3.3垂徑定理xixix

快速定位題型題型目錄TOC\o"13"\h\z\u【題型1】利用垂徑定理求值 3【題型2】利用垂徑定理求平行弦問題 4【題型3】垂徑定理的推論 6【題型4】垂徑定理的實際應(yīng)用 7xixix

夯實必備知識新知梳理【知識點1】垂徑定理（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?.（2025?福州校級模擬）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC．若AB=4，CD=1，則EC的長為（）A．15B．13C．10D．42.（2024秋?嵊州市期末）如圖，⊙O的半徑為5，點C是弦AB上一點，若AB=8，設(shè)OC=x,則x的取值范圍是（）A．3≤x≤5B．3＜x≤5C．4≤x≤5D．4＜x≤5【知識點2】垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．1.（2024秋?蓬江區(qū)期末）如圖，筒車是我國古代發(fā)明的一種水力灌溉工具．圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦MN長為6m,半徑為4m,則圓心O到弦MN所在直線的距離為（）A．4mB．5mC．5mD．7m2.（2024秋?老河口市校級期末）如圖，在直徑為82cm的圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油以后，油面寬AB=80cm,則油的最大深度為（）A．32cmB．31cmC．9cmD．18cm【題型1】利用垂徑定理求值【典型例題】如圖，把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若，則截面的半徑等于（

）A.B.C.D.【舉一反三1】要測一個殘損圓形輪子的半徑，小麗的方案如下：如圖，在輪子圓弧上任取兩點A，B，再作弦的垂直平分線交于點，交劣弧于點，測出和的長度，即可計算出輪子的半徑．若測得，則輪子的半徑為（

）A.B.C.D.【舉一反三2】如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于點B，點C，當(dāng)，時，大圓與小圓的面積之差為

．

【舉一反三3】如圖，線段與圓O交于點A，過P點的直線與圓O交于B，C兩點，，若，，，求線段的長度．【題型2】利用垂徑定理求平行弦問題【典型例題】如圖，，是的兩條平行弦，且，，，之間的距離為5，則的直徑是（

）A.B.C.8D.10【舉一反三1】如圖所示，矩形與相交于、、、，若，，，則的長為（）A.2B.4C.6D.8【舉一反三2】在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cm.A.1B.3C.3或4D.1或7【舉一反三3】如圖，的半徑為4，，是的弦，且，，，則和之間的距離為

．【舉一反三4】如圖，在中，是直徑，弦．(1)在圖1中，請僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧的中點P；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)如圖2，在（1）的條件下連接、，若交弦于點Q，的面積6，且，求的半徑.【舉一反三5】如圖，的兩條弦（不是直徑），點為中點，連接，．

(1)求證：直線；(2)求證：．【題型3】垂徑定理的推論【典型例題】下列命題正確的有（

）①平分弦所對的兩條弧的直線必垂直于弦；②垂直于弦的直線平分弦；③平分弦的直線必平分弦所對的兩條??；④與直徑不垂直的弦不能被該直徑平分；⑤平分弦的直徑必平分弦所對的兩條弧．A.1個B.2個C.3個D.4個【舉一反三1】如圖，⊙O的直徑CD過弦AB的中點E，且CE＝2，DE＝8，則AB的長為（）A.9B.8C.6D.4【舉一反三2】如圖，為直徑，交弦于點E，若E點為中點，則說法錯誤的是（

）A.B.C.D.【舉一反三3】如圖，都是的半徑，交于點D．若，則的長為

【舉一反三4】如圖，已知AB，CD是⊙O內(nèi)非直徑的兩弦，求證：AB與CD不能互相平分．【題型4】垂徑定理的實際應(yīng)用【典型例題】如圖，拱橋可以近似地看作直徑為的圓弧，橋拱和路面之間用數(shù)根鋼索垂直相連，其正下方的路面長度為，那么這些鋼索中最長的一根的長度為（）A.B.C.D.【舉一反三1】一次綜合實踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，測量一次性紙杯杯口的直徑．小明同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組設(shè)計了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A、B、C、D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)計算紙杯的直徑是（

）A.B.C.D.【舉一反三2】蘇州古典園林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南園林甲天下之美，如圖是一蘇州園林中的窗飾特寫，四個水平放置正方形木框的邊長都為20cm，頂點A，B，C是圓形窗上的點，則這個圓形窗的半徑為

cm．【舉一反三3】一面墻上有一個矩形門洞，其中寬為米，高為2米，現(xiàn)要將其改造成圓弧型門洞（如圖），則改造后圓弧型門洞的最大高度是

．【舉一反三4】如圖，工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10cm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8cm，則這個小圓孔的寬口AB的長度為多少？【舉一反三5】河南是全國重要的文物大省，地下文物全國第一，地上文物全國第二．“以銅為鑒，可以正衣冠”．銅鏡，是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶．如圖是一個銅鏡的殘片，文物修復(fù)專家準(zhǔn)備用現(xiàn)代高科技手