第八章解析幾何第4課時(shí)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)一直線與圓位置關(guān)系的判定設(shè)圓O的半徑為r(r>0)，圓心到直線l的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系可用下表表示：位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ__0Δ__0Δ__0幾何觀點(diǎn)d__rd__rd__r常見(jiàn)問(wèn)題最值問(wèn)題切線問(wèn)題弦長(zhǎng)問(wèn)題<

＝>

>

＝<

[常用結(jié)論]已知圓x2＋y2＝r2與點(diǎn)P(x0，y0)．(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為x0x＋y0y＝r2，如圖1.(2)當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為x0x＋y0y＝r2，如圖2.(3)當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)且異于圓心時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作圓的弦，則弦的兩個(gè)端點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)的軌跡是一條直線，其方程為x0x＋y0y＝r2，如圖3.

[典例1]

已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(

)A．相切 B．相交C．相離 D．不確定√

【教師備用】(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直線l：ax＋by－r2＝0(r>0)與圓C：x2＋y2＝r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切√√√

點(diǎn)撥

判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法跟進(jìn)訓(xùn)練1

(1)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(

)A．相交

B．相切

C．相離

D．不確定(2)“a＝3”是“直線y＝x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件√√

考點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：

外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d＞_________d＝_______|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝______d＜______r1＋r2r1＋r2|r1－r2||r1－r2|[常用結(jié)論]1．兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.2．兩個(gè)圓系方程(1)過(guò)直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．(2)過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時(shí)，注意檢驗(yàn)圓C2是否滿足題意，以防漏解)．[典例2]

已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切，此時(shí)公切線方程是什么？(3)求m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．

√√

(x－3)2＋(y＋1)2＝16√

考點(diǎn)三圓的切線、弦長(zhǎng)問(wèn)題考向1

切線問(wèn)題[典例3]已知圓C：(x－3)2＋y2＝1.(1)過(guò)點(diǎn)P(0，1)作直線l與圓C相切，切線長(zhǎng)為_(kāi)_______，直線l的方程為_(kāi)_________________________．(2)過(guò)點(diǎn)M(2，3)作直線l與圓C相切，則直線l的方程為_(kāi)____________________．(3)過(guò)直線y＝x＋1上一點(diǎn)B向圓C引切線，Q為切點(diǎn)，則|BQ|的最小值為_(kāi)_______．3y＝1或3x＋4y－4＝04x＋3y－17＝0或x＝2

4√

√