試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)湖南省邵陽市2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期9月拔尖創(chuàng)新班聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知命題，，則命題的否定為（

）A．， B．，C．， D．，3．已知均為實(shí)數(shù)，則“”是“或”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件4．若，，，則（

）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．6．若，則的值為（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，于D，，矩形的頂點(diǎn)E與A點(diǎn)重合，，將矩形沿AB平移，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移，設(shè)點(diǎn)E平移的距離為x，矩形與重合部分的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

8．已知函數(shù)，，其中均為實(shí)數(shù)．若方程有且僅有5個(gè)不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解之積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．不等式的解集為B．函數(shù)的定義域?yàn)镃．若，則函數(shù)的最小值為2D．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是10．已知，，．則下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．的最大值為C．的最小值為1 D．的最小值為11．已知函數(shù)則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則B．關(guān)于的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解C．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立D．函數(shù)的圖象與直線，及軸所圍成圖形的面積為三、填空題12．若函數(shù)與（且）互為反函數(shù)，且的圖象過點(diǎn)，則．13．如圖，“水滴”是由線段和圓的優(yōu)弧所圍成的封閉圖形，其中恰好與圓弧相切．若圓弧所在圓的半徑為2，點(diǎn)到圓弧所在圓的圓心的距離為4，則該“水滴”的面積為.14．已知定義在上的奇函數(shù)，對(duì)，總有成立，當(dāng)時(shí)，．函數(shù)，若對(duì)，，使得成立，則滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題15．化簡(jiǎn)與求值：(1)計(jì)算：①；②．(2)已知，若，求下列各式的值：①；②．16．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過第三象限的點(diǎn)，且，求下列各式的值：(1)及；(2)．17．給定數(shù)集A，若對(duì)于任意，有，，則稱集合A為閉集合．(1)判斷集合，是否為閉集合，并給出證明；(2)若集合為閉集合，則是否一定為閉集合？請(qǐng)說明理由；(3)若集合為閉集合，且，，證明：．18．已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，都有，且當(dāng)時(shí)，．(1)判斷函數(shù)的奇偶性并用定義證明；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；(3)解不等式：．19．已知函數(shù)，，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間（直接寫出結(jié)果）；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若不等式對(duì)任意，（）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《湖南省邵陽市2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期9月拔尖創(chuàng)新班聯(lián)考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案DBADACCAACDABD題號(hào)11答案CD1．D【分析】依次將集合A中的四個(gè)元素，代入不等式檢驗(yàn)，若不等式成立，則說明該元素屬于集合B，從而說明該元素是中的元素；否則，該元素就不是中的元素.【詳解】因?yàn)?，所以不屬于集合B；因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所?所以，.故選：D.2．B【分析】由存在量詞命題的否定，即可判斷選項(xiàng).【詳解】命題，，則命題的否定為，.故選：B.3．A【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)，分別判斷充分性與必要性即可.【詳解】時(shí)，假設(shè)“或”不成立，即有且，當(dāng)且時(shí)，，這與已知條件矛盾，所以假設(shè)不成立，即由“”可以推出“或”，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足或（這里成立），但，不滿足，所以由“或”不能推出“”，必要性不成立.則“”是“或”的充分不必要條件.故選：A4．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別得到的范圍從而判斷得到結(jié)果.【詳解】，，，故，，，所以.故選：D.5．A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性即可排除BD，再結(jié)合函數(shù)值正負(fù)判斷即可.【詳解】由，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故BD錯(cuò)誤；而，則時(shí)，；時(shí)，，故A滿足題意，C錯(cuò)誤.故選：A.6．C【分析】利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式求值.【詳解】由二倍角公式得由誘導(dǎo)公式得故選：C7．C【分析】分類討論重合部分的形狀，然后利用面積公式將y關(guān)于x的函數(shù)表示出來即可.【詳解】于D，，,,且故當(dāng)時(shí)，重合部分為三角形，三角形的高，面積，函數(shù)圖像為開口向上的二次函數(shù)，故排除A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，重合部分為直角梯形，上底長(zhǎng)為，下底長(zhǎng)為，高為4，故，函數(shù)圖像為一條直線，故排除D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，重合部分可以看作兩個(gè)直角梯形，左邊直角梯形的上底長(zhǎng)為，高為兩個(gè)梯形下底長(zhǎng)均為，右邊直角梯形上底長(zhǎng)為，高為，故，圖像為開口下的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為，故排除B選項(xiàng)；故選：C8．A【分析】畫出的圖象，令，根據(jù)函數(shù)圖象可得有兩個(gè)不等實(shí)根，且有兩個(gè)整數(shù)根，有三個(gè)整數(shù)根，數(shù)形結(jié)合得到，此時(shí)兩個(gè)整數(shù)根分別為2和，數(shù)形結(jié)合得到三個(gè)整數(shù)根中，必有一個(gè)小于2，只有滿足要求，故，求出五個(gè)整數(shù)根分別為，，1，2，4，即可得到答案.【詳解】令，則，根據(jù)的圖象可知，要滿足題意必須有兩個(gè)不等實(shí)根，且有兩個(gè)整數(shù)根，有三個(gè)整數(shù)根，結(jié)合圖象，當(dāng)與相切時(shí)滿足要求，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故，又，，其在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，令，解得，故時(shí)，有兩個(gè)整數(shù)根，分別為2和，由圖象可知，的三個(gè)整數(shù)根中，必有一個(gè)小于2，顯然只有滿足要求，此時(shí)，故，令，解得另一個(gè)根為4，又，解得，故五個(gè)整數(shù)根分別為，，1，2，4，所以最大整數(shù)解和最小整數(shù)解之積為．故選：A．9．