?？碱}型15利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較大小1.五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減2.一般冪函數(shù)的圖象特征（1）所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)．（2）當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的（3）當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減．（4）冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．（5）在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．一、利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較大小1.單調(diào)性法同底不同指：利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較.同指不同底：利用冪函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較.2.介值法：既不同底又不同指：常常找到一個(gè)中間值，通過比較兩個(gè)冪值與中間值的大小來判斷兩個(gè)冪值的大小.二、二次函數(shù)1.圖象的識(shí)別識(shí)別二次函數(shù)的圖象時(shí)，要注意四個(gè)方面：一是開口方向；二是對(duì)稱軸；三是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；四是頂點(diǎn)坐標(biāo).2.單調(diào)性1.二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對(duì)稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要依據(jù)其圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論.2.若已知在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A?即區(qū)間A一定在二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的左側(cè)（右側(cè)）.3.區(qū)間最值問題二次函數(shù)(不妨設(shè)a>0)在區(qū)間[m，n]上的最大或最小值如下.(1)當(dāng)∈[m，n]，即對(duì)稱軸在所給區(qū)間內(nèi)時(shí)，的最小值在頂點(diǎn)處取得，其最小值是=，若≤，則的最大值為；若，則的最大值為.(2)當(dāng)?[m，n]，即給定的區(qū)間在對(duì)稱軸的一側(cè)時(shí)，在[m，n]上是單調(diào)函數(shù).若<m，則在[m，n]上是增函數(shù)，的最小值是，最大值是；若n<，則f(x)在[m，n]上是減函數(shù)，的最小值是，最大值是.(3)當(dāng)不能確定對(duì)稱軸是否屬于區(qū)間[m，n]時(shí)，需分類討論，以對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系確定討論的標(biāo)準(zhǔn)，然后轉(zhuǎn)化為上述(1)(2)兩種情形求最值.4.恒成立問題解題方法指導(dǎo)》1.恒成立的條件是2.恒成立的條件是3.≥恒成立≥，≤恒成立≤。探究一：冪函數(shù)的定義域與值域若,則不等式的解集是A． B． C． D．思路分析：思路分析：由冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性得出不等式組,解不等式組即可得出答案?！窘馕觥拷猓河傻檬嵌x在上的增函數(shù),則由不等式得,解得:.故選:A.【答案】A【變式練習(xí)】1．冪函數(shù)y=xα中α的取值集合C是{–1，0，，1，2，3}的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時(shí)，集合C為A．{–1，0，} B．{，1，2}C．{–1，，1，3} D．{，1，2，3}【答案】C【解析】根據(jù)冪函數(shù)y=x–1，y=x0，y=，y=x，y=x2，y=x3的圖象和解析式可知，當(dāng)α=–1時(shí)，相應(yīng)冪函數(shù)的值域與定義域相同，均為；當(dāng)α=時(shí)，相應(yīng)冪函數(shù)的值域與定義域相同，均為；當(dāng)α=1時(shí)，相應(yīng)冪函數(shù)的值域與定義域相同，均為R；當(dāng)α=3時(shí)，相應(yīng)冪函數(shù)的值域與定義域相同，均為R，故選C．2．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的值域?yàn)锳． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：的圖象過點(diǎn)，值域?yàn)樘骄慷簝绾瘮?shù)的單調(diào)性與奇偶性“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要思路分析：思路分析：要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求出，可得函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；函數(shù)為奇函數(shù)，求出，故必要性不成立，可得答案?！窘馕觥恳购瘮?shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則，解得：，當(dāng)時(shí)，，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；“函數(shù)為奇函數(shù)”，則，即，解得：，故必要性不成立，故選：A．【答案】A【變式練習(xí)】1．“”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的一個(gè)（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，故充分性成立；若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則，解得或故必要性不成立因此“”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的一個(gè)充分不必要條件，故選：A2．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A：函數(shù)，所以不是奇函數(shù)，不符合題意，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：函數(shù)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：函數(shù)是奇函數(shù)，在和上單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增，不符合題意，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意，故選項(xiàng)D不正確；故選：B.探究三：二次函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用如果函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)t都有，那么（

）A．f(2)<f(1)<f(4) B．f(1)<f(2)<f(4)C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1)思路分析：思路分析：根據(jù)給定條件可得函數(shù)圖象對(duì)稱軸為，再借助對(duì)稱性、單調(diào)性即可比較判斷作答。【解析】因函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)t都有，則其圖象對(duì)稱軸為，且在上遞增，于是得，而，所以.故選：A【答案】A【變式練習(xí)】1．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，開口向下，對(duì)稱軸為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A2．若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸為，由于在上是減函數(shù)，所以.故選：B一、單選題1．下列函數(shù)中，既是其定義域上的單調(diào)函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：對(duì)于A：在定義域上單調(diào)遞增，但是為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：在定義域上單調(diào)遞增，但是為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：定義域?yàn)?，在定義域上單調(diào)遞增，但是為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：在定義域上單調(diào)遞增，且，即為奇函數(shù)，故D正確；故選：D2．若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B．3 C．9 D．8【答案】B【解析】解：由題意知，所以，即，所以，所以，所以.故選：B3．下列命題正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過，兩點(diǎn) B．函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限C．如果兩個(gè)冪函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)函數(shù)一定相同 D．如果冪函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象一定經(jīng)過點(diǎn)【答案】D【解析】解：對(duì)于A，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不過點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，的圖象過第一、三象限，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)函數(shù)不相同，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，所以冪函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，圖象一定經(jīng)過點(diǎn)，故D項(xiàng)正確．故選：D．4．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，則，又因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，得，所以.故選：A5．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A．27 B． C． D．【答案】A【解析】由題意，令，即，解得或，當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，即冪函數(shù)，則.故選：A.6．不論取任何實(shí)數(shù)，拋物線的頂點(diǎn)都（

