1/10專(zhuān)題06利用等腰三角形的三線合一作輔助線的二類(lèi)綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類(lèi)型一、等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線類(lèi)型二、等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高壓軸專(zhuān)練類(lèi)型一、等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線模型解析：等腰三角形中底邊有中點(diǎn)，連中線直接用“三線合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原則。連中線用“三線合一”，若AB=AC,BD=CD.則AD⊥BC，∠1=∠2.例1．如圖，已知中，，，直角的頂點(diǎn)P是中點(diǎn)，兩邊、分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F．求證：；【變式1-1】如圖，在中，，過(guò)的中點(diǎn)作，，垂足分別為、．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【變式1-2】如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，過(guò)A作，且．求證：(1)；(2)．【變式1-3】如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在射線、上，且，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)、分別在邊和上時(shí)，連接，①證明：．②直接寫(xiě)出，和的關(guān)系是：(2)探究：如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊、的延長(zhǎng)線上時(shí)，，和的關(guān)系是：(3)應(yīng)用：若，，利用上面探究得到的結(jié)論，求的面積．類(lèi)型二、等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高1.三線合一性質(zhì)核心應(yīng)用：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。即使底邊無(wú)中點(diǎn)，作底邊的高后，高同時(shí)成為底邊中線，可將等腰三角形分成兩個(gè)全等直角三角形，利用直角三角形性質(zhì)（如勾股定理）求解邊長(zhǎng)、角度等。2.輔助線與轉(zhuǎn)化思想：作高是關(guān)鍵輔助線，將等腰三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，把非中點(diǎn)條件轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)條件，結(jié)合全等三角形判定（HL）和直角三角形邊角關(guān)系，實(shí)現(xiàn)未知量向已知量的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)幾何中化歸的重要思想。例2．在中，點(diǎn)是邊上的兩點(diǎn)．

(1)如圖1，若，．求證：；(2)如圖2，若，，設(shè)，．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②在①的條件下，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【變式2-1】已知在中，，且，作等腰，使得．

(1)如圖1，若與互余，則___________；（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖2，若與互補(bǔ)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，求證：；(3)若與的面積相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．（用含的式子表示）【變式2-2】在中，，過(guò)點(diǎn)C作射線，使（點(diǎn)與點(diǎn)B在直線的異側(cè)）點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段上，且．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，與的位置關(guān)系是，若，則的長(zhǎng)為；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．一、單選題1．如圖，中，，D是中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（

）

A． B．平分C． D．2．如圖，已知的面積為12，平分，且于點(diǎn)，則的面積是（

）A．10 B．8 C．6 D．43．如圖，在等腰中，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，．若點(diǎn)P是等腰的腰上的一點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．或4．如圖，在中，平分為垂足，則下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題5．如圖，在中，是邊上的中線．若，則的度數(shù)為．6．如圖，在中，是邊上的中線，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．已知，那么．7．如圖，在中，，，把一塊含角的三角板的直角頂點(diǎn)放在的中點(diǎn)上（兩直角邊，分別與，相交），則三角板與重疊部分的面積是．8．如圖，在中，是邊上的高，過(guò)點(diǎn)A作，并且使，F(xiàn)是上一點(diǎn)，連接，使，交于G，H兩點(diǎn)，若，則三、解答題9．如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，則的度數(shù)為_(kāi)__________．10．如圖，點(diǎn)D、E在的邊上，，．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．11．如圖．已知中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)．連結(jié)，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E，且有．求證：(1)；(2)．12．如圖1，在中，，，點(diǎn)P是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在邊上，連接，若．(1)求證：；(2)若點(diǎn)D，E分別在邊的延長(zhǎng)線上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？并加以證明；(3)在（1）或（2）的條件下，是否能成為等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)（不用說(shuō)理）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．已知中，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn)、移動(dòng)的速度相同，與直線相交于點(diǎn)．(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如圖③，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否保持不變？若保持不變，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．已知平分，如圖1所示，點(diǎn)B在