上海市師大附中2025年數學高二上期末達標測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數（其中）的部分圖像如圖所示，則函數的解析式為（）A. B.C. D.2．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.3．已知拋物線的焦點為F，過點F作傾斜角為的直線l與拋物線交于兩點，則POQ(O為坐標原點)的面積S等于（）A. B.C. D.4．已知函數的定義域為，若，則（）A. B.C. D.5．已知等差數列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.246．我國新冠肺炎疫情防控進入常態(tài)化，各地有序進行疫苗接種工作，下面是我國甲、乙兩地連續(xù)11天的疫苗接種指數折線圖，根據該折線圖，下列說法不正確的是（）A.這11天甲地指數和乙地指數均有增有減B.第3天至第11天，甲地指數和乙地指數都超過80%C.在這11天期間，乙地指數的增量大于甲地指數的增量D.第9天至第11天，乙地指數的增量大于甲地指數的增量7．如圖，在三棱柱中，為的中點，若，，，則下列向量與相等的是（）A. B.C. D.8．若數列是等差數列，其前n項和為，若，且，則等于（）A. B.C. D.9．若正三棱柱的所有棱長都相等，D是的中點，則直線AD與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.10．早在古希臘時期，亞歷山大的科學家赫倫就發(fā)現:光從一點直接傳播到另一點選擇最短路徑，即這兩點間的線段.若光從一點不是直接傳播到另一點，而是經由一面鏡子(即便鏡面是曲面)反射到另一點，仍然選擇最短路徑.已知曲線，且將假設為能起完全反射作用的曲面鏡，若光從點射出，經由上一點反射到點，則（）A. B.C. D.11．已知是等比數列，，，則（）A. B.C. D.12．設直線與雙曲線（，）的兩條漸近線分別交于，兩點，若點滿足，則該雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，定點，若直線與拋物線相交于、兩點（點在、中間），且與拋物線的準線交于點，若，則的長為______.14．某高中高二年級學生在學習完成數學選擇性必修一后進行了一次測試，總分為100分.現用分層隨機抽樣方法從學生的數學成績中抽取一個樣本量為40的樣本，再將40個成績樣本數據分為6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從所給的頻率分布直方圖中估計成績樣本數據眾數，平均數，中位數；（2）在區(qū)間40，50）和90，100內的兩組學生成績樣本數據中，隨機抽取兩個進調查，求調查對象來自不同分組的概率.15．寫出一個同時具有性質①②的函數___________.（不是常值函數），①為偶函數；②.16．已知點，拋物線的焦點為，點是拋物線上任意一點，則周長的最小值是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列滿足（1）求的通項公式；（2）記數列的前項和為，是否存在實數，使得對任意恒成立.18．（12分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.19．（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規(guī)定：機動車行經人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，其中第90條規(guī)定:對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數據：參考公式：，月份12345違章駕駛員人數1201051009580（1）請利用所給數據求違章人數y與月份x之間的回歸直線方程；（2）預測該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數；20．（12分）某廠A車間為了確定合理的工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了五次試驗，得到數據如下：加工零件的個數x12345加工的時間y（小時）1.52.43.23.94.5（1）在給定的坐標系中畫出散點圖；（2）求出y關于x的回歸方程；（3）試預測加工9個零件需要多少時間？參考公式：，21．（12分）在對某老舊小區(qū)污水分流改造時，需要給該小區(qū)重新建造一座底面為矩形且容積為324立方米的三級污水處理池（平面圖如圖所示）.已知池的深度為2米，如果池四周圍墻的建造單價為400元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價為248元/平方米，池底的建造單價為80元/平方米，池蓋的建造單價為100元/平方米，建造此污水處理池相關人員的勞務費以及其他費用是9000元.（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關規(guī)定執(zhí)行，計算時忽略不計）（1）現有財政撥款9萬元，如果將污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是否夠用？（2）能否通過合理的設計污水處理池的長和寬，使總費用最低？最低費用為多少萬元？22．（10分）設正項數列的前項和為，已知，（1）求數列的通項公式；（2）數列滿足，數列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據題圖有且，結合五點法求參數，即可得的解析式.【詳解】由圖知：且，則，所以，則，即，又，可得，，則，，又，即有.綜上，.故選：B2、C【解析】取中點，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數計算的正弦值.【詳解】取中點，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C3、A【解析】由拋物線的方程可得焦點的坐標，由題意設直線的方程，與拋物線的方程，聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進而求出，的縱坐標之差的絕對值，代入三角形的面積公式求出面積【詳解】拋物線的焦點為，，由題意可得直線的方程為，設，，，，聯(lián)立，整理可得：，則，，所以，所以，故選：A4、D【解析】利用導數的定義可求得的值.