[中考專題]2026年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提優(yōu)復(fù)習(xí)_三角形[含答案]一、引言三角形作為初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在中考數(shù)學(xué)中占據(jù)著極為重要的地位。它不僅是幾何知識(shí)的基礎(chǔ)，更是解決眾多綜合問題的關(guān)鍵。在2026年中考的備考過程中，對(duì)三角形相關(guān)知識(shí)進(jìn)行專項(xiàng)提優(yōu)復(fù)習(xí)，有助于同學(xué)們系統(tǒng)地掌握三角形的各類性質(zhì)、定理，提高運(yùn)用這些知識(shí)解決問題的能力，從而在中考中取得優(yōu)異的成績。二、三角形的基本概念與性質(zhì)（一）三角形的定義與分類1.定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。2.分類-按角分類-銳角三角形：三個(gè)角都是銳角的三角形。-直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形。-鈍角三角形：有一個(gè)角是鈍角的三角形。-按邊分類-不等邊三角形：三邊都不相等的三角形。-等腰三角形：有兩條邊相等的三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊。-等邊三角形：三邊都相等的三角形，它是特殊的等腰三角形。（二）三角形的性質(zhì)1.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。-例題1：已知三角形的兩邊長分別為3和7，則第三邊的長x的取值范圍是（）-分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。所以\(7-3\ltx\lt7+3\)，即\(4\ltx\lt10\)。-答案：\(4\ltx\lt10\)2.內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°。-例題2：在\(\triangleABC\)中，\(\angleA=30^{\circ}\)，\(\angleB=50^{\circ}\)，則\(\angleC\)的度數(shù)為（）-分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，\(\angleC=180^{\circ}-\angleA-\angleB=180^{\circ}-30^{\circ}-50^{\circ}=100^{\circ}\)。-答案：\(100^{\circ}\)3.外角性質(zhì)-三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。-三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。-例題3：如圖，\(\triangleABC\)中，\(\angleA=50^{\circ}\)，\(\angleABC=70^{\circ}\)，\(BD\)平分\(\angleABC\)，則\(\angleBDC\)的度數(shù)是（）-分析：因?yàn)閈(BD\)平分\(\angleABC\)，\(\angleABC=70^{\circ}\)，所以\(\angleABD=\frac{1}{2}\angleABC=35^{\circ}\)。根據(jù)三角形外角性質(zhì)，\(\angleBDC=\angleA+\angleABD=50^{\circ}+35^{\circ}=85^{\circ}\)。-答案：\(85^{\circ}\)三、特殊三角形（一）等腰三角形1.性質(zhì)-等腰三角形的兩腰相等。-等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）。-等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（三線合一）。2.判定-有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。-有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）。-例題4：已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為\(50^{\circ}\)，則它的頂角為（）-分析：當(dāng)\(50^{\circ}\)角為頂角時(shí)，頂角就是\(50^{\circ}\)；當(dāng)\(50^{\circ}\)角為底角時(shí)，根據(jù)等腰三角形兩底角相等及內(nèi)角和定理，頂角為\(180^{\circ}-2\times50^{\circ}=80^{\circ}\)。-答案：\(50^{\circ}\)或\(80^{\circ}\)（二）等邊三角形1.性質(zhì)-等邊三角形的三邊都相等。-等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于\(60^{\circ}\)。-等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸。2.判定-三條邊都相等的三角形是等邊三角形。-三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。-有一個(gè)角是\(60^{\circ}\)的等腰三角形是等邊三角形。-例題5：如圖，\(\triangleABC\)是等邊三角形，\(AD\perpBC\)，垂足為\(D\)，點(diǎn)\(E\)在\(AC\)上，且\(CE=CD\)，若\(AD=\sqrt{3}\)，求\(BE\)的長。-分析：因?yàn)閈(\triangleABC\)是等邊三角形，\(AD\perpBC\)，所以\(\angleBAC=60^{\circ}\)，\(BD=DC\)，\(\angleCAD=30^{\circ}\)。設(shè)\(CD=x\)，則\(AC=2x\)，在\(Rt\triangleADC\)中，根據(jù)勾股定理\(AC^{2}-CD^{2}=AD^{2}\)，即\((2x)^{2}-x^{2}=(\sqrt{3})^{2}\)，解得\(x=1\)，所以\(BC=AC=2\)。又因?yàn)閈(CE=CD=1\)，\(\angleBCE=60^{\circ}\)，所以\(\triangleBCE\)是等邊三角形，所以\(BE=BC=2\)。-答案：\(2\)（三）直角三角形1.性質(zhì)-直角三角形的兩個(gè)銳角互余。-直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。-勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)（\(a\)、\(b\)為直角邊，\(c\)為斜邊）。2.判定-有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。