3/3拓展02直線與圓重難題型全歸納（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標考情規(guī)律直線與方程有交點問題用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線的斜率的計算公式，提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).高頻易錯點，忽略夾角與斜率之間的關(guān)系直線中的平行與垂直能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在小題距離問題1、能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標，會根據(jù)方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系.2、掌握兩點間的距離公式及應(yīng)用，會運用坐標法證明簡單的平面幾何問題.3、探索并掌握平面上點到直線的距離公式，掌握兩條平行直線間的距離公式，會求點到直線的距離和兩條平行直線間的距離，提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在小題對稱問題掌握點關(guān)于點對稱、點關(guān)于直線對稱直線關(guān)于點對稱、直線關(guān)于直線對稱高頻易錯點，對稱問題的關(guān)鍵要處理好解題思路和提升計算能力圓的軌跡方程會用定義推導(dǎo)圓的標準方程，并掌握圓的標準方程的特征，能根據(jù)所給條件求圓的標準方程.基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在小題或者大題第一問圓中的弦長問題理解直線與圓的三種位置關(guān)系，能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系，能解決有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系的問題，強化數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點，熟練掌握弦長公式圓中的切線問題掌握切線方程、切線長、切點線等問題的解題技巧.高頻易錯點，注意切點的所在位置公共弦與公切線問題能根據(jù)給定的圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系，能用圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題，提升數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在小題或者大題第一問直線與圓中的最值（范圍）問題掌握三點共線、幾何意義等典型的最值問題.重難必考點，特別是識別所給式子的幾何意義知識點01直線的斜率與傾斜角的關(guān)系1、斜率的定義：我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率，常用小寫字母表示，即．2、傾斜角與斜率的關(guān)系直線的情況平行于軸由左向右上升垂直于軸由左向右下降的大小的取值范圍不存在的增減性—隨的增大而增大—隨的增大而減增大知識點02兩條直線平行與垂直兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．兩直線方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一個為0，另一個不存在．知識點03距離公式1、兩點間的距離平面上兩點的距離公式為．特別地，原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離2、點到直線的距離點到直線的距離特別地，若直線為l：x=m，則點到l的距離；若直線為l：y=n，則點到l的距離3、兩條平行線間的距離已知是兩條平行線，求間距離的方法：（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離．（2）設(shè)，則與之間的距離注：兩平行直線方程中，x，y前面對應(yīng)系數(shù)要相等．知識點04直線與圓相交記直線被圓截得的弦長為的常用方法1、幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長公式：2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長公式：知識點05直線與圓相切1、圓的切線條數(shù)①過圓外一點，可以作圓的兩條切線②過圓上一點，可以作圓的一條切線③過圓內(nèi)一點，不能作圓的切線2、過一點的圓的切線方程（）①點在圓上步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率，記切線斜率為，則步驟二：利用點斜式求切線（步驟一中的斜率+切點）②點在圓外記切線斜率為，利用點斜式寫成切線方程；在利用圓心到切線的距離求出（注意若此時求出的只有一個答案；那么需要另外同理切線為）3、切線長公式記圓:；過圓外一點做圓的切線，切點為,利用勾股定理求；知識點06圓與圓的公共弦與公切線設(shè)::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時，無公切線．知識點07對稱問題一、點關(guān)于點對稱1、思路：該點是兩對稱點連線段的中點．2、方法：利用中點坐標公式平面內(nèi)點關(guān)于對稱點坐標為，平面內(nèi)點，關(guān)于點對稱．二、直線關(guān)于點對稱1、思路：兩直線平行2、法一：轉(zhuǎn)化為“點關(guān)于點”的對稱問題（在l上找兩個特殊點（通常取直線與坐標軸的交點），求出各自關(guān)于A對稱的點，然后求出直線方程）．法二：利用平行性質(zhì)解（求一個對稱點，且斜率相等或設(shè)平行直線系，利用點到直線距離相等）．三、點關(guān)于直線對稱1、思路：軸（直線）是對稱點連線段的中垂線．2、（1）當(dāng)直線斜率存在時：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標，一般地：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則（2）當(dāng)直線斜率不存在時：點關(guān)于的對稱點為．四、直線關(guān)于直線對稱1、當(dāng)與l相交時：此問題可轉(zhuǎn)化為“點關(guān)于直線”的對稱問題；求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線第一步：聯(lián)立算出交點；第二步：在上任找一點（非交點），求出關(guān)于直線對稱的點；第三步：利用兩點式寫出方程．2、當(dāng)與l平行時：對稱直線與已知直線平行．兩條對稱直線到已知直線的距離相等，利用平行線間距離公式建立方程即可解得．知識點08直線與圓的最值（范圍）問題一、與圓有關(guān)的最值與范圍問題的常用技巧1、數(shù)形結(jié)合法：處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解.2、建立函數(shù)關(guān)系求最值：根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標函數(shù)的關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系的特點選用參數(shù)法、配方法、判別式法等進行求解.3、利用基本不等式求解最值：如果所求的表達式是滿足基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，如或者的表達式求最值，常常利用題設(shè)條件建立兩個變量的等量關(guān)系，進而求解最值.同時需要注意，“一正二定三相等”的驗證.4、多與圓心聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為圓心問題.5、參數(shù)方程：進行三角換元，通過參數(shù)方程，進行求解.二、與對稱有關(guān)的三點共線最值問題1、點A、B在直線l同側(cè)，點P在直線l上，則AP+BPmin=AB'(當(dāng)點2、點A、B在直線l同側(cè)，點P在直線l上，則|AP3、點A、B在直線l異側(cè)，點P在直線l上，則|AP?BP|max=AB三、點與圓的位置關(guān)系最值（范圍）問題1、若點M在圓內(nèi)，則MNmin=2、若點M在圓外，則MNmin=3、圓上一點到圓外一定直線的距離最值若直線l與圓⊙O相離，圓上一點P到直線l的距離為PE，d為圓心O到直線l的距離，為圓半徑，則PEmin=P四、代數(shù)式的幾何意義最值（范圍）問題1、形如，可以轉(zhuǎn)化為過點和點的動直線斜率；2、形如，可以轉(zhuǎn)化為點和點的距離的平方；3、形如，可以轉(zhuǎn)化為動直線縱截距五、弦長長度的最值（范圍）問題設(shè)點M是圓C內(nèi)一點，過點M作圓C的弦，則弦長的最大值為直徑，最短的弦為與過該點的直徑垂垂直的弦弦長為六、圓的參數(shù)方程（供了解）圓的標準方程x?a2+y它對應(yīng)的圓的參數(shù)方程：x=題型一直線與方程有交點問題解｜題｜技｜巧求形如的最值，利用的幾何意義：連接定點與動點的直線的斜率，借助圖形，將求最值問題轉(zhuǎn)化為求斜率的取值范圍問題，簡化運算過程．1．設(shè)點，，若直線與線段沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線方程可判斷直線的斜率和經(jīng)過的定點，結(jié)合題意作圖，需使成立，解之即得.【詳解】由可知直線的斜率為，且經(jīng)過定點，由點，可得直線的斜率分別為：，作圖如下，由圖知，要使直線與線段沒有公共點，需使，解得.故選：C.2．（25-26高二上·浙江紹興·月考）已知點AB斜率為k的直線l過點P則滿足下列條件的直線l與線段AB相交的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】根據(jù)題意，在平面直角坐標系中，作出點，如圖，當(dāng)直線與線段相交時，，，所以，斜率取值范圍是或.

