12專題強化03：角平分線模型歸納【模型歸納】模型一：角平分線與三角形題型二：角平分線+平行線=等腰三角形模型三：內(nèi)外角平分線夾角模型四：兩外角平分線的夾角模型五：一個內(nèi)角一個外角角平分線的夾角模型六：角平分線與高線夾角【模型探究】模型一：角平分線與三角形【例1】．如圖，∠D＝∠C＝90°，點E是DC的中點，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大?。咀兪?】．已知OP平分∠AOB，∠DCE的頂點C在射線OP上，射線CD交射線OA于點F，射線CE交射線OB于點G．（1）如圖1，若CD⊥OA，CE⊥OB，請直接寫出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式2】．如圖，在△OBC中，邊BC的垂直平分線交∠BOC的平分線于點D，連接DB，DC，過點D作DF⊥OC于點F.(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC的度數(shù)；(2)若∠BOC＝，則∠BDC＝；（直接寫出結(jié)果）(3)直接寫出OB，OC，OF之間的數(shù)量關(guān)系.題型二：角平分線+平行線=等腰三角形【例2】．如圖，已知△ABC的兩邊AB=5，AC=8，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點O作DE∥BC，則△ADE的周長等于．

【變式1】．如圖，在中，，和的平分線分別交于點G、F，若，，求=．【變式2】．如圖①，中，，、的平分線交于O點，過O點作交于E、F．(1)圖中有幾個等腰三角形？猜想：與、之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，若，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們．在第（1）問中與、間的關(guān)系還存在嗎？(3)如圖③，若中的平分線與三角形外角平分線交于O，過O點作交于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？與、關(guān)系又如何？說明你的理由．模型三：內(nèi)外角平分線夾角【例3】．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，則∠BOC=()A．105° B．115° C．125° D．135°【變式1】．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，過點G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點G作GD⊥AC于D，下列四個結(jié)論：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③點G到△ABC各邊的距離相等；④設(shè)GD＝m，AE+AF＝n，則S△AEF＝mn．其中正確的結(jié)論有（）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【變式2】．如圖，AB∥CD，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，若EF=13，PE=12，PF=5．點P到EF的距離為．模型四：兩外角平分線的夾角【例4】．（1）如圖（a），平分，平分.①當(dāng)時，求的度數(shù).②猜想與有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.（2）如圖（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請你直接寫出正確的結(jié)論（不用寫出證明過程）.

【變式1】．如圖，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠AEC＝．【變式2】．認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.探究1：如圖l，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90+∠A,理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)=(180-∠A)=90-∠A∴∠BOC=180-(∠1+∠2)=180-(90-∠A)=90+∠A(1)探究2；如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．(2)探究3：如圖3中,O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）(3)拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）模型五：一個內(nèi)角一個外角角平分線的夾角【例5】．如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F=．【變式1】．如圖，，的平分線相交于點，的平分線相交于點，，的平分線相交于點……以此類推，則的度數(shù)是（用含與的代數(shù)式表示）．【變式2】．如圖，在中，，和的平分線交于點，得；和的平分線交于點，得和的平分線交于點，則度．模型六：角平分線與高線夾角【例6】．如圖所示，在中，是高，是角平分線，它們相交于點O，，求的度數(shù)．【變式1】．如圖，在中，、分別是的高和角平分線，，，則度．【變式2】．如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足為點D，那么∠DAE=度．【專題強化】一、單選題1．如圖，在中，，三角形的外角和的平分線交于點E，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．如圖，在中，，平分，于點E，若，，則的長為（

）A．10 B．8 C．7 D．63．如圖，在中，于點，為邊上中線，與交于點，連接．若平分，，，則的面積為（）A．30 B．15 C． D．4．如圖，是的角平分線，，垂足為，，和的面積分別為48和26，則的面積為（

