常考題型13函數(shù)單調性的判斷、證明與應用1.增函數(shù)與減函數(shù)的定義前提條件設函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I條件?x1，x2∈D，x1<x2都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)圖示結論f(x)在區(qū)間D上單調遞增f(x)在區(qū)間D上單調遞減特殊情況當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數(shù)2.函數(shù)的單調區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調區(qū)間．考法一：函數(shù)單調性的判斷或證明1.定義法(1)利用定義法證明函數(shù)單調性的步驟①取值，即設，是給定區(qū)間內的任意兩個值，且<.②作差，即-(或-).③變形，即通過因式分解、配方、通分、有理化等方法使其轉化為易于判斷正負的式子.④判號，即確定-(或-)的符號，當符號不確定時，要進行分類討論.⑤定論，即根據(jù)定義得出結論.其中第③步是關鍵，在變形中一般盡量將式子化為幾個最簡因式乘積或商的形式，且其中一定有因式-(或-).(2)常用的變形技巧:①因式分解：當原函數(shù)是多項式函數(shù)時，通常作差后進行因式分解.②通分：當原函數(shù)是分式函數(shù)時，作差后往往先進行通分，然后對分子進行因式分解.③配方：當原函數(shù)是二次函數(shù)時，作差后可以考慮配方.④分子有理化：當原函數(shù)是含根式的函數(shù)時，作差后往往考慮分子有理化.(3)利用定義法證明函數(shù)的單調性還可以用作商法.2.圖象法(1)如果給出函數(shù)圖象(或函數(shù)的圖象能畫出)求單調區(qū)間，那么只需觀察函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的升降趨勢，便可直接寫出函數(shù)的單調區(qū)間.(2)在探究函數(shù)的單調性并求單調區(qū)間問題時，常需要作出函數(shù)的大致圖象，根據(jù)函數(shù)圖象直觀得出函數(shù)的單調區(qū)間，再利用定義法加以證明.3.利用已知結論(1)直接判斷法：利用已知函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的單調性，直接寫出所求函數(shù)的單調區(qū)間.(2)轉化后利用已知結論.：將所給函數(shù)適當?shù)刈冃危D化為可以利用已知函數(shù)單調性的形式，再借助已知函數(shù)的單調性寫出它的單調區(qū)間。4.性質法若函數(shù)，在區(qū)間D上具有單調性，則(1)當a>0時，a與有相同的單調性，當a<0時，函數(shù)a與有相反的單調性.(2)當函數(shù)恒為正(或恒為負)時，與有相反的單調性.(3)若≥0，則與具有相同的單調性.(4)在，的公共單調區(qū)間上，有如下結論+-增增增不確定增減不確定增減減減不確定減增不確定減(5)若，都是增(減)函數(shù)，①當>0，且>0時，?也是增(減)函數(shù).②當<0，且<0時，?是減(增)函數(shù).5.復合函數(shù)單調性的判斷方法(1)對于復合函數(shù)，如果在(a，b)上是單調函數(shù)，并且在（，）或(，)上也是單調函數(shù)，則在(a，b)上的單調性為增增增增減減減增減減減增簡記為“同增異減”.(2)若一個函數(shù)是由多個簡單函數(shù)復合而成的，則此復合函數(shù)的單調性由簡單函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)決定.若減函數(shù)有偶數(shù)個，則這個復合函數(shù)為增函數(shù)；若減函數(shù)有奇數(shù)個，則這個復合函數(shù)為減函數(shù).(3)判斷復合函數(shù)單調性的步驟①確定函數(shù)定義域.②將復合函數(shù)分解成，.③分別確定這兩個函數(shù)的單調性.④確定復合函數(shù)的單調性.6.抽象函數(shù)單調性的判斷方法判斷或證明抽象函數(shù)單調性常用配湊法(1)根據(jù)所給等式及不等式的特征，將-湊出可用條件式來表達的式子，從而判斷出的單調性.(2)常見的配湊方法如下①若已知條件中含，常進行如下變形-=f[(-)+]-.②若已知條件中含，常進行如下變形：-=-考法二：函數(shù)單調性的應用1.求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍：利用函數(shù)的單調性求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍的解題思路(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調性定義，確定函數(shù)的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參.(2)根據(jù)函數(shù)單調性的定義建立關于參數(shù)的不等式(組)，通過解不等式（組）求出參數(shù)的取值范圍.2.比較函數(shù)值的大小比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調區(qū)間內，要利用其性質，轉化到同一個單調區(qū)間上進行比較，對于選擇題、填空題，能數(shù)形結合的盡量用圖象法求解.3.解抽象不等式求解含“f”函數(shù)的不等式的解題思路:先利用函數(shù)的相關性質將不等式轉化為>的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調性去掉“”，得到一般的不等式>(或<).4.利用函數(shù)單調性可以求函數(shù)最值.(1)若函數(shù)在[a，b]上單調遞增，則的最小值是，最大值是.(2)若函數(shù)在[a，b]上單調遞減，則的最小值是，最大值是.(3)若在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在[b，c]上單調遞減，則的最大值是，最小值是，中的較小者.(4)若在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在[b，c]上單調遞增，則的最小值是，最大值是，中的較大者.探究一：求函數(shù)的單調區(qū)間函數(shù)的單調增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和【變式練習】1．函數(shù)的遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和2．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）＝ax（a為常數(shù)）并且f（﹣1）＝﹣1，則f（x）的單調增區(qū)間是（

）A．（﹣∞，2]和[2，+∞） B．（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）C．[﹣2，2] D．[﹣1，1]探究二：根據(jù)圖像判斷函數(shù)單調性設函數(shù)，則（

）A．的最大值為B．在上單調遞增，在上單調遞減C．的最小值為D．在上單調遞增，在上單調遞減【變式練習】1．符號表示不超過的最大整數(shù)，如，，定義函數(shù)：，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的最大值為，最小值為 B．C．方程有無數(shù)個根 D．函數(shù)在定義域上是單調遞增函數(shù)2．下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是A． B． C． D．探究三：利用函數(shù)單調性求參數(shù)的值已知函數(shù)且在定義域上是單調函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式練習】1．已知函數(shù)，若對任意的，且恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．探究四：利用函數(shù)單調性解不等式若函數(shù)在R單調遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式練習】1．已知偶函數(shù)的定義域為，當時，，則的解集為（

）A． B．C． D．2．已知定義在上的函數(shù)在上單調遞增，若，且函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．探究五：利用函數(shù)單調性比較大小已知函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時，恒成立，設，，（其中），則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【變式練習】1．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，恒成立，設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．2．若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關系式中成立的是（

）A． B．C． D．一、單選題1．已知函數(shù)在上單調遞減，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，在上單調遞增的函數(shù)是（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且，若在上是單調遞減的，那么在上是（

）A．單調遞增 B．單調遞減 C．先增后減 D．先減后增4．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則、、的大小關系為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，，，若存在，使得成立，則的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．6．定義在上的函數(shù)滿足，若的圖像關于點對稱，且函數(shù)在上單調遞減，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間，上都單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題9．已知函數(shù)，且，，則函數(shù)的值域是______.10．已知函數(shù)的增區(qū)間是，則實數(shù)a的值為___________.11．已知函數(shù)，若對于區(qū)間上任意兩個不相等的實數(shù)，，都有，則實數(shù)a的取值范圍為___________．12．已知函數(shù)，則不等式的解集為______.13．已知函數(shù)的單調增區(qū)間為_______．三、解答題14．已知是定義在上的偶函數(shù)，且時，且單調遞增.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求實數(shù)的取