故選：D3．（25-26高二上·山西忻州·月考）已知直線，若直線與連接、兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出直線所過定點的坐標，數(shù)形結(jié)合可求出直線的斜率的取值范圍，即可得出直線的傾斜角的取值范圍．【詳解】直線的方程可化為，令，可得，所以直線過定點，設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，因為直線的斜率為，直線的斜率為，因為直線經(jīng)過點，且與線段總有公共點，

將代入方程：可得：不成立，不在直線上，所以，即，因為所以或，故直線的傾斜角的取值范圍是．故選：D．4．（25-26高二上·江蘇·月考）設(shè)點，，若直線與線段沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由直線方程可判斷直線的斜率和經(jīng)過的定點，結(jié)合題意作圖，需使成立，解之即得.【詳解】由可知直線的斜率為，且經(jīng)過定點，由點，可得直線，的斜率分別為：，，作圖如下，由圖知，要使直線與線段沒有公共點，需使，解得，故答案為：5．（25-26高二上·天津濱海新·月考）已知兩點，過點的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k取值范圍是，其傾斜角的取值范圍是．【答案】【分析】求出，根據(jù)直線與線段相交可得出直線斜率范圍，再由正切函數(shù)的性質(zhì)得出傾斜角的范圍.【詳解】因為，又過點的直線l與線段AB有公共點，如圖，

所以，即；因為，所以，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知或.故答案為：；6．（25-26高二上·廣東揭陽·月考）已知、，點在線段上，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)直線與傾斜角的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)形結(jié)合可得.【詳解】由直線的斜率公式可得：；.

將看成線段上一點與定點連線的斜率，結(jié)合圖形，要使直線經(jīng)過點，且與線段有交點，的斜率需滿足或.故答案為：題型二直線中的平行與垂直解｜題｜技｜巧1、已知直線與直線,則①,且；②.2、已知直線,直線,則①且(或)；②.1．（25-26高二上·廣東惠州·月考）已知直線經(jīng)過，，直線經(jīng)過，.如果，則（

）A．3 B．5 C．2 D．2或5【答案】D【分析】根據(jù)兩直線垂直時的斜率關(guān)系求解即可，注意討論斜率是否存在.【詳解】當(dāng)，即時，則直線的斜率不存在，此時直線的斜率，所以直線與直線垂直，滿足條件，當(dāng)時，直線的斜率存在，且斜率為，又直線的斜率為，因為，所以，解得；綜上，的值為5或2，故答案為：D.2．（25-26高二上·遼寧·月考）平面直角坐標系中，直線與直線平行，則（

）A．或3 B．3 C． D．以上都不對【答案】C【分析】根據(jù)兩條直線平行的充要條件直接可得.【詳解】因為直線與直線平行，所以，即，解得.故選：C.3．（25-26高二上·江蘇鹽城·月考）已知為實數(shù)，直線，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)直線求出m的值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】若，則，故，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4．（25-26高二上·青海西寧·月考）求滿足下列條件的直線方程；(1)過點，且與直線平行的直線方程；(2)過點，且與直線垂直的直線方程；(3)過點，且在兩坐標軸上截距相反的直線方程.【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）根據(jù)平行直線的斜率相等即可求解；（2）根據(jù)互相垂直的直線的斜率乘積為，從而求解直線方程；（3）分直線過原點、不過原點討論可得答案.【詳解】（1）設(shè)與直線平行的直線方程為，由于過點，代入，解得，可得，所以所求的方程為；（2）設(shè)與直線垂直的直線方程為；由于過點，代入，解得，可得，所以所求的直線方程為；（3）當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為，代入點，，可得，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，代入點，，可得，綜上，所求直線方程為或.題型三距離問題解｜題｜技｜巧1、平面上兩點間的距離公式的應(yīng)用平面內(nèi)兩點，間的距離公式為：.【注意】公式中和位置沒有先后之分，也可以表示為：．（1）已知所求點的相關(guān)信息及該點到某點的距離滿足某些條件時，設(shè)出所求點的坐標，利用兩點間距離公式建立關(guān)于所求點的坐標的方程或方程組求解．（2）利用兩點間距離公式可以判斷三角形的形狀．從三邊長入手，如果有邊長相等，則可能是等腰或等邊三角形；如果滿足勾股定理，則是直角三角形．2、點到直線距離公式的應(yīng)用點到直線的距離（1）求點到直線的距離時，若給出的直線方程不是一般式，只需把直線方程化為一般式，直接應(yīng)用點到直線的距離公式求解即可．（2）若已知點到直線的距離求參數(shù)或直線方程時，只需根據(jù)點到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．（3）點到直線的距離是直線上的點與直線外一點求的連線的最短距離，某些距離的最值問題可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題來求解．（4）因為角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等，因此可用點到直線的距離公式解決有關(guān)角平分線的問題．平行線間距離公式的應(yīng)用兩條平行直線，，它們之間的距離為：【注意】在使用公式時，兩直線方程為一般式，且和的系數(shù)對應(yīng)相等．（1）兩條平行直線間的距離公式是由在一條直線上任取一點到另一條直線的距離推導(dǎo)出來的，所以求平行直線間的距離的方法有兩種，一種是直接利用推導(dǎo)出的公式求解，另一種是在其中一條直線上取一個特殊的點，轉(zhuǎn)化點到直線的距離求解．（2）如果兩條平行直線的方程用斜截式方程表示為，，那么兩條平行直線間的距離．1．（25-26高二上·山西臨汾·月考）直線與直線間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用兩平線間的距離公式，即可求解.【詳解】直線，即，其斜率為，縱截距為，又，其斜率為，縱截距為，所以兩直線平行，則間的距離為，故選：A.2．（24-25高二下·上?！ぴ驴迹┮阎本€的法向量為，且經(jīng)過點，則原點到的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線點法式得直線方程，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意，直線的法向量為，所以直線的方程為，即，則原點到的距離.所以選：C.3．（25-26高二上·安徽亳州·月考）直線與之間的距離為，則實數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行直線間距離公式直接構(gòu)造方程求解即可.【詳解】直線方程可化為：，可知直線與平行，兩條直線之間的距離，解得：或，又，.故選：B.4．（25-26高二上·福建廈門·月考）已知兩直線，若，則與間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直線的方程化為一般式，利用平行的條件求得，進而利用兩平行線間的距離為公式求解即可.【詳解】直線的方程化為一般式為，又因為，，所以，解得，所以的方程為，即，所以與間的距離為.故選：C.5．（25-26高二上·江蘇淮安·月考）順次連接，，，四點所得的四邊形面積為（

