專題強化02：全等三角形的輔助線與模型【模型歸納】【模型探究】題型一：一線三等角模型【例1】．（25-26八年級上·江西南昌·階段練習）（1）如圖1，在中，，，直線經(jīng)過點A，分別從點B，C向直線作垂線，垂足分別為D，E．求證：；（2）如圖2，在中，，直線經(jīng)過點A，點D，E分別在直線上，如果，猜想，，有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，，，點B的坐標為，點C的坐標為，直接寫出點A的坐標______．【變式1】．（23-24八年級上·廣東汕頭·期中）閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當模型中有一組對應邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．(1)問題解決：如圖1，在等腰直角中，，，過點C作直線，于D，于E，求證：；(2)問題探究：如圖2，在等腰直角中，，，過點C作直線，于D，于E，，，求的長；(3)拓展延伸：在平面直角坐標系中，，點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，為等腰直角三角形；①如圖3，當時，求點C的坐標；②直接寫出其他符合條件的C點的坐標．【變式2】．（24-25八年級上·廣東汕頭·期末）閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當模型中有一組對應邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．(1)問題解決：如圖1，在等腰直角中，，，過點C作直線，于D，于E，求證：；(2)問題探究：如圖2，在等腰直角中，，，過點C作直線，于D，于E，，，求的長；(3)拓展延伸：如圖3，在平面直角坐標系中，，，在平面平面直角坐標系中是否存在一點B，使得為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出B點坐標；若不存在，請說明理由．題型二：手拉手模型【例2】．（24-25八年級上·河南平頂山·期末）數(shù)學基本思想歸結(jié)為三個核心要素：抽象、推理、模型．圖形與幾何學習尤其需要我們從復雜的問題中進行抽象，形成一些基本幾何模型，用類比等方法，進行再探究、推理，以達到解決問題的目的(1)【模型探究】如圖1，和中，，且，連接．這一圖形稱為“手拉手模型”．求證，請你完善下列過程．證明：∵，∴（）①．即．…（）②(2)【類比推理】如圖2，中，，以B為端點引一條與腰相交的射線，在射線上取點D，使，求的度數(shù)．（提示：可構(gòu)建手拉手模型，在上找一點E，使）【變式1】．（24-25九年級上·四川廣元·期末）【模型感知】手拉手模型是初中數(shù)學里三角形全等知識點考察的重要模型．兩個有公共頂點且頂角相等的等腰三角形組成的圖形叫手拉手模型．（1）如圖1，已知和都是等邊三角形，連接，．求證：；【模型應用】（2）如圖2，已知和都是等邊三角形，將繞點旋轉(zhuǎn)一定的角度，當點在的延長線上時，請直接寫出線段、、之間存在的數(shù)量關(guān)系為______；【類比探究】（3）如圖3，已知和都是等邊三角形．①當點在線段上時，過點作于點．求證：②當點在線段的延長線上時，請直接寫出線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系為______．【變式2】．（23-24七年級下·山東濟南·期末）【閱讀材料】小明同學發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形，底角頂點連起來，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，小明把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手模型”．

【材料理解】（1）如圖1，與都是等腰三角形，，，且，則有；線段和的數(shù)量關(guān)系是．【深入研究】（2）如圖2，與都是等腰三角形，，，且，請判斷線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；【深化模型】（3）如圖3，，，求證：題型三：半角模型【例3】．（22-23九年級上·廣西南寧·期中）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形是正方形，分別在邊上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖①，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點與點重合，得到，連接(1)試判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．(2)如圖②，點分別在正方形的邊的延長線上，，連接，請寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．【變式1】．（24-25八年級上·全國·期中）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形（四邊相等，四個內(nèi)角均為）中，、分別在邊、上，且，連接，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路．大致思路：巧妙地通過輔助線在邊向外構(gòu)造，使得，進而證出度數(shù)，最后證明，即可得出結(jié)論．請補充輔助線的作法，并寫出完整證明過程．（1）延長到點G，使，連接．（2）求證：．【問題應用】如圖2，在四邊形中，，以A為頂點的分別交于E、F，且，求五邊形的周長【變式2】．（22-23八年級上·江西宜春·期中）問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點E，F(xiàn)分別是上的點，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學的方法是延長到點G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點，且，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點，且，請?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．題型四：倍線中線模型【例4】．（25-26七年級上·山東濟寧·階段練習）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點E，使，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到的理由是．A．

B．

C．

D．（2）求得的取值范圍是．A．

B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，是的中線，點E在的延長線上，，求證：．【變式1】．（25-26八年級上·重慶·階段練習）如圖，已知在中，是邊上的中線，分別以為直角邊作直角和，其中，連接．(1)若，求的取值范圍；(2)求證：．【變式2】．（24-25八年級上·全國·期末）綜合與實踐【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)和同學們合作交流后，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是___________；A．