-如果三角形的三邊長\(a\)、\(b\)、\(c\)滿足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么這個(gè)三角形是直角三角形。-例題6：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=3\)，\(b=4\)，則\(c\)的值為（）-分析：根據(jù)勾股定理\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。-答案：\(5\)四、三角形的全等（一）全等三角形的定義與性質(zhì)1.定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2.性質(zhì)-全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。-全等三角形的周長相等，面積相等。（二）全等三角形的判定1.SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。2.SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。3.ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。4.AAS（角角邊）：兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。5.HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。-例題7：如圖，已知\(AB=AD\)，\(\angleBAC=\angleDAC\)，求證：\(\triangleABC\cong\triangleADC\)。-證明：在\(\triangleABC\)和\(\triangleADC\)中，-\(\begin{cases}AB=AD\\\angleBAC=\angleDAC\\AC=AC\end{cases}\)-根據(jù)SAS判定定理，所以\(\triangleABC\cong\triangleADC\)。五、三角形的相似（一）相似三角形的定義與性質(zhì)1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。2.性質(zhì)-相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。-相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。（二）相似三角形的判定1.兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。2.兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。3.三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。-例題8：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)若\(\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}\)，\(DE=4\)，求\(BC\)的長。-分析：因?yàn)閈(DE\parallelBC\)，所以\(\triangleADE\sim\triangleABC\)，則\(\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}\)。又因?yàn)閈(\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}\)，所以\(\frac{AD}{AB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}\)，即\(\frac{4}{BC}=\frac{1}{3}\)，解得\(BC=12\)。-答案：\(12\)六、三角形與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用（一）三角形與函數(shù)的綜合-例題9：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，\(\triangleAOB\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為\(A(4,0)\)，\(B(0,3)\)，點(diǎn)\(C\)是線段\(AB\)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)\(C\)作\(CD\perpx\)軸于點(diǎn)\(D\)，設(shè)\(OD=x\)，\(\triangleOCD\)的面積為\(S\)，求\(S\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式。-分析：首先求出直線\(AB\)的解析式，設(shè)直線\(AB\)的解析式為\(y=kx+b\)，把\(A(4,0)\)，\(B(0,3)\)代入可得\(\begin{cases}4k+b=0\\b=3\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}k=-\frac{3}{4}\\b=3\end{cases}\)，所以直線\(AB\)的解析式為\(y=-\frac{3}{4}x+3\)。因?yàn)辄c(diǎn)\(C\)在直線\(AB\)上，且\(OD=x\)，所以\(C\)點(diǎn)縱坐標(biāo)為\(y=-\frac{3}{4}x+3\)，則\(S=\frac{1}{2}x(-\frac{3}{4}x+3)=-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x(0\ltx\lt4)\)。-答案：\(S=-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x(0\ltx\lt4)\)（二）三角形與圓的綜合-例題10：如圖，\(\triangleABC\)內(nèi)接于\(\odotO\)，\(AB\)是\(\odotO\)的直徑，\(\angleB=30^{\circ}\)，\(CE\)平分\(\angleACB\)交\(\odotO\)于點(diǎn)\(E\)，交\(AB\)于點(diǎn)\(D\)，連接\(AE\)，求\(\angleAED\)的度數(shù)。-分析：因?yàn)閈(AB\)是\(\odotO\)的直徑，所以\(\angleACB=90^{\circ}\)。又因?yàn)閈(\angleB=30^{\circ}\)，所以\(\angleCAB=60^{\circ}\)。因?yàn)閈(CE\)平分\(\angleACB\)，所以\(\angleACE=45^{\circ}\)。根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，\(\angleAED\)和\(\angleACD\)所對(duì)的弧都是\(\overset{\