）A．18 B．26C．35 D．27【答案】D【分析】利用斜率與直線的位置，確定四邊形形狀，進而求解.【詳解】由題可得，所以，又因為所以四邊形有且僅有一組對邊平行，即為梯形.直線方程：，直線方程：，兩條平行直線之間距離為：，又，所以梯形面積為：.故選：D6．（25-26高二上·天津濱海新·月考）直線經(jīng)過點，且點到它的距離相等，則的方程為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】借助點到直線的距離公式，分直線斜率存在于不存在進行討論即可得.【詳解】若直線斜率不存在，則，此時點到的距離為，點到的距離為，符合要求；若直線斜率存在，設(shè)，即，則有，化簡得，即，解得，即；故的方程為或.故選：D.題型四對稱問題解｜題｜技｜巧1、直線關(guān)于點對稱：轉(zhuǎn)化為“點關(guān)于點”的對稱問題，具體操作為：在l上找兩個特殊點，求出各自關(guān)于A對稱的點，然后求出直線方程；2、點關(guān)于直線對稱：利用”垂直“和”平分“這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標，一般地：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則1．（25-26高二上·河北邯鄲·月考）已知一條入射光線經(jīng)過兩點，經(jīng)軸反射后，則反射光線所在直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得關(guān)于軸的對稱點，即可求解.【詳解】關(guān)于軸的對稱點坐標分別為，由對稱性可知反射光線經(jīng)過，，所以反射光線所在直線方程為，即.故選：C2．（23-24高二上·吉林長春·期中）關(guān)于直線的對稱點為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，根據(jù)題意列方程組即可求解.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，解得.故選：A.3．（24-25高二下·湖北·期中）已知點關(guān)于直線對稱的點為，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知，直線為線段的垂直平分線，求出線段的垂直平分線方程，即為所求.【詳解】由題意可知，直線為線段的垂直平分線，且，所以直線的斜率為，又因為線段的中點為，所以直線的方程為，整理可得.故選：C.4．（24-25高二上·河北唐山·期中）一條光線從點射出，與軸相交于點，經(jīng)x軸反射，則反射光線所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對稱點在反射光線上，即可根據(jù)兩點求解斜率，即可得直線方程.【詳解】點關(guān)于軸的對稱點為，故，在反射光線所在的直線上，故，直線方程為，即，故選：C5．（23-24高二上·全國·期末）點在直線上，直線與關(guān)于點對稱，則一定在直線上的點為（

）A． B． C． D．（1，0）【答案】C【分析】根據(jù)兩直線關(guān)于點對稱，利用中點坐標公式即可求直線上的對稱點，且該點在直線上.【詳解】由題設(shè)關(guān)于對稱的點為，若該點必在上，∴，解得，即一定在直線上.故選：C.6．（25-26高二上·江蘇南京·月考）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在直線上任取一點，設(shè)其關(guān)于直線的對稱點為，然后根據(jù)對稱關(guān)系列方程可表示出，再代入中化簡可得答案.【詳解】在直線上任取一點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，因為點在直線上，所以，即，所以所求直線方程為，故選：C.題型五圓的軌跡方程解｜題｜技｜巧1、求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解．（2）定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解．（3）幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解．（4）代入法(相關(guān)點法)：找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求解．2、坐標法求軌跡方程的步驟（1）建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；?）設(shè)點：用表示軌跡（曲線）上任意一點的的坐標；（3）列式：列出關(guān)于的方程；（4）化簡：把方程化為最簡形式；（5）證明：證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點．1．（25-26高二上·江蘇連云港·月考）已知點和點，動點與點的距離是它與點的距離的倍，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)可整理得到結(jié)果.【詳解】由題意知：，設(shè)，則，，整理可得：，即點的軌跡方程為：.故選：D.2．已知圓，半徑為3的圓與圓外切，則點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)圓的標準方程得出圓心及半徑，再設(shè)點應(yīng)用圓外切得出化簡得出軌跡方程.【詳解】圓的標準方程為，所以圓的圓心為，半徑．因為圓與圓外切，且半徑為3，所以點與點的距離．設(shè)，則，化簡得，故選:C.3．（25-26高二上·湖南·月考）已知為圓上任意一點，，若點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量關(guān)系找到相關(guān)點的坐標關(guān)系，再代入相關(guān)點坐標即可得動點軌跡方程.【詳解】設(shè)，，由，得：，則有，因為為圓上任意一點，所以，代入可得：，整理得：，即方程就是動點的軌跡方程.故選：A4．（24-25高二上·遼寧·期中）已知橢圓，從上任意一點向軸作垂線段為垂足，則線段的中點的軌跡方程為（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，結(jié)合中點坐標公式并由代入法即可求解.【詳解】設(shè)點，根據(jù)中點的坐標公式可得，代入橢圓方程得，其中.故選：B5．（24-25高二上·江西撫州·期中）已知圓，點，點.(1)過點作圓的切線，求出的方程；(2)設(shè)為圓上的動點，為三角形的重心，求動點的軌跡方程.【答案】(1)或(2)【分析】（1）分別研究切線的斜率不存在與斜率存在時求解即可.（2）設(shè)，，由重心性質(zhì)可得，結(jié)合點為圓上的動點求解即可.【詳解】（1）由題意知，圓心，半徑，當(dāng)切線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，符合題意，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，所以，解得，此時切線的方程為，即.綜述，切線的方程為或.（2）如圖所示，

設(shè)，，因為，，為的重心，所以，即，又因為點為圓上的動點，則，所以，整理得.即動點的軌跡方程為.題型六圓中的弦長問題解｜題｜技｜巧由于半徑r、弦長距d、弦長l的一半構(gòu)成直角三角形，所以利用求解1．（24-25高二下·江蘇南京·期中）直線被圓C：截得的弦長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)直線與圓相交的弦長公式，即可求解.【詳解】由圓方程可知圓心坐標，半徑為2，圓心到直線的距離為：，所以弦長為，故選：D2．（25-26高二上·寧夏銀川·月考）若直線被圓：截得的弦長為，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由弦長公式可得，再根據(jù)點到直線的距離公式求解即可．【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑，則弦長為，解得，，解得．故選：C．3．（24-25高二下·河南·月考）已知直線與圓交于，兩點，若的周長為10，則（