）A．11 B．22 C．26 D．375．如圖，是中的平分線，是的外角的平分線，如果，，則（

）A． B． C． D．6．如圖，在中，，與的平分線交于點，得，與的平分線相交于點，得，…，與的平分線相交于點，得，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．二、填空題7．如圖，在中，點在的延長線上，，平分，平分，則的度數(shù)為．8．如圖，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于點D，PD=4，則PC等于．9．如圖，，和分別平分和，過點，且與互相垂直，點為線段上一動點，連接．若，則的最小值為．10．如圖，在中，平分交于點D，于點E，于點F，且，，則的面積是．11．如圖，已知在中，，點，分別在邊，上，于，，．（1）若，則；（2）已知，，則的長是．12．如圖，在中，的平分線，相交于點，則的度數(shù)為．13．如圖，是中的平分線，是的外角的平分線，如果，則°．14．如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，OD⊥OC交BC于點D．若∠A＝80°，則∠BOD＝°．三、解答題15．如圖，在中，，，平分交于點，過點作，垂足為．(1)求證：；(2)若的周長為20，求的長．16．已知，如圖，，M是的中點，平分，(1)試說明：平分．(2)試說明為直角．17．在中，已知，是的角平分線，，垂足為點E，．(1)求證；(2)如果，，求的面積．18．問題呈現(xiàn)：（1）如圖1，是的一條角平分線，，垂足為E．你認(rèn)為與相等嗎？并說明理由．方法應(yīng)用：（2）①如圖2，在中，，是的角平分線，過點D作，若，，則的長為__________．②如圖3，在中，為的平分線，于點E，于點F，若的面積是72，，，求的長．19．【問題情境】（1）利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點為上一點，過點作，垂足為，延長交于點，可根據(jù)_____證明，則，（即點為的中點）．【類比解答】（2）如圖2，在中，平分，于，若，，若通過上述構(gòu)造全等的方法，求的度數(shù)．【拓展延伸】（3）如圖3，中，，，平分，，垂足在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．20．（1）如圖1，平分，．當(dāng)時，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，我們可知與之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）如圖2，平分，．當(dāng)時，試說明與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，平分，若，，求的度數(shù)．21．如圖，在中，點在上，．(1)如圖1，，請利用尺規(guī)作圖作出的角平分線，交于點，交于點；并求出的度數(shù)；(2)如圖2，若是的角平分線，，求的度數(shù)．22．【模型解讀】角平分線在數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，需要掌握其各類模型及相應(yīng)的輔助線作法．【模型證明】常見模型1條件：如圖，為的角平分線，，垂足為點A，，垂足為點B．結(jié)論：，．常見模型2條件：如圖，在中，，為的角平分線，過點，垂足為點E．結(jié)論：，且（當(dāng)是等腰直角三角形時，有）．常見模型3條件：如圖，是的角平分線，．結(jié)論：．根據(jù)模型3的條件，請證明上述結(jié)論．【模型運用】如圖，，分別為和的平分線，，則，，的數(shù)量關(guān)系是．【解決問題】如圖，是一個四邊形人工湖，，米，米，甲、乙兩人同時從點C出發(fā)，甲沿方向以2米/秒的速度前進，乙沿方向以1米/秒的速度前進，30秒后，甲、乙分別到達E，F(xiàn)處，此時測得，，此時甲、乙兩人的距離為米．23．如圖，在中，分別是的平分線，分別是的外角平分線．(1)當(dāng)時，的度數(shù)為___________，的度數(shù)為___________；(2)當(dāng)?shù)拇笮∽兓瘯r，試探究的度數(shù)是否變化？如果不變化，求的度數(shù)；如果變化，請說明理由．24．如圖①，已知線段相交于點O，連接，我們把形如圖①的圖形稱之為“對頂三角形”．如圖②，和的平分線和相交于點P，并且與分別相交于點M，N．(1)仔細觀察，在圖②中有個以線段為邊的“對頂三角形”；(2)如圖②，若，，求的度數(shù)．25．如圖1，AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，點E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數(shù)是