【詳解】由導數的定義可得.故選：D.5、B【解析】利用等差數列的性質求解即可.【詳解】解：由等差數列的性質得.故選：B6、C【解析】由折線圖逐項分析得到答案.【詳解】對于選項A，從折線圖中可以直接觀察出甲地和乙地的指數有增有減，故選項A正確；對于選項B，從第3天至第11天，甲地指數和乙地指數都超過80%，故選項B正確；對于選項C，從折線圖上可以看出這11天甲的增量大于乙的增量，故選項C錯誤；對于選項D，從折線圖上可以看出第9天至第11天，乙地指數的增量大于甲地指數的增量，故D正確；故選：C.7、A【解析】利用空間向量基本定理求解即可【詳解】由于M是的中點，所以故選：A8、B【解析】由等差數列的通項公式和前項和公式求出的首項和公差，即可求出.【詳解】設等差數列的公差為，則解得：，所以.故選：B.9、A【解析】建立空間直角坐標系，得到相關點的坐標后求出直線的方向向量和平面的法向量，借助向量的運算求出線面角的正弦值【詳解】取AC的中點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設三棱柱的棱長為2，則，∴設為平面的一個法向量，由故令，得設直線AD與平面所成角為，則，所以直線AD與平面所成角的正弦值為故選A【點睛】空間向量的引入為解決立體幾何問題提供了較好的方法，解題時首先要建立適當的坐標系，得到相關點的坐標后借助向量的運算，將空間圖形的位置關系或數量關系轉化為向量的運算處理．在解決空間角的問題時，首先求出向量夾角的余弦值，然后再轉化為所求的空間角．解題時要注意向量的夾角和空間角之間的聯(lián)系和區(qū)別，避免出現錯誤10、B【解析】記橢圓的右焦點為，根據橢圓定義，得到，由題中條件，確定本題的本質即是求的最小值，結合題中數據，即可求出結果.【詳解】記橢圓的右焦點為，根據橢圓的定義可得，，所以，因為，當且僅當三點共線時，，即；由題意可得，求的值，即是求最短路徑，即求的最小值，所以的最小值為，因此.故選：B.【點睛】思路點睛：求解橢圓上動點到一焦點和一定點距離和的最小值或差的最大值時，一般需要利用橢圓的定義，將問題轉化為動點與另一焦點以及該定點距離和的最值問題來求解即可.11、D【解析】由，，可求出公比，從而可求出等比數的通項公式，則可求出，得數列是一個等比數列，然后利用等比數的求和公式可求得答案【詳解】由題得.所以，所以.所以，所以數列是一個等比數列.所以=.故選：D12、C【解析】先求出，的坐標，再求中點坐標，利用點滿足，可得，從而求雙曲線的離心率.【詳解】解:由雙曲線方程可知，漸近線為，分別于聯(lián)立，解得：，，所以中點坐標為，因為點滿足，所以，所以，即，所以.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分別過點、作、垂直于拋物線的準線于、，則，求出直線的方程，可求得拋物線的焦點的坐標，可得出拋物線的標準方程，再將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點的縱坐標，利用拋物線的定義可求得線段的長.【詳解】如圖，分別過點、作、垂直于拋物線的準線于、，則，由得，所以，，又，所以，直線的方程為，所以，，則，則拋物線的方程為，設點的縱坐標為，由，得或，因為點在、之間，則，所以，.故答案為：.14、（1）眾數；平均數，中位數.（2）.【解析】（1）按“眾數，平均數，中位數”的公式求解.（2）由頻率分布直方圖得到各區(qū)間的頻率，再用古典概型求解.【小問1詳解】眾數取頻率分布直方圖中最高矩形對應區(qū)間的中點75；平均數；因為，所以中位數在區(qū)間上，且中位數【小問2詳解】由頻率分布直方圖得出在區(qū)間40，50）和90，100內的成績樣本數據分別有4個和2個，從6個樣本選2個共有個結果，記事件A=“調查對象來自不同分組”，結果有所以.15、（答案不唯一）【解析】利用導函數周期和奇偶性構造導函數，再由導函數構造原函數列舉即可.【詳解】由知函數的周期為，則，同時滿足為偶函數，所以滿足條件.故答案為：（答案不唯一）.16、##【解析】利用拋物線的定義結合圖形即得.【詳解】拋物線的焦點為，準線的方程為，過點作，垂足為，則，所以的周長為，當且僅當三點共線時等號成立.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在【解析】（1）利用“退作差”法求得的通項公式.（2）利用裂項求和法求得，由此求得.【小問1詳解】依題意①，當時，.當時，②，①-②得，，時，上式也符合.所以.【小問2詳解】.所以.故存在實數，使得對任意恒成立.18、（1）（2）【解析】（1）根據正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，周長為考點：正余弦定理解三角形.19、（1）；（2）37【解析】（1）將題干數據代入公式求出與，進而求出回歸直線方程；（2）再第一問的基礎上代入求出結果.【小問1詳解】，，則，，所以回歸直線方程；【小問2詳解】令得：，故該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數為37.20、（1）圖見解析；（2）；（3）小時.【解析】（1）根據表格數據在坐標系中描出對應點即可.（2）由表格中的數據代入公式算出，再求，即可得到方程；（3）中將自變量為9代入回歸方程可得需用時間.【小問1詳解】【小問2詳解】由表中數據得：，，，，由x與y之間具有線性相關關系，根據公式知：，，∴回歸直線方程為：【小問3詳解】將代入回歸直線方程得，，∴預測加工9個零件需要小時21、（1）不夠；（2）將污水處理池建成長為16.2米，寬為10米時，建造總費用最低，最低費用為90000元.【解析】（1）根據題意結合單價直接計算即可得出；（2）設污水處理池的寬為米，表示出總費用，利用基本不等式可求.【小問1詳解】如果將污水處理池的寬建成9米，則長為（米），建造總費用為：（元）因為，所以如果污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是不夠用的.【小問2詳解】設污水處理池的寬為米，