）A． B．3 C．或3 D．3或13【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，進而可得圓心到直線的距離，結(jié)合點到直線的距離公式運算求解.【詳解】因為圓，即圓心坐標為，半徑，因為的周長為10，所以，則圓心到直線的距離，解得或13.故選：D.4．（24-25高二下·云南·期中）已知直線與圓交于A、B兩點，若，則a的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圓的方程可得圓的半徑，利用三角形面積計算，求得圓心到直線的距離，可得答案.【詳解】由圓可知圓心，半徑，由，解得，則圓心到直線的距離為，則，解得.故選：C．5．（24-25高二下·湖南·月考）已知圓與過點的直線l交于A，B兩點，則弦的長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】記圓心為，由相交弦長和圓的半徑及圓心到過的直線的距離之間的勾股關(guān)系，求出弦長的最小值即可.【詳解】由題意，圓的方程可化為，圓心坐標為，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則過的直線與圓的相交弦長，當(dāng)直線與所在直線垂直時，最大，此時，當(dāng)最大時，最小，所以最小的弦長.故選：D.6．（25-26高二上·湖南邵陽·月考）已知圓，點關(guān)于直線的對稱點在圓上，直線與圓的另一個交點為，則為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)求出點坐標，進而求出直線方程，再利用點到直線距離公式和勾股定理求得線段長度，最終求出.【詳解】設(shè)，根據(jù)題意，點與點關(guān)于直線對稱，因此線段的中點在直線上，且與該直線垂直.即，.化簡得.因為點Q在圓C上，所以，即.兩式結(jié)合，得，，即點坐標為.所以直線的方程為.設(shè)線段中點為，連接.圓心到直線的距離.又因為圓的半徑為，所以..所以.故選：C7．（25-26高二上·河北保定·月考）已知動點與兩個定點的距離的比為，記動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線與曲線交于兩點，若，求直線的方程．【答案】(1)(2)和【分析】（1）根據(jù)題干條件列出等式，化簡即可得到結(jié)果.（2）首先假設(shè)斜率不存在，判斷是否滿足題意；再假設(shè)斜率存在，設(shè)出直線方程，利用弦長公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則，即化簡得；所以曲線的方程為：（2）由（1）知曲線的軌跡為圓，其圓心坐標為，半徑當(dāng)直線斜率不存在時，的方程為，圓心到直線的距離為1，所以，故滿足題意當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，即，圓心到直線的距離為所以解得所以的方程為，即的方程為綜上所述，直線的方程為和題型七圓中的切線問題解｜題｜技｜巧求切線方程的常用方法：1、求過圓上一點的圓的切線方程的方法先求切點與圓心的連線所在直線的斜率，再由垂直關(guān)系知切線的斜率為，由點斜式方程可得切線方程．若或不存在，則切線的斜率不存在或為0，從而可直接得切線方程為或.2、求過圓外一點的圓的切線方程的方法設(shè)切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得，切線方程即可求出．注意：過圓外一點的切線必有兩條，當(dāng)求得的值只有一個時，則另一條切線的斜率一定不存在，可由數(shù)形結(jié)合求出．1．（23-24高二上·福建泉州·月考）若直線與圓相切，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．1或C．或3 D．或【答案】C【分析】借助圓心到切線的距離等于半徑，計算即可得.【詳解】由圓心為，半徑為，即，則，解得或.故選：C.2．（24-25高二下·貴州黔西·期末）過原點且與圓相切的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷原點與圓的位置關(guān)系，再求出切線方程.【詳解】原點在圓上，而圓心，直線斜率為，因此切線的斜率為，方程為，即.故選：A3．過點作圓的切線，切點為，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的標準方程得出圓心坐標與半徑，再利用切線的性質(zhì)得到與的關(guān)系，最后根據(jù)的最小值求出的最小值.【詳解】已知圓的方程為，可得圓心，半徑.因為PQ為圓的切線，所以，在中，根據(jù)勾股定理可得.已知，則.點，根據(jù)兩點間距離公式，可得.因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時取得最小值，.因為，當(dāng)取最小值時，，則.的最小值為.故選：A.4．（24-25高二下·貴州畢節(jié)·期末）若直線與曲線恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)半圓與直線的位置關(guān)系，求出切線斜率，數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】由得，直線經(jīng)過定點，如圖，，當(dāng)直線與半圓相切時，，所以恰有兩個公共點時，由圖可知，，故選：D．5．（25-26高二上·江西九江·月考）過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則切點弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出輔助線，得到點P，A，C，B共圓，為直徑，從而得到圓心和半徑，得到圓的方程，再由直線為這兩個圓的公共弦所在直線，兩圓相減即可求解；【詳解】

如圖所示，連接，由平面幾何知，，，點P，A，C，B共圓，且為直徑.因為，，所以所求圓的圓心為中點，即，半徑為，所以所求圓的方程為，即.又直線為這兩個圓的公共弦所在直線，由與相減，可得的方程為.故選：A6．（24-25高二上·廣東茂名·期末）過點作圓的切線，則直線的方程為.（寫出一條方程即可）【答案】或（寫出一條即可）【分析】設(shè)出直線方程，根據(jù)點到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】由可知：直線一定有斜率，故設(shè)：，則，化簡可得，故或，當(dāng)時，切線方程為，當(dāng)時，切線方程為，故切線方程為：或，故答案為：或，7．（25-26高二上·重慶·月考）經(jīng)過點的直線與圓相切于，兩點，則四邊形的面積為．【答案】12【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和勾股定理求出切線長，再將四邊形面積分割成兩個三角形的面積求解即可.【詳解】由題可知圓的圓心，半徑，如圖，連接，則，因為，是圓的切線，所以，，所以，所以四邊形的面積，故答案為：12.8．（25-26高二上·黑龍江大慶·月考）已知直線，該直線與圓交于兩點，且.(1)求的值；(2)求過點的的切線方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)直線經(jīng)過圓心，即可根據(jù)直徑為6求解，（2）根據(jù)圓心到直線的距離與半徑相等，即可求解.【詳解】（1）的標準方程為，故圓心為，由于直線恒過定點，故直線經(jīng)過圓心，因此為圓的直徑，故，，則，故（2），由于在圓外，故當(dāng)切線斜率不存在時，方程為，滿足題意，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)其方程為：，則，解得，故方程為，綜上所述切線方程為：或題型八公共弦與公切線問題解｜題｜技｜巧1、兩圓相減先得到公共弦的方程，然后在一個圓內(nèi)進行求弦長2、兩圓公切線的條數(shù)位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示公切線條數(shù)4條3條2條1條無公切線3、兩圓公切線方程的確定（1）當(dāng)公切線的斜率存在時，可設(shè)公切線方程為，由公切線的意義（兩圓公公的切線）可知，兩圓心到直線的距離分別等于兩圓的半徑，這樣得到關(guān)于和的方程，解這個方程組得到，的值，即可寫出公切線的方程；（2）當(dāng)公切線的斜率不存在時，要注意運用數(shù)形結(jié)合的方法，觀察并寫出公切線的方程．1．（25-26高二上·江西九江·月考）過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則切點弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出輔助線，得到點P，A，C，B共圓，為直徑，從而得到圓心和半徑，得到圓的方程，再由直線為這兩個圓的公共弦所在直線，兩圓相減即可求解；【詳解】

