?？碱}型02確定集合間的關系子集如果集合A的元素都是集合B的元素，那么稱集合A為集合B的子集，記為A?B。真子集如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A為集合B的真子集。空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。常用結論：含n個元素的集合的子集個數為2?，真子集個數為2n-1，非空子集個數為2n-1，非空真子集個數為2n-2?？挤ㄒ唬号袛嗉祥g的關系1.列舉觀察法：當集合中元素較少時，可分別列出兩個集合中的全部元素，根據定義，通過比較兩個集合中的元素即可判斷兩集合之間的關系.2.元素特征法：當兩集合的代表元素一樣（集合屬性相同，同為數集、同為點集或同為其他集合）時，可利用集合元素的特征判斷關系.一般地，設A={x|p(x)}，B={x|q(x)}.(1)若p(x)?q(x)，則A?B；(2)若q(x)?p(x)，則B?A；(3)若p(x)?q(x)，則A=B；(4)若p(x)不能推出q(x)，且q(x)不能推出p(x)，則集合A，B無包含關系。3.數形結合法利用數軸或Venn圖.不等式解集之間的關系，適合用數軸法.若A?B和A真包含于B同時成立，則A真包含于B更能準確表達集合A，B之間的關系?？挤ǘ捍_定集合的子集1.列舉法：當一個集合的元素個數較少時，可列出其全部子集.用列舉法確定集合的子集時，要注意(1)合理分類，按照子集所含元素的個數依次寫出，一般按元素從少到多的順序逐個寫出滿足條件的集合；(2)注意兩個特殊的集合，即空集和集合本身.2.公式法：已知集合中的元素有n(n∈N)個，那么這個集合的子集有2?個，它的真子集有(2?-1)個。探究一：判斷兩個集合的包含關系給出下列關系式：①；②；③；④；⑤，其中正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4思路分析：思路分析：①空集中不含任何元素，由此可判斷①；②是整數，故可判斷②正確；③通過解方程，可得出，故可判斷③；④根據為正整數集可判斷④；⑤通過解方程，得，從而可判斷⑤.【解析】①，故①錯誤；②是整數，所以，故②正確；③由，得或，所以，所以正確；④為正整數集，所以錯誤；⑤由，得，所以，所以錯誤.所以正確的個數有2個.故選：B.【答案】B【變式練習】1．已知集合則的關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因為，，所以.故選：C．2．已知集合，，，則A，B，C之間的關系是（

）A．A=BC B．AB=CC．ABC D．BC=A【答案】B【解析】解：集合，，，集合，，，集合，，，時，表示被6除余1的數；時，表示被3除余1的數；時，表示被3除余1的數；所以，故選：B．探究二：根據集合的包含關系求參數已知，，若且，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．或思路分析：思路分析：集合A的的取值范圍是確定的，集合B中，二次函數開口向上，要先考慮恒成立的情況；若不恒成立，再結合的條件進行討論，從而得到的取值范圍?！窘馕觥考螦中，由得，當時，，（舍）；當時，，，所以集合；集合B中，若，，則，符合要求；若，根據二次函數對稱軸為，若，則，，綜上可得：故選：B【答案】B【變式練習】1．若集合，，則能使成立的所有a組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，即，時成立；當時，滿足，解得；綜上所述：.故選：C.2．已知集合，，若，則實數的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題得，因為，所以當時，當時，；當時，；故實數的取值集合是.故選：C探究三：判斷兩個集合是否相等及根據集合相等求參數已知集合，若，則的值為（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據集合，分，，依次討論兩個集合是否相等，即可?！窘馕觥坑深}意，集合，即（1）若，則，此時，成立；故（2）若，則，此時兩個集合不可能相等，不成立；（3）若，即或當時，，此時兩個集合不可能相等，不成立；當時，，集合A中有兩個相同的元素，不成立，綜上：，，故選：A【答案】A【變式練習】1．若集合，，則集合之間的關系為（

）A．AB B．BAC． D．【答案】C【解析】設任意，則，當時，所以；當時，，所以．所以又設任意，則因為，，且表示所有的偶數，表示所有的奇數．所以與都表示所有的奇數．所以．所以故．故選：C.2．已知，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】因為，所以或，解得或或，又集合中的元素需滿足互異性，所以，則．故選：C.探究四：判斷集合的子集（真子集）的個數已知集合．若，且，則滿足條件的C的個數為（

