答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁湖北省丹江口市第二中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知，，則（

）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C． D．4．（

）A． B． C． D．5．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則6．已知為單位向量，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．7．在三棱柱中，平面．若所有的棱長都是2，則異面直線與所成的角的正弦值為（

）．A． B． C． D．8．如圖，在中，，E為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）

A．8 B．12 C．32 D．16二、多選題9．已知，，則（）A． B．的共軛復(fù)數(shù)是C．的虛部是 D．是純虛數(shù)10．已知向量，，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C．向量與夾角是 D．11．如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）A．三棱錐的體積是定值B．過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面是六邊形C．存在唯一的點(diǎn)，使得D．與平面所成的角為定值三、填空題12．已知，若為純虛數(shù)，則.13．已知，是單位向量，且，則向量與的夾角為．14．如圖，在三棱錐V-ABC中，，，，，且，，則二面角V-AB-C的余弦值是四、解答題15．設(shè)復(fù)數(shù)．(1)若是實(shí)數(shù)，求；(2)若是純虛數(shù)，求．16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面；17．已知函數(shù)f（x）＝sinxcosxcos2x+1（1）求f（x）的最小正周期和最大值，并寫出取得最大值時(shí)x的集合；（2）將f（x）的函數(shù)圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位后得到的函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，求φ的最小值.18．記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．19．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.《湖北省丹江口市第二中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案ADBABCACACDBCD題號(hào)11答案AC1．A【分析】由并集的運(yùn)算直接求解．【詳解】因?yàn)椋?，則．故選：A．2．D【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡得，再結(jié)合復(fù)數(shù)的概念與幾何意義即可得答案.【詳解】復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.3．B【分析】利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，則.故選：B4．A【分析】利用誘導(dǎo)公式與兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】.故選：A.5．B【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則或異面，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，則或或相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，則或，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B6．C【分析】由求出，再利用向量的夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，且，所以，得，所以，因?yàn)?，所?故選：C7．A【分析】由題可知，即為所求或所求角的補(bǔ)角，利用余弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，連接，∵//，∴就是異面直線與所成的角．在中，,,∴．∴．∴異面直線與所成的角的正弦值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線夾角的求解，涉及余弦定理，屬綜合基礎(chǔ)題.8．C【分析】由已知條件結(jié)合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常數(shù)代換技巧求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是32.故選：C9．ACD【分析】對(duì)于A，根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求解即可；對(duì)于B，根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算及費(fèi)軛復(fù)數(shù)的概念即可求解；對(duì)于C，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求出，連而可求虛部；對(duì)于D，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求出，進(jìn)而判斷是不是純虛數(shù).【詳解】對(duì)于A，，，故A正確；對(duì)于B，，的共軛復(fù)數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，的虛部為3，故C正確；對(duì)于D，，故為純虛數(shù)，故D正確.故選：ACD10．BCD【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，則，且，則，解得，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，則，故B正確；因?yàn)?，則，故C正確；因?yàn)?，則，故D正確；故選：BCD11．AC【分析】利用，結(jié)合的面積為定值，點(diǎn)到平面的距離為定值，可判斷A；平面的基本性質(zhì)作出面與的交點(diǎn)，利用正方體的性質(zhì)及線線平行、線面平行、中位線性質(zhì)判斷B；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，可得，進(jìn)而判斷C；到平面的距離一定，而長度隨運(yùn)動(dòng)會(huì)變化，結(jié)合線面角定義判斷D.【詳解】因?yàn)槭蔷€段上的動(dòng)點(diǎn)，而且，所以的面積為定值，又點(diǎn)到平面的距離為定值，，所以三棱錐的體積是定值，A正確；過作分別交，的延長線于，，連接，，如圖，為，的交點(diǎn)，為，的交點(diǎn)，所以截面為五邊形，B錯(cuò)誤；在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，，而為中點(diǎn)，所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，故存在唯一的點(diǎn)使得，C正確；由，平面，平面，則平面，所以到平面的距離一定，而長度隨運(yùn)動(dòng)會(huì)變化，故與平面所成的角不為定值，D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題A選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于，利用線線平行得到點(diǎn)到的面積為定值，從而得解.12．【分析】根據(jù)為純虛數(shù)求出的值，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則，則..故答案為：.13．【分析】由題意，分別計(jì)算出向量與的模及兩者的數(shù)量積，代入公式即可求得兩向量夾角的余弦，從而得出兩向量的夾角．【詳解】，同理，，，由向量夾角的范圍為，所以向量與的夾角為.故答案為：14．/【分析】取的中點(diǎn)，連接、，證明出，，可得出二面角的平面角為，計(jì)算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：，為的中點(diǎn)，則，且，，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)樗?，則二面角的平面角為，由余弦定理得，因此，二面角的余弦值為.故答案為：.15．(1)；(2).【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的加法及復(fù)數(shù)的分類求出，再利用復(fù)數(shù)乘法求解即得.（2）利用復(fù)數(shù)除法及復(fù)數(shù)的分類求出即得.【詳解】（1）由，得，而是實(shí)數(shù)，于是，解得，所以．（2）依題意，是純虛數(shù)，因此，解得，所以．16．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，即可證明，從而得證；（2）依題意可得，再由線面垂直的性質(zhì)得到，從而得到平面，證得，即可得證.【詳解】（1）

連接，交于點(diǎn)，連接，∵是正方形對(duì)角線交點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)，由已知為線段的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面；（2），為線段的中點(diǎn)，，∵平面，平面，，在正方形中，，又，平面，平面，又平面，，又，平面，平面；17．（1）最小正周期為Tπ，f（x）取得最大值為2，此時(shí)x的集合為{x|x＝kπ，k∈Z}.（2）【分析】（1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）＝sin（2x）+1，由此可得最小正周期及最大值，由當(dāng)且僅當(dāng)2x2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）取得最大值，解出x的集合；（2）通過平移變換可得g（x）=sin（2x+2φ）+1，若函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，令，k∈Z即可，從而得到φ的最小值．【詳解】（1）f（x）＝sinxcosxcos2x+1sin2xcos2x+1＝sin（2x）+1，所以函數(shù)f（x）的最小正周期為Tπ，當(dāng)且僅當(dāng)2x2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）取得最大值為2，此時(shí)x的集合為{x|x＝kπ，k∈Z}.（2）g（x）＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）+1，因?yàn)間（x）是偶函數(shù)，所以2φkπ，k∈Z，即φkπ，k∈Z，所以φ的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用公式化簡三角函數(shù)，求三角函數(shù)的周期、最值、極值點(diǎn)和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)等，需要特別注意集合的書寫規(guī)范，屬于基礎(chǔ)題.18．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.【詳解】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，可得，因?yàn)?，所以，從而，又因?yàn)?，即，注意到，所?（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.19．(1)證