如圖所示，連接，由平面幾何知，，，點P，A，C，B共圓，且為直徑.因為，，所以所求圓的圓心為中點，即，半徑為，所以所求圓的方程為，即.又直線為這兩個圓的公共弦所在直線，由與相減，可得的方程為.故選：A2．（25-26高二上·河北保定·月考）已知圓，圓，則圓與圓公切線條數(shù)有（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條【答案】A【分析】先判斷圓的位置關(guān)系，由圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】由題意，所以，所以兩圓相離，所以圓與圓公切線條數(shù)有4條.故選：A3．已知直線與圓和圓均相切，則的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過計算可知兩個圓內(nèi)切，故兩圓相減得到的方程即為所求.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為所以兩個圓內(nèi)切，因此與兩圓均相切的直線為兩個圓的公共弦所在的直線方程，所以整理得，故選：.4．（25-26高二上·山西臨汾·月考）已知圓，圓，則兩圓的公共弦長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】兩圓的方程作差可得到兩圓的公共弦所在直線方程，聯(lián)立公共弦所在直線方程與圓，求出交點，即得答案.【詳解】設(shè)圓，圓相交于兩點，把圓，化為一般式，：，，，：，，，兩圓作差得：，，公共弦所在直線方程為.聯(lián)立直線方程與圓得：，解得或，交點為和..故選：C

題型九直線與圓中的最值（范圍）問題1．（25-26高二上·寧夏·月考）求點到直線的距離的最大值為（

）A．3 B． C． D．5【答案】D【分析】先說明直線所過的定點，當(dāng)與定點的連線與直線垂直時距離有最大值，由此求解出結(jié)果.【詳解】因為直線的方程為，所以直線過定點，

所以直線表示過定點的斜率存在的直線，如圖，當(dāng)時，表示點到直線的距離，當(dāng)不垂直于時，表示點到直線的距離，顯然，所以點到直線距離的最大值為,所以點到直線距離的最大值為.故選：D2．（24-25高二上·黑龍江大慶·月考）已知點，直線，在直線上找一點使得最小，則這個最小值為（

）A． B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】利用對稱求關(guān)于直線對稱點為，結(jié)合將軍飲馬模型求最小值.【詳解】令關(guān)于直線對稱點為，則，可得，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號，故最小值為10.故選：D3．（25-26高二上·江蘇宿遷·開學(xué)考試）已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意確定點在直線上，點在直線上，將的最小值轉(zhuǎn)化為兩平行線間距離的平方，即可求得答案.【詳解】由題意知實數(shù)滿足，則，故點在直線上，點在直線上，而表示點和點之間的距離的平方，故的最小值為兩平行線和間距離的平方，最小值為，故選：B4．（25-26高二上·江蘇鹽城·月考）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離．結(jié)合上述觀點，可得的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】將轉(zhuǎn)化成到點的距離與到點的距離之差，再結(jié)合和兩點間的距離公式進行求解．【詳解】由，可轉(zhuǎn)化成軸上一點到點的距離與到點的距離之差，則（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號），所以的最大值為．故選：D5．（25-26高二上·黑龍江·月考）已知圓:，定點，為軸上一動點，為圓上一動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圓的性質(zhì)以及點關(guān)于直線的對稱點的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為三點共線問題，即可求解.【詳解】圓:的圓心，半徑，當(dāng)、、三點共線（點在、兩點之間）時，取等號，點關(guān)于軸的對稱點為，，當(dāng)、、三點共線時，取等號.

所以的最小值為.故選：B.6．已知點，為圓上兩點，，點為線段的中點，點為直線上的動點，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【分析】先根據(jù)垂徑定理得出，即可得出點的軌跡為圓，則問題轉(zhuǎn)化為求圓上的動點到定直線的距離的最小值.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑，因為點為線段的中點，，則，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，點在直線上，可得圓心到直線的距離，所以的最小值為.故選：A

7．（24-25高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知動點在直線上，點是坐標原點，點是圓上的動點，則的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】求出點C關(guān)于直線的對稱點，把的最大值轉(zhuǎn)化為點到圓心距離加半徑，再求出到兩個定點距離差的最大值即可作答.【詳解】點在直線上，圓的圓心，半徑，而點在圓上，則，因此，令點關(guān)于直線對稱點，，則有，解得，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)點共線，且點在線段上時取等號，直線方程為，由，解得，即直線與直線交于點，所以當(dāng)點與重合時，，.故選：C8．已知、，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記點、、、，，可得出，數(shù)形結(jié)合可得出所求代數(shù)式的最小值.【詳解】記點、、、，，如下圖所示：易知四邊形是邊長為的正方形，所以，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點在線段上時，等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)點在線段上時，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點為線段、的交點時，等號成立，故的最小值為.故選：C.9．（25-26高二上·陜西商洛·月考）（多選題）已知直線，圓，為圓上任意一點，則下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點 B．的最大值為5C．的最大值為 D．圓心到直線的距離小于4【答案】ACD【分析】由題可得，即可求出定點，可對A判斷求解；由題可將圓化成標準式并求出圓心及半徑，由可轉(zhuǎn)化為原點到圓上一點距離值的平方，即可求解對B判斷；作出相應(yīng)圖象，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時，最大，即可對C判斷；求出圓心到直線的距離，分情況討論、時的取值情況即可對D判斷.【詳解】A：由題可得，即，解得，所以直線恒過定點，故A正確；B：由題可得圓：，即圓心，半徑，因為圓上任意一點，則，則等價于原點到圓上一點距離值的平方，即，則的最大值為，故B錯誤；C：如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時，最大，此時，，，且，故C正確；D：圓心到直線的距離，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故D正確.故選：ACD.10．（25-26高二上·山東菏澤·月考）（多選題）已知點是圓上任意一點．則下列結(jié)論正確的是（

）A．P點到直線的距離的最大值為2B．P點到直線的距離的最小值為C．的最大值為，最小值為D．的最大值為，最小值為【答案】BCD【分析】先求圓心到直線的距離，進而求點到直線距離的最大值和最小值即可判斷AB；設(shè)，即與圓有公共點，利用幾何法即可判斷C；設(shè)，即直線與圓有交點，利用幾何法即可判斷D.【詳解】由題意有：圓心為，由圓心到直線的距離：，所以P點到直線的距離的最大值為，故A錯誤；所以P點到直線的距離的最小值為，故B正確；設(shè)，即，則與圓有公共點，所以，所以的最大值為，最小值為，故C正確；表示圓上點與點連線的斜率，設(shè)，即，直線與圓有交點，所以，所以的最大值為，最小值為，故D正確.故選：BCD.11．（25-26高二上·江蘇常州·月考）已知實數(shù)滿足，求以下各式的最小值.(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)9【分析】（1）根據(jù)所求式子，轉(zhuǎn)化為直線斜率問題，利用圓與直線有公共點求解；（2）令，根據(jù)直線與圓有公共點，借助圓心到直線的距離求解即可；（3）配方后，轉(zhuǎn)化為兩個圓有公共點，利用圓心距離與半徑關(guān)系求解即可.【詳解】（1）方程表示以為圓心，的圓，表示點與的連線的斜率，設(shè)過點的直線的斜率為，則，即，所以圓心到直線的距離，解得，所以的最小值為；（2）令，即，則圓心到直線的距離，解得，即，故的最小值為；（3）=，表示圓上的點到的距離的平方，令圓上的點到的距離，因為，所以，即，所以，故的最小值為9；題型十直線與圓中的新定義問題1．（24-25高二上·安徽·期中）已知，，定義為，兩點的“鏡像距離”.若點和點在圓上，則，兩點的“鏡像距離”是（

