∈R，當(dāng)A∩B＝{eq\f(1,2)}時，求p、q的值和A∪B.解∵A∩B＝{eq\f(1,2)}，∴eq\f(1,2)∈A，∴2×(eq\f(1,2))2＋3p×eq\f(1,2)＋2＝0，∴p＝－eq\f(5,3)，∴A＝{eq\f(1,2)，2}.又∵A∩B＝{eq\f(1,2)}，∴eq\f(1,2)∈B，∴2×(eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)＋q＝0，∴q＝－1.∴B＝{eq\f(1,2)，－1}.∴A∪B＝{－1，eq\f(1,2)，2}.1.已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，則M∪N等于()A.{－1,0,1} B.{－1,0,1,2}C.{－1,0,2} D.{0,1}答案B2.已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，則A∩B等于()A.{0} B.{0,1}C.{0,2} D.{0,1,2}答案C3.已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0<x<2}，則A∪B等于()A.{x|x>0} B.{x|x>1}C.{x|1<x<2} D.{x|0<x<2}答案A4.已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合A∩B等于()A.? B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}答案A5.已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于()A.0或eq\r(3) B.0或3C.1或eq\r(3) D.1或3答案B1.對并集、交集概念的理解(1)對于并集，要注意其中“或”的意義，“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區(qū)別，它們是“相容”的.“x∈A，或x∈B”這一條件，包括下列三種情況：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少屬于A、B兩者之一的元素組成的集合.(2)A∩B中的元素是“所有”屬于集合A且屬于集合B的元素，而不是部分，特別地，當(dāng)集合A和集合B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝?.2.集合的交、并運算中的注意事項(1)對于元素個數(shù)有限的集合，可直接根據(jù)集合的“交”“并”定義求解，但要注意集合元素的互異性.(2)對于元素個數(shù)無限的集合，進(jìn)行交、并運算時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點值取到與否.第2課時補集及綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解全集、補集的概念.2.準(zhǔn)確翻譯和使用補集符號和Venn圖.3.會求補集，并能解決一些集合綜合運算的問題.知識點一全集思考老和尚問小和尚：“如果你前進(jìn)是死，后退是亡，那你怎么辦？”小和尚說：“我從旁邊繞過去.”在這一故事中，老和尚設(shè)定的運動方向共有哪些？小和尚設(shè)定的運動方向共有哪些？答案老和尚設(shè)定的運動方向只有2個：前進(jìn)，后退.小和尚偷換了前提：運動方向可以是四面八方任意方向.梳理定義如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集記法全集通常記作U知識點二補集思考實數(shù)集中，除掉大于1的數(shù)，剩下哪些數(shù)？答案剩下不大于1的數(shù)，用集合表示為{x∈R|x≤1}.梳理文字語言對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作?UA符號語言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語言類型一求補集例1(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，則?UA等于()A.{x|0<x<2} B.{x|0≤x<2}C.{x|0<x≤2} D.{x|0≤x≤2}答案C解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴?UA＝{x|0<x≤2}，故選C.(2)設(shè)U＝{x|x是小于9的正整數(shù)}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求?UA，?UB.解根據(jù)題意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以?UA＝{4,5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}.(3)設(shè)全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是銳角三角形}，B＝{x|x是鈍角三角形}，求A∩B，?U(A∪B).解根據(jù)三角形的分類可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是銳角三角形或鈍角三角形}，?U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.反思與感悟求集合的補集，需關(guān)注兩處：一是認(rèn)準(zhǔn)全集的范圍；二是利用數(shù)形結(jié)合求其補集，常借助Venn圖、數(shù)軸、坐標(biāo)系來求解.跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，則?UA＝________.答案{3,4,5}(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，則?UA＝________.答案{x|－1<x<2}(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，則?UA＝________.答案{(x，y)|xy≤0}類型二補集性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1補集性質(zhì)在集合運算中的應(yīng)用例2已知A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，用列舉法寫出集合B.解∵A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.而?UB＝{－1,0,2}，∴B＝?U(?UB)＝{－3,1,3,4,6}.反思與感悟從Venn圖的角度講，A與?UA就是圈內(nèi)和圈外的問題，由于(?UA)∩A＝?，(?UA)∪A＝U，所以可以借助圈內(nèi)推知圈外，也可以反推.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示的Venn圖中，A、B是非空集合，定義A*B表示陰影部分的集合.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，則A*B＝________________.答案{x|0≤x≤1或x＞2}解析A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，由圖可得A*B＝?(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}.命題角度2補集性質(zhì)在解題中的應(yīng)用)例3關(guān)于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①x2＋2x－a＝0，②x2＋2ax＋2＝0，③若三個方程至少有一個有解，求實數(shù)a的取值范圍.解假設(shè)三個方程均無實根，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝a2－4<0，,Δ2＝4＋4a<0，,Δ3＝4a2－8<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<a<2，,a<－1，,－\r(2)<a<\r(2).))解得－eq\r(2)<a<－1，∴當(dāng)a≤－eq\r(2)或a≥－1時，三個方程至少有一個方程有實根，即a的取值范圍為{a|a≤－eq\r(2)或a≥－1}.反思與感悟運用補集思想求參數(shù)取值范圍的步驟：(1)把已知的條件否定，考慮反面問題；(2)求解反面問題對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍；(3)求反面問題對應(yīng)的參數(shù)的取值集合的補集.跟蹤訓(xùn)練3若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍.解