B．

C．

D．（2）由“三角形的三邊關(guān)系”，可求得的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．[初步運用]（3）如圖2，是的中線，交于E，交于F，．若，，求線段BF的長．題型五：截長補短模型【例5】．（23-24九年級上·甘肅蘭州·期中）通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．【原題】如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形的邊上，，連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系．【模型】我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決半角模型問題時，“旋轉(zhuǎn)”、“截長補短”均是常用的方法．(1)思路梳理：A.旋轉(zhuǎn)法：把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，則，，可以得到，即點共線．易證，故之間的數(shù)量關(guān)系為．B.截長補短法：延長至點G，使得，由，，即，可以得到．(2)類比引申如圖2，點E，F(xiàn)分別在正方形的邊的延長線上，．連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【變式1】．（24-25八年級下·貴州黔南·期末）綜合與實踐：【模型解讀】“半角模型”是指在一個大角中包含著一個大小為其一半的角，通過邊與角的特殊關(guān)系解決線段長度、角度的相關(guān)問題．例如：如圖1，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在上，連接，且，我們把這種模型稱為“半角模型”．在解決問題時，“截長補短”是一種常用的方法，將分散的線段或角集中在一起，構(gòu)造全等三角形，從而利用全等三角形的性質(zhì)來解決問題．【實踐證明】（1）如圖1，連接EF，為了證明“”，小李同學運用所學的幾何知識，延長到點H，使，連接，通過證明，得到，從而得到，請你按照小李同學的思路寫出證明過程；【知識運用】（2）利用（1）的結(jié)論，若正方形的邊長是4，則的周長是；【拓展延伸】（3）如圖2，在四邊形中，，，點E，F(xiàn)分別在的延長線上，連接，且探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式2】．（23-24八年級下·黑龍江齊齊哈爾·期末）【問題情境】神奇的半角模型在幾何圖形中，共頂點處的兩個角，其中較小的角是較大的角的一半時，我們稱之為半角模型．截長補短法是解決這類問題常用的方法．如圖1，在正方形中，以A為頂點的，與分別交于E、F兩點，為了探究之間的數(shù)量關(guān)系，小明的思路如下：如圖2，延長到點H，使，連接，先證明，再證明．從而得到之間的數(shù)量關(guān)系．(1)提出問題：之間的數(shù)量關(guān)系為________________．(2)知識應用：如圖3，，，以A為頂點的，，與分別交于E、F兩點，你認為（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．(3)知識拓展：如圖4，在四邊形中，，，．與互補，與分別交于E、F兩點，且，請直接寫出的周長________________．（用含a、b、c的式子表示．）題型六：旋轉(zhuǎn)法模型【例6】．（24-25七年級下·山東濟南·期末）和是兩個角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板，【問題初探】（1）當兩個三角板如圖（1）所示的位置擺放時，D、B、C在同一直線上，連接、，請證明：；【類比探究】（2）當三角板保持不動時，將三角板繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到如圖（2）所示的位置，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．【變式1】．（24-25九年級上·山東濟寧·期中）綜合與實踐【問題重現(xiàn)】義務教育教科書數(shù)學八年級上冊《第十一章三角形》中我們學過了三角形中線的定義、畫法、性質(zhì)等．下面是一道關(guān)于三角形的中線有關(guān)問題：如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．問題解決思路：延長到，使得，連接，可證（相當于將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，把，，變換到中，利用三角形的三邊關(guān)系可得，所以．根據(jù)上面信息，解決下面問題．【問題變式】如圖2，點，，分別在的邊，，上，是邊上的中點，，連接．（1）求證：；（2）當時，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；【問題拓展】（3）如圖3，四邊形中，，，，點，分別在四邊形的邊，上，且，連接．探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

【變式2】．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）【問題初探】和是兩個都含有角的大小不同的直角三角板．（1）當兩個三角板如圖（1）所示的位置擺放時，、、在同一直線上，，，，．依據(jù)的是判定定理_________．A．

B．

C．

D．【類比探究】（2）當三角板保持不動時，將三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖（2）所示的位置，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．【拓展延伸】（3）如圖（3），在四邊形中，，，，連接，，，到直線的距離為7，請求出的面積．