）A．或 B．2或 C．2或4 D．或4【答案】C【分析】根據(jù)點在圓上得到的值，然后根據(jù)定義求“鏡像距離”即可.【詳解】由題意得，，有四種情形：，，；，，；，，；，，.故選：C.2．（2025高二·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，定義點，之間的“直角距離”為．給出下列命題：①若點在線段上，則；②在中，若，則；③在中，．其中真命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用新定義推理判斷①；舉例說明判斷②③.【詳解】對于①，點在線段上，設(shè)點的坐標為，則在之間，在之間，即，①正確；對于②，取，則，②錯誤；對于③，取，則，③錯誤，所以真命題的個數(shù)為1.故選：B3．（25-26高二上·江蘇泰州·開學(xué)考試）（多選題）在平面直角坐標系中，定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設(shè)點P及直線l上任意一點Q，稱的最小值為點P到直線l的“切比雪夫距離”，記作，則下列命題中正確的是（

）A．B．則C．O為坐標原點，動點R滿足，則動點R在平面直角坐標系中所形成的圖形是圓D．已知點，直線，則【答案】ABD【分析】易知A正確；對于B，根據(jù)定義直接計算即可判斷；對于C，由定義得，即等號至少有一個成立，可得動點R的軌跡為正方形即可判斷；對于D，設(shè)，則，接著分情況討論得到最值即可．【詳解】由題知，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，設(shè)，且，所以，則等號至少有一個成立，∴動點R的軌跡為如下正方形，故C錯誤；

對于D，設(shè)，則，當(dāng)，即時，，則此時最小值為當(dāng)，即或時，，無最小值，綜上，故D正確．故選：ABD．4．定義：表示點到曲線上任意一點的距離的最小值．已知是圓上的動點，圓，則的取值范圍為．【答案】【分析】記為坐標原點，作出圖形，求出的取值范圍，即可得出的取值范圍.【詳解】記為坐標原點，圓的圓心為原點，圓的半徑為，

由圓的幾何性質(zhì)可知，，且，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)點時，取最小值，當(dāng)且僅當(dāng)點時，取最大值，故.故答案為：.5．（25-26高二上·江蘇南京·月考）已知平面直角坐標系內(nèi)的直線與直線，過平面內(nèi)一點向直線，作垂線，垂足分別為，，記，，定義點的“距離坐標”為．(1)當(dāng)時，求點的軌跡方程；(2)若點的“距離坐標”為，求點的坐標；(3)已知一束光線從軸上一點出發(fā)，經(jīng)由直線上一點反射后，再經(jīng)直線上的點反射，最終回到出發(fā)點．若點在線段上，求點的“距離坐標”．【答案】(1)或；(2)；(3).【分析】（1）由，利用點M“距離坐標”的定義，結(jié)合點到直線距離公式列式求出軌跡方程.（2）設(shè)出點M的坐標，利用點M“距離坐標”的定義列出方程組求解即得.（3）設(shè)點，再求出點關(guān)于直線對稱點的坐標，由光的反射定律結(jié)合向量共線的坐標表示求出，進而求出點的坐標即可得解.【詳解】（1）由，得點M到直線，的距離相等，設(shè)點，則，即，整理得或，所以點的軌跡方程為或．（2）設(shè)點，依題意，，解得或或或，所以點的坐標為.（3）設(shè)點，點關(guān)于直線對稱點，關(guān)于直線對稱點，當(dāng)時，，解得，點，當(dāng)時，滿足上式，因此點，當(dāng)時，，解得，點，當(dāng)時，滿足上式，因此點，

由光的反射定律知，點共線，由點在線段上，得，而，因此，解得，，直線，由，得點，則點到直線的距離，點到直線的距離，所以點的“距離坐標”為.期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：120分鐘）1．（24-25高二下·廣西河池·期末）已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)直線平行得到方程，求出，利用兩平行線距離公式得到答案.【詳解】直線與直線平行，則，解得，直線，即，與的距離為.故選：B2．（24-25高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）直線與圓相交于M、N兩點，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由已知及向量模長的定義，應(yīng)用幾何法求直線與圓的相交弦長即可得.【詳解】由，一般式為，由的圓心為，半徑為2，所以到的距離為，綜上，.故選：D3．（25-26高二上·吉林長春·月考）已知，兩點到直線的距離相等，則a的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由點到直線的距離得到方程，求出答案.【詳解】由題意得，故，兩邊平方得，解得或.故選：D4．（25-26高二上·重慶·月考）若點到直線（為任意實數(shù)）的距離取最大值時，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】先求出直線所過定點，得到最大距離時，然后由斜率關(guān)系可得.【詳解】直線方程可化為，，解得，所以直線恒過點，設(shè)為點此時為點到直線的最大距離，且，由斜率關(guān)系可得.故選：B.5．（25-26高二上·江西·月考）已知圓與圓交于A，B兩點，則直線AB的一般式方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)公共弦直線方程的求解方式，用兩圓聯(lián)立相減即可.【詳解】聯(lián)立兩式相減可得.故選：D.6．已知四邊形的頂點的坐標分別為

則四邊形的面積為（

）A．24 B． C．12 D．6【答案】C【分析】由條件可得到為平行四邊形，用平行四邊形面積公式，可得到答案.【詳解】由點坐標，可得到，同理可得到；，所以四邊形為平行四邊形；由，，可得到直線方程為，點到直線的距離，又，.故選：C7．（24-25高二上·江蘇揚州·期末）已知直線，與圓交于，兩點，則長的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由圓的方程求得圓心和半徑，由直線過定點，易得弦心距的最大值，可得的最小值.【詳解】由圓，可得圓心、半徑為，直線過定點，要使弦長最小，只有弦心距最大，弦心距的最大值為，所以弦的的最小值為.故選：C.8．（25-26高二上·天津濱海新·月考）已知點，，若直線與線段AB有公共點，則實數(shù)m的取值范圍（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】由直線方程知直線過定點，求出的斜率，結(jié)合圖象得直線的斜率滿足的關(guān)系，從而得的范圍.【詳解】直線過定點，，，由于，所以直線的斜率滿足或，所以或.故選：C

