?？碱}型17指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的?？键c(diǎn)方法總結(jié)必備知識必備知識1.任意兩個指數(shù)函數(shù)的圖象都是相交的，過定點(diǎn)(0，1)，底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；2.當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢；當(dāng)0<a<1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢。3.指數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小關(guān)系如圖所示，其中0<c<d<1<a<b，在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針方向變大。4.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)(a>0且a≠1)圖象a>10<a<1圖象特征在x軸上方，過定點(diǎn)(0，1)當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸上升當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸下降性質(zhì)定義域R值域(0，+∞)單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x=0時(shí)，y=1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x>0時(shí)，y>1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)一、指數(shù)型函數(shù)的圖象問題1.圖象的識別(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，觀察選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除；(2)解指數(shù)型函數(shù)圖象問題，一般從指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)分類討論；(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解；(4)判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x=1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較；二、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用1.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較冪值的大小，其方法是先看能否化成同底數(shù)冪，能化成同底數(shù)冪的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大小，不能化成同底數(shù)冪的，一般引入“1”等中間量比較大??；2.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解簡單的指數(shù)方程或不等式，其方法是先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；3.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其方法是首先研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解。題型探究一題型探究一探究一：指數(shù)函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除B，再根據(jù)時(shí)函數(shù)值的符號排除D，最后結(jié)合趨近于時(shí)函數(shù)值的范圍求解即可?！敬鸢浮緾【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B選項(xiàng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故排除D，當(dāng)趨近于時(shí)，由于指數(shù)呈爆炸型增長，故函數(shù)值趨近于，故排除A選項(xiàng)，故選：C【變式練習(xí)】1．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù)，故排除D，由于，故當(dāng)時(shí)，，故排除AB，故選：C2．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，，所以為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故排除C，D；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，趨近于，趨近于0，但是比增長速度快得多，所以趨近于0，故排除A．故選：B.探究二：求指數(shù)函數(shù)的值域設(shè)函數(shù)，記表示不超過的最大整數(shù)，例如，，.那么函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)條件先判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和求值范圍，然后討論和的取值范圍，結(jié)合的定義進(jìn)行求解即可?！敬鸢浮緽【詳解】因?yàn)?，所以，則是奇函數(shù)，，因?yàn)椋?，則，則，即的值域?yàn)?，①若，由，則，所以②若，由，則，所以③若，則，所以.綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?故選：B.【變式練習(xí)】1．已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，函數(shù)，，令，則在上單調(diào)遞增，即，于是有，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：B2．已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因函數(shù)的值域是，于是得函數(shù)的值域是，因存在實(shí)數(shù)，使得，則，因此，，解得，所以的取值范圍是.故選：B探究三：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：證明函數(shù)是偶函數(shù)，在是是增函數(shù)，然后由奇偶性、單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解?！敬鸢浮緼【詳解】的定義域是，，是偶函數(shù)，時(shí)，設(shè)，，，，從而，所以，即，是增函數(shù)，不等式化為，所以，，解得．故選：A.【變式練習(xí)】1．若實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，由于，均為上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)．因?yàn)?，所以，即，所以，所以．故選：C．2．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，由，得因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，又時(shí)，在上單調(diào)遞減；所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：A探究四：指數(shù)函數(shù)的最值問題對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“倒戈函數(shù)”．設(shè)（，）是定義在上的“倒戈函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：問題就是方程在有解，變形為，引入新函數(shù)，求得函數(shù)的值域即可得結(jié)論?！敬鸢浮緼【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的“倒戈函數(shù)，存在滿足，，，構(gòu)造函數(shù)，，令，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以取得最大值0，或取得最小值，，，，故選：A．【變式練習(xí)】1．設(shè)，，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)椋?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)所以所以，即因?yàn)椋裕?