ACD【分析】由一元二次不等式的解法可得A錯(cuò)誤；由具體函數(shù)的定義域可得B正確；由基本不等式可得C錯(cuò)誤；分，，當(dāng)時(shí)由二次函數(shù)的性質(zhì)可得D正確；【詳解】對(duì)于A，不等式等價(jià)于，解得或，所以不等式的解集為或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意可得，解得，所以函數(shù)的定義域是，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但在內(nèi)無解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)椋愠闪?，符合題意；當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，解得，綜上的取值范圍是，故D錯(cuò)誤；故選：ACD.10．ABD【分析】根據(jù)已知條件，利用基本不等式、“1”的妙用逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】選項(xiàng)A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以A正確；選項(xiàng)B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以B正確；選項(xiàng)C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為1，而非最小值為1，所以C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以D正確.故選：ABD.11．CD【分析】由題作出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合，對(duì)A：將題意轉(zhuǎn)化為與有4個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象分析判斷；對(duì)B：將題意轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分析判斷；對(duì)C：轉(zhuǎn)化為恒成立，即可判斷；對(duì)D：根據(jù)圖象結(jié)合題意運(yùn)算求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，且，依次類推，作出函數(shù)的大致圖象，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，即與有5個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線過點(diǎn)，所以，；同理，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，即與有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線過點(diǎn)，所以，，則函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有，故A錯(cuò)；由圖象規(guī)律可知與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是10，故B錯(cuò)；由，，，，，，任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，由圖知函數(shù)在的每一個(gè)上頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且，即恒成立，故C對(duì)；函數(shù)的圖象與直線，及軸所圍成圖形的面積為，故D對(duì).故選：CD．12．【分析】根據(jù)題意，求得，進(jìn)而得到的解析式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，可得，解得，即，又因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，可得，所以.故答案為：.13．【分析】取優(yōu)弧所在圓的圓心，連接，易得，進(jìn)而結(jié)合扇形的面積公式求解即可.【詳解】如圖，取優(yōu)弧所在圓的圓心，連接，則，則，所以，則，故優(yōu)弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，對(duì)應(yīng)的扇形面積為．而，故，所以該“水滴”的面積為．故答案為：.14．【分析】先根據(jù)條件得出周期以及在上的值域，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，再分、討論即可.【詳解】由任意的，總有成立，即恒成立，于是得函數(shù)的一個(gè)周期是4，又當(dāng)時(shí)，，有，又是奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，又，，從而有，即時(shí)，，而函數(shù)的一個(gè)周期是4，于是得函數(shù)在上的值域是，因?yàn)閷?duì)任意，存在，使得成立，則在上有解，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，在上有解，必有，解得，則有，綜上得實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：15．(1)①；②(2)①；②【分析】（1）①根據(jù)冪運(yùn)算方法即可求解；②根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則運(yùn)算即可；（2）①將已知等式兩邊同時(shí)平方即可；②先求，再開方即可．【詳解】（1）①．②．（2）①，∴；②，且，∴．16．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)的終邊經(jīng)過第三象限的點(diǎn)可得，再根據(jù)列出關(guān)于m的等式，解出m的值即可．（2）通過三角函數(shù)誘導(dǎo)公式對(duì)原式進(jìn)行恒等變換，再分式上下同除化為表達(dá)式，最后代入（1）中的即可．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限，所以，由三角函數(shù)的定義可知，解得，此時(shí)，故，得到，故，．（2）原式．17．(1)A不是閉集合，B是閉集合，證明見解析(2)不一定，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）集合A：直接根據(jù)題干定義驗(yàn)證即可；集合B：可任取，設(shè)，，，然后驗(yàn)證與集合B的關(guān)系即可；（2）令，，然后取特值進(jìn)行驗(yàn)證即可；（3）可采用反證法，假設(shè)，由，可得存在且，故；同理，存在且，故；然后討論和兩種情況，得到矛盾，從而判斷假設(shè)不成立，從而得到．【詳解】（1）A不是閉集合，B是閉集合．∵，，，∴A不是閉集合；任取，設(shè)，，，則且，∴，同理，，故B為閉集合；（2）結(jié)論：不一定；不妨令，，則由（1）可知，為閉集合，同理可證為閉集合，∵，，因此，不是閉集合，∴若集合為閉集合，則不一定為閉集合；（3）假設(shè)，由，可得存在且，故；同理，存在且，故，∵，∴或．若，則由為閉集合且，得，與矛盾，若，則由為閉集合且，得，與矛盾，綜上，不成立，故．18．(1)函數(shù)是奇函數(shù)，證明見解析(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見解析(3)【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性定義求解；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明；（3）利用函的奇偶性和單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，證明：令，則，解得，令，則，令，則．為定義在上的奇函數(shù)．（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明：，設(shè)，則，，，，．又，，又當(dāng)時(shí)，，由（1）知為定義在上的奇函數(shù)．則當(dāng)時(shí)，，，，即，即，在上單調(diào)遞減；（3）因?yàn)椋桑?）知為定義在上的奇函數(shù)，則，的定義域?yàn)榍以谏鲜菃握{(diào)遞減的，解得，不等式的解集為．19．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；(2)(3)【分析】（1）將題中的代入解析式，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得單調(diào)區(qū)間；（2）解不等式，即可得到結(jié)果；（3）將題中的式子等價(jià)變形，將問題轉(zhuǎn)化為在，單調(diào)遞增，結(jié)合分段函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，分類討論得到結(jié)果．【詳解】（1）解：