9．過直線l：上一點P作圓M：的兩條切線，切點分別為A，B，若的最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)最大有且圓心到直線l的距離最短，利用圓的切線性質(zhì)得，再應(yīng)用點線距離公式列方程求參數(shù)值.【詳解】當(dāng)時，圓心到直線l的距離最短，最大，因為的最大值為，在，中，，，所以，當(dāng)最大時，圓心M到直線l的距離為4，即，解得（舍）或．故選：C10．（24-25高二上·浙江紹興·期中）暨陽分校環(huán)境優(yōu)美，依山傍水，綠樹成蔭.某日，小明飯后散步至池塘邊，恰好可以在池塘中看到太陽的倒影，即入射光線經(jīng)池塘水面反射后，反射光線經(jīng)過小明眼睛.建立適當(dāng)坐標系后，已知入射光線上有一點，經(jīng)直線反射后經(jīng)過點，則入射光線所在直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出點關(guān)于直線對稱點的坐標，結(jié)合點的坐標即可求得入射光線所在直線的方程．【詳解】設(shè)關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，即，因為入射光線經(jīng)過點，所以所在直線的斜率為，則入射光線所在直線方程為，即．故選：D.11．已知直線與圓交于A，B兩點，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．5 D．10【答案】B【分析】確定直線所過的定點，再求出圓心到該定點的距離，進而確定圓心到直線距離的取值范圍，最后根據(jù)三角形面積公式求出面積的最大值.【詳解】直線過定點，圓，易知設(shè)到距離為，，當(dāng)時，.故選:B．12．（25-26高二上·全國·單元測試）已知圓的圓心為，且經(jīng)過點，過點作圓的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意求得其中一個切點的坐標，并求出的斜率即可求解.【詳解】由題意，圓的半徑為圓的標準方程為．當(dāng)斜率不存在時，過點的直線為，與圓相切于點．由圓的切線的性質(zhì)可知，，直線AB的方程為，即．故選：A.13．（24-25高二下·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知圓，直線，則下列錯誤的是（）A．直線l與圓C不可能相切B．當(dāng)時，圓C上恰有三個點到直線l距離等于1C．直線l與直線垂直D．若圓C與圓恰有三條公切線，則【答案】B【分析】對于A項，求出直線經(jīng)過的定點坐標，判斷該點與圓的關(guān)系，即可判斷；對于B項，代入，得出直線的方程，求出圓心到直線的距離，即可得出答案；對于C項，根據(jù)兩直線的系數(shù)計算即可得出；對于D項，根據(jù)已知可知兩圓外切，根據(jù)已知求出兩圓圓心、半徑，列出方程，求解即可得出答案.【詳解】對于A項，整理直線可得出，解方程組可得，直線過定點.圓的圓心為，半徑為，則，所以點在圓內(nèi)，即直線過圓內(nèi)一定點，所以，直線l與圓C一定相交，不可能相切.故A正確；對于B項，當(dāng)時，直線化為.此時有圓心到直線的距離，且，因此圓C上只有兩個點到直線l的距離等于1.故B錯誤；對于C項，因為，所以直線l與直線垂直.故C正確；對于D項，要使圓C與圓恰有三條公切線，則應(yīng)滿足兩圓外切.圓可化為，圓心為，半徑為.因為兩圓外切，所以有，即，整理可得，化簡可得，解得.故D項正確.故選：B14．（25-26高二上·廣東廣州·月考）設(shè)點，若點在線段上（含端點），則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將求“的取值范圍”轉(zhuǎn)化為求點與點連線的斜率問題，并結(jié)合圖象分析，可得結(jié)果.【詳解】由題可知，.令，且.則可以看作是線段上（含端點）的點與點連線的斜率.如圖，記，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則直線的傾斜角的范圍是.所以，或.所以的取值范圍是.故選：A.15．（23-24高二下·廣西南寧·期中）若直線與圓交于兩點，且直線不過圓心，則當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的面積為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】B【分析】由直線方程可得直線恒過定點，由圓的幾何性質(zhì)可得當(dāng)時，周長最小，由此可求的值，即而得出圓心到直線的距離及弦長，求出面積即可.【詳解】由可得，故圓心，半徑，直線的方程可化為，所以直線恒過定點，因為所以點在圓內(nèi)，由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時，最小，周長最小，又，所以，此時，即直線，所以圓心到直線的距離，所以，所以，故選：B16．（23-24高二上·云南昆明·月考）已知直線與曲線有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將問題化為直線與圓的上半部分有交點求參數(shù)范圍.【詳解】曲線是圓的上半部分，且含端點，由過點定點，如下圖，由圖知，當(dāng)與半圓左上部相切時，且，可得，結(jié)合圖知.故選：B17．（24-25高二上·重慶·月考）已知直線與圓，點，在直線上，過點作圓的切線，切點分別為，，當(dāng)取最小值時，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由切線長公式知當(dāng)時，最小，結(jié)合點到直線距離公式求得的最小值，然后作關(guān)于直線的對稱點，可知當(dāng)點為直線與的交點時，最小，由對稱知此時與重合，從而易得最小值．【詳解】，所以當(dāng)時，最小，由點到直線的距離公式可得此時，過作直線的對稱點，再連接，與直線的交點即為所找的點，由于關(guān)于直線對稱，，與關(guān)于直線對稱，因此與就是同一條直線，即點就是點，所以的最小值等于，故選：C．18．（24-25高二上·河南開封·期中）已知是曲線上的動點，是直線上的一個動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】曲線C表示以為圓心，以1為半徑的圓，先求得點關(guān)于直線的對稱點，然后由求解.【詳解】解：如圖所示：曲線，即為，表示以為圓心，以1為半徑的圓，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，連接，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時，等號成立，所以則的最小值是，故選：C19．（多選題）已知圓與圓，下列選項正確的有（

）A．若，則兩圓外切B．若，則直線為兩圓的一條公切線C．若，則兩圓公共弦所在直線的方程為D．若，則兩圓公共弦的長度為【答案】BD【分析】利用圓與圓的位置關(guān)系可判斷A選項；利用直線與圓的位置關(guān)系可判斷B選項；將兩圓方程相減可判斷C選項；利用勾股定理可判斷D選項.【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，對于A選項，若兩圓外切，則，解得，A錯；對于B選項，若，圓心到直線的距離為，則直線與圓相切，圓心到直線的距離為，則直線與圓相切，故當(dāng)時，則直線為兩圓的一條公切線，B對；對于C選項，若，因為，此時兩圓相交，將兩圓方程相減得，即，故當(dāng)時，兩圓公共弦所在直線的方程為，C錯；對于D選項，當(dāng)時，圓心到直線的距離為，此時兩圓的公共弦長度為，D對.故選：BD.20．（25-26高二上·安徽·月考）（多選題）已知實數(shù)，滿足圓的方程，則（

