2025年河南省商開大聯(lián)考高二上數(shù)學期末調(diào)研試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.2．已知長方體中，，，則直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.3．散點圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.24．已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數(shù)為（）A. B.C. D.不能確定5．雙曲線的光學性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（）A. B.C. D.6．已知長方體的底面ABCD是邊長為8的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.7．已知為等比數(shù)列的前n項和，，，則（）A.30 B.C. D.30或8．“x>1”是“x>0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切C.相交 D.內(nèi)切10．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°11．圓與圓的交點為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是A. B.C. D.12．已知雙曲線的左右焦點分別為、，過點的直線交雙曲線右支于A、B兩點，若是等腰三角形，且，則的周長為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列滿足，則_________14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______15．設(shè)等差數(shù)列，前項和分別為，，若對任意自然數(shù)都有，則的值為______.16．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知平面內(nèi)兩點，，動點P滿足（1）求動點P的軌跡方程；（2）過定點的直線l交動點P的軌跡于不同的兩點M，N，點M關(guān)于y軸對稱點為，求證直線過定點，并求出定點坐標18．（12分）已知函數(shù).（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，求在區(qū)間上的最小值和最大值.19．（12分）已知曲線：.（1）若曲線是雙曲線，求的取值范圍；（2）設(shè)，已知過曲線的右焦點，傾斜角為的直線交曲線于A，B兩點，求.20．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，.（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與所成角的余弦值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，，為的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.22．（10分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題（1）甲至少抽到1道填空題（2）甲答對的題數(shù)比乙多的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式直接得出結(jié)果.【詳解】因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B2、C【解析】建立空間直角坐標系，設(shè)直線與所成角為，由求解.【詳解】∵長方體中，，，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系，，則，，，，所以，，設(shè)直線與所成角為，則，∴直線和夾角余弦值是.故選：C.3、C【解析】通過樣本中心點來求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C4、B【解析】利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義可求得、，即可得出結(jié)論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時點位于橢圓短軸的頂點.因此，滿足條件的點的個數(shù)為.故選：B.5、D【解析】設(shè)，根據(jù)題意可得，由雙曲線定義得、，進而求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，則.因為，所以，則，則，又因為，所以，則,在中，，即，所以.故選：D6、A【解析】建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的夾角坐標公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標系∵底面是邊長為8的正方形，，∴，，，因為,且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：A.7、A【解析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【詳解】由得，則等比數(shù)列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A8、A【解析】根據(jù)充分、必要條件間的推出關(guān)系，判斷“x>1”與“x>0”的關(guān)系.【詳解】“x>1”，則“x>0”，反之不成立.∴“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.故選：A.9、C【解析】利用圓心距與半徑的關(guān)系確定正確選項.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓心距為，，所以兩圓相交.故選：C10、B【解析】以為空間的一個基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B11、A【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線，其方程為，即；故選A.【點睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問題；處理直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系時，往往結(jié)合平面幾何知識（如本題中，求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過兩圓的圓心的直線方程）可減小運算量.12、A【解析】設(shè)，．根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，從而可得的周長.【詳解】由雙曲線可得設(shè)，．則，，所以，因為是等腰三角形，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周長故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)雙曲線的定義求解是解題關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、84【解析】設(shè)公比為q，求出，再由通項公式代入可得結(jié)論【詳解】設(shè)公比為q，則，解得所以故答案為：8414、【解析】應(yīng)用余弦定理有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)及同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，根據(jù)基本不等式求得，注意等號成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.【詳解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，當且僅當時等號成立，又，當且僅當時等號成立.故答案為：15、【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：．再利用已知即可得出【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：對于任意的都有，則故答案為：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題16、【解析】求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】因為，則，所以，，，故所求切線方程為，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析，定點坐標為【解析】（1）直接由斜率關(guān)系計算得到；（2）設(shè)出直線，聯(lián)立橢圓方程，韋達定理求出，再結(jié)合三點共線，求出參數(shù)，得到過定點.小問1詳解】設(shè)動點，由已知有，整理得，所以動點的軌跡方程為；【小問2詳解】由已知條件可知直線和直線斜率一定存在，設(shè)直線方程為，，，則，由，可得，則，即為，，，因為直線過定點，所以三點共線，即，即，即，即，即得，整理，得，滿足，則直線方程為，恒過定點.【點睛】本題關(guān)鍵在于設(shè)出帶有兩個參數(shù)的直線的方程，聯(lián)立橢圓方程后，利用題干中的條件，解出一個參數(shù)或得到兩個參數(shù)之間的關(guān)系，即可求出定點.18、（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）答案見解析.【解析】（1）求解導函數(shù)，并求出的兩根，得和的解集，從而得函數(shù)單調(diào)性；（2）由（1）得函數(shù)的單調(diào)性，從而得最小值，計算，再分類討論與兩種情況下的最大值.【小問1詳解】函數(shù)定義域為，，時，或，因為，所以，時，或，時，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】因為，由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，又因為，當時，，此時最小值為，最大值為；當時，，此時最小值為，最大值為.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用19、（1）（2）【解析】（1）利用雙曲線的標準方程直接列不等式組，即可求解；（2）先求出直線l的方程為:，利用“設(shè)而不求法”和弦長公式求弦長.【小問1詳解】要使曲線：為雙曲線，只需，解得：，即的取值范圍.【小問2詳解】當m=0時,曲線C的方程為,可得，所以右焦點，由題意可得直線l的方程為:.設(shè),聯(lián)立整理可得：,可得：所以弦長，所以20、（1）證明見解析；（2）；【解析】（1）證明，利用面面垂直的性質(zhì)可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得平面平面；（2）連接，以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，根據(jù)可得出，求出的值，利用空間向量法可求得直線與所成角的余弦值.【詳解】（1）為的中點，且，則，又因為，則，故四邊形為平行四邊形，因為，故四邊形為矩形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面，因為平面，因此，平面平面；（2）連接，由（1）可知，平面，，為的中點，則，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則、、、、，設(shè)，,因為，則，解得，，，則.因此，直線與所成角的余弦值為.21、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理進行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】因為為的中點，所以，而，所以四邊形是平行四邊形，因此，因為，，為的中點，所以，，而，因為，所以，而平面，所以平面；【小問2詳解】根據(jù)（1），建立如圖所示的空間直角坐標系，，于是有：，則平面的法向量為：，設(shè)平面的法向量為：，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，所以.22、（1）；（2）.【解析】（1）把3道選擇題（2）設(shè)，分別表示甲答對1道題，2道題的事件，，分別表示乙答對0道題，1道題的事件，分別求出它們的概率，甲答對的