復(fù)數(shù)專題：復(fù)數(shù)幾何意義求模的最值范圍問題一、復(fù)數(shù)的幾何意義每個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)與它對應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，復(fù)數(shù)z=a+二、復(fù)數(shù)模的幾何意義1、向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模或絕對值，記作z或a+bi，即z=a+bi=az表示復(fù)平面內(nèi)的點Za,b2、z1?z2的幾何意義：復(fù)平面中點Z示例：z+(1+2i)表示：點Z到點?1,?2的距離小結(jié)：復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)兩點之間的距離公式，若z=x+yi，則z?(a+bi)表示復(fù)平面內(nèi)點(x,y)與點(a,b)則z?(a+bi)=r表示以(a,b)為圓心，以r三、圓外一點到圓上一點的距離最值問題如圖所示，點P在圓O上運(yùn)動，在圓上找一點P使得PA最?。ù螅┤鐖D，當(dāng)P為OA連線與圓O交點時，PA最小，最小為OA?r當(dāng)P在AO延長線與圓O交點P'時，PA最大，最大為OA+r題型一與復(fù)數(shù)模有關(guān)的軌跡(圖形)判斷【例1】復(fù)平面上復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是（）．A．拋物線B．直線C．線段D．圓【答案】C【解析】設(shè)，因為，所以，該式表示動點到定點的距離之和為（與兩定點間的距離相等），所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡為以為端點的線段.故選：C.【變式1-1】已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是___________．【答案】圓【解析】由題意，復(fù)數(shù)z滿足，可得，解得或，因為，所以，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的圓．【變式1-2】設(shè)，滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？（1）；（2）．【答案】（1）以原點為圓心，為半徑的圓；（2）以原點為圓心，分別以2和3為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，包括圓環(huán)的外邊界但不包括圓環(huán)的內(nèi)邊界【解析】（1）因為，即，所以滿足的點Z的集合是以原點為圓心，為半徑的圓，如圖①．（2）不等式可化為不等式組不等式的解集是圓外部所有的點組成的集合，不等式的解集是圓內(nèi)部及圓上所有的點組成的集合，這兩個集合的交集就是上述不等式組的解集．因此，滿足條件的點Z的集合是以原點為圓心，分別以2和3為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，包括圓環(huán)的外邊界但不包括圓環(huán)的內(nèi)邊界，如圖②．【變式1-3】已知復(fù)數(shù)z1＝＋i，z2＝（1）求|z1|及|z2|并比較大??；（2）設(shè)，滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點Z的軌跡是什么圖形？【答案】（1）；（2）以O(shè)為圓心，以1和2為半徑的兩圓之間的圓環(huán)（包含圓周）【解析】（1），，，，∴；（2）由，得，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義可知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到原點的距離，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圓外部所有點組成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圓內(nèi)部所有點組成的集合，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是以原點為圓心，以1和2為半徑的圓之間的部分（包括兩邊界）．【變式1-4】設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是（）A．兩條直線B．橢圓C．圓D．雙曲線【答案】A【解析】設(shè)，則，可得：，化簡得：，即或，則在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是兩條直線.故選：A題型二單模長的最值范圍問題【例2】如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是（）A．0B．1C．2D．2i【答案】C【解析】在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，為原點，表示點在以為圓心，1為半徑的圓上，，而，所以的最大值為1＋1＝2．故選：C．【變式2-1】已知，則的最大值是__________．【答案】【解析】設(shè)，則有，即，則在復(fù)平面中的點在以為圓心，為半徑的圓周上，，，表示與點的距離，如圖所示：由圖可知，，即的最大值為7.【變式2-2】已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．4B．8C．D．【答案】A【解析】設(shè)（是虛數(shù)單位）.則.因為，所以表示點(x,y)在以（-4，-2）為圓心，1為半徑的圓上.而表示圓上任意一點到（0，1）的距離.由幾何法可知：的最小值為（0，1）到圓心（-4，-2）減去圓的半徑，即為.故選：A【變式2-3】是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，又，的幾何意義是單位圓上的點與點的距離，，即的最大值為.故選：C.【變式2-4】如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是______．【答案】【解析】，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在和1兩個數(shù)對應(yīng)點的連線段上，即設(shè)，則，，，時，得最大值為．【變式2-5】若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為_______.【答案】【解析】復(fù)數(shù)滿足，即即復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到點的距離滿足，設(shè)，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到點的距離，數(shù)形結(jié)合可知的最大值故答案為：題型三多模長和差的最值范圍問題【例3】已知復(fù)數(shù)滿足，求的最小值______．【答案】10【解析】復(fù)數(shù)，由，即，于是得，整理得，，即，表示點與點、距離的和，顯然點P在x軸上，而線段AB與x軸相交，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)點P為線段AB與x軸的交點時取“=”，所以的最小值是10.【變式3-1】若z是復(fù)數(shù)，|z+2-2i|＝2，則|z+1-i|+|z|的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)z＝x+yi(x，y∈R)，由|z+2-2i|＝2知，動點的軌跡可看作以為圓心，2為半徑的圓，|z+1-i|+|z|可看作點P到和的距離之和，而|CO|＝，|CA|＝，易知當(dāng)P，A，O三點共線時，|z+1-i|+|z|取得最大值時，且最大值為|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，故選：D．【變式3-2】若，則取值范圍是___．【答案】【解析】由題意設(shè)(),則其幾何意義為平面內(nèi)一動點到兩定點，距離之差，由圖可知，當(dāng)，，三點共線時，距離之差最大，當(dāng)時，最小，則．的取值范圍是．【變式3-3】已知復(fù)數(shù)滿足，求的最小值______．【答案】13【解析】因為復(fù)數(shù)滿足，所以，所以，所以，解得，所以，所以，則上式表示復(fù)平面上的點到點的距離和，因為關(guān)于實軸的對稱點為，所以因為