）A．圓心為，半徑為 B．的最大值為2C．的最大值為 D．的最大值為【答案】AC【分析】根據(jù)圓的標準方程得出圓心半徑判斷A，根據(jù)的范圍判斷B，應(yīng)用兩點間距離計算判斷C，應(yīng)用二次函數(shù)值域計算判斷D.【詳解】對于A，由圓的方程，得圓心為，半徑為，故A正確；對于B，由，有，所以的最大值為，故B錯誤；對于C，表示圓上點到定點的距離，圓心到定點的距離為，所以圓上點到定點的距離的最大值為，故C正確；對于D，由得，所以，，令，由在上單調(diào)遞增，所以，所以的最大值為，故D錯誤.故選：AC.21．（24-25高二上·江蘇徐州·月考）在平面直角坐標系中，已知點，若點滿足，則點的軌跡方程是．【答案】【分析】設(shè)點，借助兩點間距離公式代入計算即可得.【詳解】設(shè)，則有，化簡得，即點的軌跡方程是.故答案為：.22．（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）經(jīng)過點作直線l，且直線l與連接點，的線段總有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是．（用弧度制表示，寫成區(qū)間形式）【答案】【分析】由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合能求出使直線與線段有公共點的直線的斜率的范圍與傾斜角的范圍．【詳解】

因為，，，，，則使直線與線段有公共點的直線的斜率的范圍為又直線傾斜角的范圍是：，且，所以直線l的傾斜角的范圍為.故答案為：．23．（25-26高二上·天津·月考）已知圓上的點到直線的距離的最大值是，最小值是，則.【答案】【分析】求出圓心到直線的距離，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得的值.【詳解】可化為，圓心，半徑，圓心到直線的距離，則直線與圓相離，故，，則.故答案為：24．（25-26高二上·重慶·月考）已知圓：，過作圓的一條切線，切點為，則的最小值為.【答案】2【分析】根據(jù)切線長，將所求問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，進而利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】因為點在直線上，過點作圓的一條切線，切點為，則，所以在中，，要使最小，只需最小，因為點在直線上，圓心，則的最小值即為點到直線的距離，即，，故答案為：2

25．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知圓，是軸上的動點，直線分別與圓相切于點．若為中點，則點的軌跡方程為．【答案】（限制條件寫成或也可以）【分析】轉(zhuǎn)化為三點共線，以及，即可列式求解.【詳解】設(shè)，，，由三點共線，則①，且，，所以，即②，聯(lián)立①②，消去，為，，即，由圖可知，，所以，整理為，故答案為：（限制條件寫成或也可以）26．（24-25高二上·山東泰安·期中）已知，，點C，D滿足，，則D點的軌跡方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)的坐標，利用平面向量線性運算與模的坐標表示，結(jié)合求軌跡的相關(guān)點法即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，又，，則，，，因為，所以，則，故，因為，所以，所以，則，所以D點的軌跡方程為.故答案為：.27．（24-25高二上·湖南·期中）寫出與圓和圓都相切的一條直線方程.【答案】（或或，任寫一條即可，答案不唯一）【分析】求出兩圓圓心和半徑，兩圓圓心距以及兩圓心所在直線方程即可得兩圓公切線情況，再結(jié)合直線垂直關(guān)系以及兩平行直線距離公式即可求公切線方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓心距為，故兩圓外切，兩圓圓心所在直線的方程為，即，中點為，切線垂直于直線，且經(jīng)過中點，所以切線的方程為；切線平行于直線，且到直線的距離為，設(shè)平行于直線切線方程為，則或，所以切線的方程分別為.

故答案為：（或或，任寫一條即可，答案不唯一）.28．（25-26高二上·上?！ぴ驴迹o定的兩點和，用以下方式定義“直角距離”：．已知，點N在圓C：上運動，若點P滿足，則的最大值為．【答案】/【分析】確定點的軌跡，的最大值為點到圓心的距離加圓的半徑.【詳解】設(shè)點，由可得點的軌跡是如圖以為中心的正方形，其中點離圓較遠時，（由，得；由，得）.因為點在圓即上運動，所以的最大值為點到圓心的距離加圓的半徑.因為，，圓的半徑，所以，故答案為.29．（25-26高二上·河北唐山·月考）給出兩條直線，，其中.(1)設(shè)，求；(2)求的值，使得【答案】(1)(2)【分析】直線的方程分別是：（不同時為0），（不同時為0），則兩條直線的位置關(guān)系可以如下判別：（1）與重合；（2）與平行；（3）與相交；（4）與垂直.【詳解】（1）由，解得，所以時，（2）當(dāng)時，即時，30．（25-26高二上·吉林長春·月考）已知圓M過，，三點．(1)求圓M的標準方程；(2)若過點的直線l與圓M相交于E，F(xiàn)兩點，且，求直線l的方程．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求圓的方程即可；（2）分為直線l的斜率存在和不存在兩種情況來討論，根據(jù)弦長公式列式求出斜率，即可求解.【詳解】（1）設(shè)圓M的方程為．把，，三點分別代入方程可得：，解得，，，所以圓M的方程為，其標準方程為．（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為．此時到直線l的距離，弦長，滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，即．圓心到直線l的距離．因，弦長公式得，兩邊平方解得．所以，兩邊平方得．展開得，移項可得．則直線l的方程為，即．綜上所得，直線l的方程為或．31．已知直線，求：(1)原點關(guān)于的對稱點坐標；(2)直線關(guān)于的對稱直線方程；(3)直線關(guān)于點的對稱直線方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)出原點關(guān)于直線的對稱點的坐標，利用的中點在直線上，以及直線與直線垂直列方程組，即可求解；（2）求出直線與直線的交點坐標，在直線上取一點，由（1）知關(guān)于直線的對稱點為，利用直線方程的兩點式求解即可；（3）在直線上任取兩點，分別求出這兩點關(guān)于點的對稱點，再利用直線方程的兩點式求解即可.【詳解】（1）設(shè)原點關(guān)于直線的對稱點為，則線段的中點在直線上，且直線垂直于直線，即，解得，即，所以原點關(guān)于的對稱點坐標為；（2）聯(lián)立，解得，則點在所求直線上，在直線上任取一點，由（1）得關(guān)于的對稱點坐標為，所以點也在所求直線上，由兩點式得直線方程為，整理得，所以直線關(guān)于的對稱直線方程為；（3）在直線上取兩點，，則，關(guān)于點的對稱點分別為，.因為點，在所求直線上，所以由兩點式得直線方程為，整理得，所以直線關(guān)于點的對稱直線方程為.32．（24-25高二上·重慶·期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點的距離之比值為常數(shù)的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓.已知點到的距離是點到的距離的2倍.(1)求點的軌跡的方程；(2)過點作直線，交軌跡于兩點，記的面積為，求的最大值，以及取最大值時的直線方程.(3)設(shè)軌跡與軸正半軸的交點為，直線相交于點，試證明點在定直線上，求出該直線方程.【答案】(1)(2)，(3)證明見解析，【分析】（1）設(shè)，根據(jù)兩點距離公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，利用點到直線的距離公式和幾何法求弦長表示.結(jié)合點線距公式、基本不等式和三角形面積公式，分類討論當(dāng)、時S的