因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，令，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得在單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立時(shí)，.所以的最小值為.故選：A2．函數(shù)在區(qū)間上最小值是（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】B【詳解】∵在上單調(diào)遞增，∴.故選：B.題型突破訓(xùn)練題型突破訓(xùn)練一、單選題1．設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因在上單調(diào)遞增，則,得.因在上單調(diào)遞減，則，得.則.故選：A2．已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，得，，即.故選：B3．已知函數(shù)滿足對，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意得在上單調(diào)遞增，則，解得，故選：C4．若，則下列選項(xiàng)錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，則；A.，則，，，A正確；B.在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，B正確；C.當(dāng)時(shí)，，C錯誤；D.當(dāng)時(shí)，，D正確；故選：C.5．若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“有點(diǎn)奇函數(shù)”，若為定義域上的“有點(diǎn)奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】即在上有解.根據(jù)題意，為定義域上的“有點(diǎn)奇函數(shù)”，即在上有解.即在上有解.即在上有解.即在上有解.設(shè)（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）也即在上有解.即在上有解.，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是故選：B6．已知函數(shù)滿足對任意，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：函數(shù)滿足對任意，都有成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：B.7．函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)的定義域是，，為偶函數(shù)，排除CD選項(xiàng)，，排除B，故選：A．8．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)椋?，設(shè)，因?yàn)?，?=，令,則，所以，因?yàn)?，由對勾函?shù)的性質(zhì)可得，所以，所以，所以以，即函數(shù)的值域?yàn)?故選：A.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱C．的最大值為D．冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為1【答案】BD【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋詫τ诤瘮?shù)，有，即的定義域是，A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，，所以圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，所以，即的最小值為，C選項(xiàng)錯誤.D選項(xiàng)，是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD10．已知函數(shù)（，且），則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)恒過定點(diǎn)B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若直線與函數(shù)的圖像有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】BC【詳解】解：已知函數(shù)（，且），則對于A，，函數(shù)恒過定點(diǎn)，故A錯誤；對于B，，則，所以，函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；對于C，任取，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則，當(dāng)，則恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則，當(dāng)，則恒成立，所以，則恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，的圖象由的圖象向下平移一個單位，再將軸下方的圖象翻折到軸上方得到，分和兩種情況分別作圖，如圖所示：當(dāng)時(shí)不合題意；時(shí)，需要，即，故D錯誤；故選：BC.11．下列函數(shù)中，對任意，，，滿足條件的有（

）．A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由題意可知，在上是下凸函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知，AB正確；由冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知，C錯誤，D正確.故選：ABD.三、填空題12．已知，，則__________.【答案】【詳解】，，設(shè)，在上遞增，而，所以，則.故答案為：13．奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則不等式的解集為______.【答案】【詳解】解：奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，于是可得在上單調(diào)遞減，由不等式，得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增所以，即不等式得解集為.故答案為：.14．已知函數(shù)（），若函數(shù)在的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】【詳解】令，則當(dāng)時(shí)，，，對稱軸為；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得：（舍）；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得：（舍）或；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得：（舍）；綜上所述：.故答案為：.四、解答題15．設(shè)函數(shù)（且，，），若是定義在上的奇函數(shù)且．(1)求k和a的值；(2)判斷其單調(diào)性（無需證明），并求關(guān)于t的不等式成立時(shí)，實(shí)數(shù)t的取值范圍；(3)函數(shù)，，求的值域．【答案】(1)，(2)增函數(shù)，或(3)【詳解】（1）∵是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，∴，得．此時(shí)，，，即是R上的奇函數(shù)．∵，∴，即，∴或（舍去）故，（2）明顯地，為增函數(shù)，則只需，，∴或．（3）∴，令，由（2），易知在上為增函數(shù)，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，有最小值，∴的值域是．16．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，不需要證明；(3)解關(guān)于的不等式：.【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增；(3).【詳解】（1）令，則，，又為奇函數(shù)，所以，所以.（2）在上單調(diào)遞增.（3），由為奇函數(shù)可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，所以不等式的解集為.17．已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)討論的單調(diào)性；(2)是否存在實(shí)數(shù)a使得的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱？若存在，請求出實(shí)數(shù)a，若不存在，請說明理由.【答案】(1)答案詳見解析(2)存在，且.【詳解】（1），所以的定義域?yàn)?，，根?jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知：當(dāng)時(shí)，，沒有單調(diào)性.