）A．在直線上 B．在直線上C．在軸上 D．在軸上【答案】B【解析】不論取任何實(shí)數(shù)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，該拋物線的頂點(diǎn)都在直線上.故選：B.7．已知圖象開口向上的二次函數(shù)，對(duì)任意，都滿足，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，又二次函數(shù)圖象開口向上，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得．故選：B.8．已知函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間[m，n]，其中，若f（x）的值域?yàn)閇-4，4]，則的取值范圍是（

）A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8]【答案】C【解析】若，，函數(shù)為增函數(shù)，時(shí)，則，所以，當(dāng)時(shí)，作圖如下，為使取最大，應(yīng)使盡量大，盡量小，此時(shí)，由，即，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)在對(duì)稱軸同側(cè)時(shí)最小，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)都在對(duì)稱軸右側(cè)，則由，解得，，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)，但，等號(hào)取不到，，時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的取值范圍是，故選：C二、多選題9．已知若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B．的取值范圍為C． D．【答案】ABC【解析】作出的圖像，如圖所示．設(shè)，則．由的圖像及一元二次函數(shù)的對(duì)稱軸性質(zhì)可知，，故C正確；令，解得，所以，故A正確；結(jié)合上述分析易知的取值范圍為，故B正確；與不一定關(guān)于y軸對(duì)稱，故不一定成立，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．已知冪函數(shù)（m，，m，n互質(zhì)），下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（

）A．m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)C．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)D．時(shí)，冪函數(shù)在上是減函數(shù)E．m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮緼CE【解析】，當(dāng)m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)，故A中的結(jié)論正確；當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，冪函數(shù)/在時(shí)無意義，故B中的結(jié)論錯(cuò)誤當(dāng)m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)，故C中的結(jié)論正確；時(shí)，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，故D中的結(jié)論錯(cuò)誤；當(dāng)m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)在上恒有意義，故E中的結(jié)論正確.故選：ACE.11．若函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間M是增函數(shù)，且在M上是減函數(shù)，則稱在M上是“弱增函數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A．若，則不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”B．若，則存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”C．若，則為R上的“弱增函數(shù)”D．若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：在上為增函數(shù)，在定義域內(nèi)的任何區(qū)間上都是增函數(shù)，故不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”，A正確；對(duì)于B：由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上為增函數(shù)，，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上為減函數(shù)，故存在區(qū)間使為“弱增函數(shù)”，B正確；對(duì)于C：為奇函數(shù)，且時(shí)，為增函數(shù)，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知為R上的增函數(shù)，為偶函數(shù)，其在時(shí)為增函數(shù)，在時(shí)為減函數(shù)，故不是R上的“弱增函數(shù)”，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則在上為增函數(shù)，所以，解得，又在上為減函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，，則，綜上.故D正確．故選：ABD．三、填空題12．已知函數(shù)．若的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t__________．【答案】【解析】因?yàn)?，?duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)：在上單調(diào)遞減，所以，無解；當(dāng)時(shí)：在上單調(diào)遞增，所以，解得：或，或，又，所以，;當(dāng)時(shí)：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，與矛盾；綜上所述：，，此時(shí)故答案為：.13．若二次函數(shù)在時(shí)的最大值為3，那么m的值是________．【答案】或【解析】，拋物線開口向下，拋物線的對(duì)稱軸為，①當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為3，，解得：（舍去）；②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為3，，解得：．③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為3，，解得（舍去）或，綜上所述，或.故答案為：或14．已知函數(shù)f（x）的值域是[0，+∞），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__．【答案】【解析】解：當(dāng)時(shí)，，值域是[0，+∞），滿足條件；令，當(dāng)m＜0時(shí)，的圖象開口向下，故f（x）的值域不會(huì)是[0，+∞），不滿足條件；當(dāng)m＞0時(shí)，的圖象開口向上，只需的，即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0，∴，又，所以綜上，，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是：，故答案為：.四、解答題15．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)；(2)或【解析】（1）因?yàn)闉閮绾瘮?shù)

所以

因?yàn)闉榕己瘮?shù)

所以故的解析式.（2）由（1）知，

當(dāng)即時(shí)，，即

當(dāng)即時(shí)，即

綜上所述：或16．已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn).(1)求的值；(2)證明：函數(shù)是增函數(shù).【答案】(1)；(2)證明見解析【解析