?？碱}型01確定集合中的元素1.集合中元素的三個(gè)特性確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；互異性：給定集合中的元素是互不相同的；無(wú)序性：集合中的元素是沒(méi)有次序的。2.元素與集合的關(guān)系：元素a與集合A只有兩種關(guān)系：a∈A，a?A。1.元素分析法：分析元素是解決集合問(wèn)題的基礎(chǔ)，求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要確定集合中的元素是數(shù)、點(diǎn)還是其他，確定這些元素所滿足的條件是什么，是否滿足元素的三個(gè)特性，并牢固掌握集合的文字、符號(hào)、圖形語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換方法。2.元素性質(zhì)法：涉及元素與集合間的關(guān)系判斷或根據(jù)集合元素的特性確定元素個(gè)數(shù)的題目，要利用元素的確定性與互異性求解。3.分類(lèi)討論思想：與集合的含義和表示有關(guān)的含參數(shù)問(wèn)題，往往要進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)時(shí)，應(yīng)注意標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏。4.方程思想：涉及元素與集合的關(guān)系及集合相等的題目，可利用集合中元素間的相等關(guān)系，列出方程或方程組求解。探究一：利用元素的性質(zhì)求元素的個(gè)數(shù)已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：由已知，可得的值，進(jìn)而得出集合中元素的個(gè)數(shù)【解析】集合則集合中元素的個(gè)數(shù)是個(gè)故選：C【答案】C【變式練習(xí)】1．已知集合，，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】集合中的元素有，，，共4個(gè)，故選：C.2．已知集合，，則集合（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題，當(dāng)時(shí)最小為，最大為，且可得，故集合故選：D探究二：列舉法求元素的個(gè)數(shù)集合的元素個(gè)數(shù)是A．2 B．4 C．6 D．8思路分析：思路分析：根據(jù)題中給出的條件,分別從最小的自然數(shù)0開(kāi)始給代值,求出相應(yīng)的的值,直到得出的為止,求出的個(gè)數(shù)?！窘馕觥恳?yàn)?所以：當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,且，所以.綜上,,元素個(gè)數(shù)是2個(gè).故選A.【答案】A【變式練習(xí)】1．集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】由已知得，又，所以中元素的個(gè)數(shù)為個(gè)．故選：C.2．設(shè)集合，，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，或，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；，故中元素的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B.探究三：根據(jù)元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)若集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．或思路分析：思路分析：分和兩種情況討論，結(jié)合集合中只有一個(gè)元素可求得實(shí)數(shù)的值?！窘馕觥慨?dāng)時(shí)，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則，解得.綜上所述，或.故選：D.【答案】D【變式練習(xí)】1．如果集合中只有一個(gè)元素，則a的值是（

）A．0 B． C．0或1 D．0或【答案】D【解析】時(shí)，，滿足題意，時(shí)，，，此時(shí)，綜上或，故選：D．2．已知集合，若中只有一個(gè)元素，則的值是（

）A． B．0或 C．1 D．0或1【答案】B【解析】集合中只含有一個(gè)元素，也就意味著方程只有一個(gè)解；（1）當(dāng)時(shí)，方程化為，只有一個(gè)解；（2）當(dāng)時(shí)，若只有一個(gè)解，只需，即；綜上所述，可知的值為或.故選：B一、單選題1．若集合中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，有一實(shí)根，所以，符合題意；所以實(shí)數(shù)的值為或；故選：C2．已知，若集合A中恰好有5個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知，可得.故選：D3．集合中的元素個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，所以集合中的元素個(gè)數(shù)有4個(gè)，故選：B.4．若方程和方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為M，則M中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：方程和方程的實(shí)數(shù)根分別是2，3和2，-1，又集合中的元素具有互異性，所以集合M中的元素個(gè)數(shù)為3個(gè).故選：C5．已知集合中所含元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】解：因?yàn)?，所以中?個(gè)元素．故選：C.6．若集合至多含有一個(gè)元素，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榧现炼嗪幸粋€(gè)元素，所以時(shí)，，此時(shí)滿足題意；當(dāng)時(shí)，要滿足題意，需方程無(wú)實(shí)根或兩相等實(shí)根，即，所以.綜上知，的取值范圍是.故選：B.7．對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)m，n，定義某種運(yùn)算“※”如下：當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或都為正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)m，n中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，，則在此定義下，集合中的元素個(gè)數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解析】（1）m，n都是正偶數(shù)時(shí)：m從2，4，6任取一個(gè)有3種取法，而對(duì)應(yīng)的n有一種取法；∴有3種取法，即這種情況下集合M有3個(gè)元素；（2）m，n都為正奇數(shù)時(shí)：m從1，3，5，7任取一個(gè)有4種取法，而對(duì)應(yīng)的n有一種取法；∴有4種取法，即這種情況下集合M有4個(gè)元素；（3）當(dāng)m，n中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)：當(dāng)m=8，n=1，和m=1，n=8，即這種情況下集合M有兩個(gè)元素；∴集合M的元素個(gè)數(shù)是3+4+2=9．故選：B．8．定義集合的一種運(yùn)算：，若，，則中的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，，所以，故集合中的元素個(gè)數(shù)為3，故選：C.二、多選題9．已知集合，則的值可能為（