【專題精練】1．（24-25八年級上·山東臨沂·期中）如圖，點為定角的平分線上的一個定點，，，且與互補，若在繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與，相交于，兩點．(1)試判斷的形狀，并給出證明；(2)的值是否為定值？若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．2．（22-23八年級上·湖北十堰·階段練習）如圖，、是的高，M為上一點，且，N為延長線上一點，且．試判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．3．（25-26八年級上·湖北襄陽·階段練習）構(gòu)建數(shù)學基本模型是我們解決復雜問題的一種重要思想，優(yōu)秀的同學總會積累很多基本模型，提高自己的綜合能力．一線三直角就是一重要的模型．(1)如圖1，中，，，過點任畫一條直線，分別過、作此直線的垂線，垂足為、，請指出此圖中全等形，并證明．(2)如圖2，在直角坐標系數(shù)中，若點坐標為，以為直角邊作直角三角形，且，①若點的坐標為，求點坐標；②如圖3，若點在軸正半軸上運動，過點作線段，且，連接交軸于點，當點運動時，的長度是否發(fā)生變化，若變化說明理由，若不變，求出長度．4．（24-25八年級下·廣西賀州·期末）“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角的度數(shù)為，且三組邊相互垂直，所以稱為“一線三垂直”模型．當模型中有一組對應邊長相等時，模型中必定存在全等三角形．【模型呈現(xiàn)】（1）如圖1，在等腰直角中，，，過點作直線，于點，于點，請直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系；【模型應用】（2）如圖2，在等腰直角中，，，過點作直線，過點作于點，過點作于點，，．①求的長；②如圖3，延長，交于點，求的長度．5．（23-24八年級上·遼寧葫蘆島·期末）某校八年級（1）班數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了試驗探究活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，是的中線，延長至點，使，連接，求證：．【理解與運用】（2）如圖2，是的中線，若，求的取值范圍；（3）如圖3，是的中線，，點在的延長線上，，求證：．6．（2025九年級下·全國·專題練習）如圖，為等腰直角三角形，，，點D在線段上，連接，，，過C作，且，連接，交于F．(1)求的面積；(2)證明：．7．24-25八年級下·山東棗莊·期中）如圖所示，在中，，，點為的中點，交的平分線于點，于點，交的延長線于點．(1)求證：；(2)求的長．8．（24-25八年級上·重慶云陽·期中）如圖1，在與是兩個等腰直角三角形，即于點且，且，連接，交于點F．(1)求證：，；(2)如圖2，若將（1）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．①試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②你能求出的度數(shù)嗎？請說明理由．9．（23-24七年級下·河南鄭州·期中）【綜合實踐】如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．(1)【初步把握】如圖1，與都是等腰三角形，，，且，則有；線段和的數(shù)量關(guān)系是；(2)【深入研究】如圖2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，直線，垂足為點O，上有一點M在點O右側(cè)且，點N是上一個動點，連接，在下方作等腰直角三角形，，，連接．請直接寫出線段的最小值及此時的長度．10．（23-24八年級上·天津濱海新·期中）如圖，和中，，連接與交于點M，與交于點N．(1)求證：；(2)試猜想與有何特殊關(guān)系，并證明；(3)連接，有以下兩個結(jié)論：①平分；②平分，其中正確的有______（請寫序號，少選、錯選均不得分）．11．（22-23八年級上·福建龍巖·期中）如圖，與均為等邊三角形并且B，C，D三點共線．

(1)求證：CH平分，并求的度數(shù)；(2)試探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．12．（24-25八年級上·江蘇無錫·期中）閱讀理解半角模型：半角模型是指有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角兩邊相等，通過翻折或旋轉(zhuǎn)，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進一步構(gòu)造全等三角形，使條件弱化，這樣可把握問題的本質(zhì)．

【問題背景】如圖1，在四邊形中，分別是上的點，，試探究圖1中線段之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學認為解決此問題可以用如下方法：延長到點，使，連接，先證明，再證明，則可得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是______________．【探索延伸】如圖2，在四邊形中，，分別是上的點，，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【結(jié)論運用】如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東的方向以海里/小時的速度前進，小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達處，且兩艦艇之間的夾角為，則此時兩艦艇之間的距離為__________海里．

13．（22-23七年級下·江蘇鹽城·期末）【嘗試探究】如圖1，已知在正方形中（四邊相等，四個內(nèi)角均為90°），點、分別在邊、上運動，當時，探究、和的數(shù)量關(guān)系，并加以說明；【模型建立】如圖2，若將直角三角形沿斜邊翻折得到，且，點、分別在邊、上運動，且，試猜想（2）中的結(jié)論還成立嗎？請加以說明；【拓展應用】如圖3，已知是邊長為8的等邊三角形（三邊相等，三個內(nèi)角均為60°），，，，以為頂點作一個60°角，使其角的兩邊分別交邊、于點、，連接，直接寫出的周長．

14．（24-25七年級上·山東泰安·期末）【問題初探】（1）在數(shù)學課上，張老師給出如下問題：如圖1，平分，求證：．如圖2，小穎同學嘗試構(gòu)造“手拉手”模型，給出一種解題思路：過作，交于點，以此來證明陰影部分的三角形全等，得到．請你參考小穎的解題思路寫出證明過程．【類比分析】（2）張老師將圖1進行變換并提出了下面問題，請你解答：如圖3，，平分，求證：．【學以致用】（3）如圖4，在中，，，D是邊的中點，，與邊相交于點與邊相交于點．請直接寫出線段的值：___________．15．（24-25七年級下·山西晉中·期末）綜合與探究“