）A．479 B．480 C．511 D．512思路分析：思路分析：先求出集合A的所有子集，再求出A中含有，B中不含有的元素為5，6，7，8，9，求出對應集合的子集，從而可求出滿足條件的集合C的個數?！窘馕觥恳驗?，所以，因為，，，所以此條件的集合C有，因為A中含有，B中不含有的元素為5，6，7，8，9，而的非空子集有，所以滿足，且的集合的個數有,故選：B【答案】B【變式練習】1．已知集合，，則滿足條件的集合的個數為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】因為，,且所以集合C的個數為故選：C2．集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，則集合B的真子集的個數為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】由題得B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}.所以集合的真子集如下：∴集合的真子集個數7個.故選：C探究五：求集合的子集（真子集）若,則就稱是伙伴關系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合的個數為（）A．15 B．16 C．32 D．256思路分析：思路分析：按具有伙伴關系的集合中的元素的性質依次寫出來再統計即可?！窘馕觥烤哂谢锇殛P系的集合中有1個元素時：、共2個具有伙伴關系的集合中有2個元素時：、、共3個具有伙伴關系的集合中有3個元素時：、、共4個具有伙伴關系的集合中有4個元素時：、、共3個具有伙伴關系的集合中有5個元素時：、共2個具有伙伴關系的集合中有6個元素時：共1個，則共有個故選A【答案】A【變式練習】1．若，則，就稱是和美集合，集合的所有非空子集中是和美集合的個數為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先考慮含一個元素的子集，并且其倒數是其本身，有再考慮含有兩個元素的和美集合，有，含有三個元素的子集且為和美集合的是含有四個元素的子集且為和美集合的是.2．已知集合，，則滿足的集合C的個數為（）A．4 B．7 C．8 D．15【答案】B【解析】解：由題知，,所以滿足的集合有，故集合C的個數為7個.故選：B一、單選題1．已知集合，，，則集合P的真子集的個數是（

）A．4 B．64 C．15 D．63【答案】D【解析】由已知得，所以集合P的真子集的個數為．故選：D2．已知集合，，非空集合滿足：，，則符合條件的集合的個數為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，滿足條件的非空集合有：、、，共個.故選：A.3．已知集合，，，則集合，，的關系為（

）A． B． C． D．，【答案】B【解析】因為，，，其中均表示全體整數，表示全體奇數，所以．故選：B．4．已知集合菱形，正方形，則有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為正方形是特殊的菱形，集合菱形，正方形，所以，故選：C5．設集合，集合，若集合是集合的真子集，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：因為集合，集合，且，所以；故選：A6．①，②，③，④，其中正確的個數為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】正確；正確；不正確，左邊是數集，右邊是點集；不正確，左邊是點集，右邊是點集，但點不相同.故正確的有①②，共2個.故選：B.7．設集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，則實數x的值組成的集合為（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【答案】C【解析】解：因為，所以，解得或，的取值集合為，故選：C8．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x?A}，則下列關于集合A與B的關系正確的是（

）A．A?B B．ABC．BA D．A∈B【答案】D【解析】因為x?A，所以B＝{?，{0}，{1}，{0，1}}，則集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B，故選：D.二、多選題9．設，．若，則實數的值可以為（

）A．1 B．2 C．0 D．【答案】ACD【解析】由得：,當時，,符合題意；當時，，若，則；若，則；由于B中至多有一個元素，故,所以實數的值可以為，故選：ACD10．下列說法正確的是（

）A．由所有實數組成集合，由立德中學某班會運動的所有學生組成的集合.均不存在.B．，由5個2組成的集合.則C．，FE，則可能有4個.D．，用列舉法表示集合E為.【答案】BC【解析】對A：由所有實數組成的集合是空集，由立德中學某班會運動的所有學生組成的集合是，都存在，故錯誤；對：，由5個2組成的集合，根據集合中元素的互異性，故，故正確；對：，因為FE，故為含有且是的子集，共有4個，故正確；對：，故錯誤.故選：.11．設全集，集合，，則（

）A． B．C． D．集合的真子集個數為8【答案】AC【解析】因為全集，集合，，所以，，，因此選項A、C正確，選項B不正確，因為集合的元素共有3個，所以它的真子集個數為：，因此選項D不正確，故選：AC。三、填空題12．已知，.若，則______.【答案】【解析】因為，所以解之得：故答案為：13．設均為實數，若集合的所有非空真子集的元素之和為，則_____【答案】【解析】集合的所有非空真子集為：、、、、、，由題意可得，解得.故答案為：.14．下列說法中，正確的有________（1）空集是任何集合的真子集（2）若，，則（3）任何一個集合必有兩個或兩個以上的真子集（4）若不屬于的元素一定不屬于，則【答案】（2）（4）【解析】對于（1）：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故（1）錯誤；對于（2）：子集具有傳遞性，若，，則，故（2）正確；對于（3）：若一個集合是空集，則它沒有真子集，故（3）錯誤；對于（4）：任何不屬于的元素一定不屬于，則由韋恩圖可知（4）正確；故答案為：（2）（4）.四、解答題15．已知集合．（1）若，且中至少有一個偶數，則這樣的集合有多少個？（2）若，且，求實數的取值集合．【答案】（1）12個；（2）【解析】解：（1）因為，由，且中至少有一個偶數，得滿足條件的集合為，，，，，，，，，，，共12個．（2）因為，所以集合有兩種可能：，，當時，顯然；當時，，可得，則有，或，或，或，解得，或，或，或，綜上，實數的取值集合是．16．設集合，．(1)當時，求A的非空真子集個數；(2)當時，求m的取值范圍．【答案】(1)62(2)【解析】（1）∵，∴，∴A的非空真子集的個數為．（2）分兩種情況討論：①當時，，則；②當時，解得．綜上可得，m的取值范圍為．17．已知集合.(1)判斷是否屬于集合A；(2)若正整數能表示為某個整數的平方，，證明：；(3)若集合，證明：.【答案】(1)屬于集合A；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】(1)由，可知屬于集合A；(2)由題可設，又由，設，有，由，有，故有；(3)①當都為