）A．0 B．- C．1 D．2【答案】AB【解析】當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，由題意可知，方程只有一個(gè)根，即，，此時(shí)方程的根為，故故選：AB10．已知集合中有且只有一個(gè)元素，那么實(shí)數(shù)的取值可能是（

）A． B．1 C．0 D．【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí)，，符合題意.當(dāng)時(shí)，，符合題意.故選：AC11．下列四個(gè)命題：其中不正確的命題為（

）A．是空集 B．若，則；C．集合有一個(gè)元素 D．集合是有限集.【答案】ABD【解析】對(duì)于A：含有一個(gè)元素，所以不是空集，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，則，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：只有一個(gè)元素，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：表示有理數(shù)，包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，比如為正整數(shù)的倒數(shù)時(shí)，都有，所以集合是無(wú)限集，故選項(xiàng)D不正確；故選：ABD.三、填空題12．已知集合，記集合中的元素個(gè)數(shù)為，若，則實(shí)數(shù)______.【答案】或或【解析】因?yàn)椋?，解得或者，時(shí)，即只有一個(gè)元素，當(dāng)只有一個(gè)解而無(wú)解時(shí)，即，解得，當(dāng)只有一個(gè)解而無(wú)解時(shí)，即，不存在，時(shí)，有三個(gè)元素，當(dāng)只有一個(gè)解而有2個(gè)不同解時(shí)，即，不存在，當(dāng)只有一個(gè)解而有2個(gè)不同解時(shí)，即，解得或者，綜上所述，或或.故答案為：或或.13．集合的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)________．【答案】【解析】由可知，是12的因數(shù)，故，進(jìn)而可得可取，故答案為：14．已知集合，，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.【答案】6【解析】因?yàn)?，，，所以時(shí)，；時(shí)，或，時(shí)，或3或4.，所以集合B中元素的個(gè)數(shù)為6.故答案為：6.四、解答題15．（1）已知，，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知集合，若中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，則或.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)，集合中的元素不滿足互異性；②當(dāng)時(shí)，即，解得或（舍），此時(shí)，，集合中的元素滿足互異性.綜上所述，；（2）因?yàn)榧现杏袃蓚€(gè)元素，則，解得且，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.16．已知，集合.(1)若A是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若集合A中只有一個(gè)元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(3).【解析】（1）若A是空集，則關(guān)于x的方程無(wú)解，此時(shí)，且，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程應(yīng)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，得，此時(shí)，符合題意.綜上，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).（3）當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則，得.綜上，若集合A中至少有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.17．已知集合A是方程的解集．(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A是單元素集（集合中只有一個(gè)元素），求a的值；(3)若A中至多只有一個(gè)元素，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)1(3)【解析】（1）若，則或，當(dāng)時(shí)，方程為，其解為，所以A是單元素集．當(dāng)時(shí)，方程為，無(wú)實(shí)數(shù)解，所以A為空集．所以，若A是空集，則或即，所以a的取值范圍為；（2）由（1）可知，若A是單元素集，則或即；（3）由（1）（2）知，若A中至多只有一個(gè)元素，即A為空集或單元素集，則a的取值范圍為.18．設(shè)數(shù)集由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則.(1)若，試證明中還有另外兩個(gè)元素；(2)集合是否為雙元素集合，并說(shuō)明理由；(3)若中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)8個(gè)，所有元素的和為，且中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求集合.【答案】(