11/94專題03直線與圓的方程（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律直線的傾斜角與斜率理解直線的傾斜角和斜率的概念.基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題直線與線段有交點(diǎn)用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率的計(jì)算公式，提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).高頻易錯(cuò)點(diǎn)，在斜率和傾斜角之間的關(guān)系上出錯(cuò)直線的方程根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式，培養(yǎng)直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題兩條直線平行與垂直能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題，注意一般式下平行與垂直的充要條件直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1、能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系.2、掌握兩點(diǎn)間的距離公式及應(yīng)用，會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)法證明簡(jiǎn)單的平面幾何問題.3、探索并掌握平面上點(diǎn)到直線的距離公式，掌握兩條平行直線間的距離公式，會(huì)求點(diǎn)到直線的距離和兩條平行直線間的距離，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).高頻易錯(cuò)點(diǎn)，特別是對(duì)稱問題的處理圓的方程1、會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2、掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，理解圓的一般方程及其特點(diǎn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).3、掌握?qǐng)A的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化方法，會(huì)求圓的一般方程以及簡(jiǎn)單的軌跡方程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題直線和圓的位置關(guān)系1、理解直線與圓的三種位置關(guān)系，能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系，能解決有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系的問題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2、能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題，體會(huì)坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”.重難必考點(diǎn)，像弦長(zhǎng)、切線、距離最值問題都是幾乎必考重難點(diǎn)圓和圓的位置關(guān)系能根據(jù)給定的圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系，能用圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題知識(shí)點(diǎn)01直線的傾斜角與斜率一、直線的傾斜角1、傾斜角的定義：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，我們把軸稱為基準(zhǔn)，軸的正向與向上的方向之間所產(chǎn)生的角叫做直線的傾斜角．2、傾斜角的范圍當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°．因此，直線的傾斜角的取值范圍為，具體如下：傾斜角直線圖示二、直線的斜率1、斜率的定義：我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率，常用小寫字母表示，即．2、傾斜角與斜率的關(guān)系直線的情況平行于軸由左向右上升垂直于軸由左向右下降的大小的取值范圍不存在的增減性—隨的增大而增大—隨的增大而減增大3、過兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn)、的直線的斜率公式為．4、直線的斜率與方向向量的關(guān)系若直線的斜率為，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為，則斜率為．知識(shí)點(diǎn)02直線的方程1、直線的截距若直線與坐標(biāo)軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距2、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點(diǎn)式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用3、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．知識(shí)點(diǎn)03兩直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．兩直線方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一個(gè)為0，另一個(gè)不存在．知識(shí)點(diǎn)04三種距離1、兩點(diǎn)間的距離平面上兩點(diǎn)的距離公式為．特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離2、點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離特別地，若直線為l：x=m，則點(diǎn)到l的距離；若直線為l：y=n，則點(diǎn)到l的距離3、兩條平行線間的距離已知是兩條平行線，求間距離的方法：（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離．（2）設(shè)，則與之間的距離注：兩平行直線方程中，x，y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等．知識(shí)點(diǎn)05圓的定義與方程1、定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫作圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為圓的半徑.2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與：位置關(guān)系的方法:（1）幾何法（優(yōu)先推薦）設(shè)到圓心的距離為，則①則點(diǎn)在外②則點(diǎn)在上③則點(diǎn)在內(nèi)（2）代數(shù)法將點(diǎn)帶入：方程內(nèi)①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)4、圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最大、最小距離設(shè)的方程，圓心，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)；記;①若點(diǎn)在外，則;②若點(diǎn)在上，則;③若點(diǎn)在內(nèi)，則;5、圓的一般方程對(duì)于方程（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.①當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形6、在圓的一般方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)和圓的一般式方程：（），則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)知識(shí)點(diǎn)06直線與圓的三種位置關(guān)系一、直線與圓的三種位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的圖象直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離二、判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法1、幾何法（優(yōu)先推薦）圖象位置關(guān)系相交相切相離判定方法；。圓心到直線的距離：。圓與直線相交。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相切。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相離。2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)①直線與圓相交②直線與圓相切③直線與圓相離三、直線與圓相交記直線被圓截得的弦長(zhǎng)為的常用方法1、幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長(zhǎng)公式：2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長(zhǎng)公式：四、直線與圓相切1、圓的切線條數(shù)①過圓外一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線②過圓上一點(diǎn)，可以作圓的一條切線③過圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線2、過一點(diǎn)的圓的切線方程（）①點(diǎn)在圓上步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率，記切線斜率為，則步驟二：利用點(diǎn)斜式求切線（步驟一中的斜率+切點(diǎn)）②點(diǎn)在圓外記切線斜率為，利用點(diǎn)斜式寫成切線方程；在利用圓心到切線的距離求出（注意若此時(shí)求出的只有一個(gè)答案；那么需要另外同理切線為）3、切線長(zhǎng)公式記圓:；過圓外一點(diǎn)做圓的切線，切點(diǎn)為,利用勾股定理求；知識(shí)點(diǎn)07圓與圓的位置關(guān)系一、圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點(diǎn).圖象位置關(guān)系圖象位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2、圓與圓的位置關(guān)系的判定設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.①當(dāng)時(shí)，兩圓相交；②當(dāng)時(shí)，兩圓外切；③當(dāng)時(shí)，兩圓外離；④當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；⑤當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含.3、圓與圓的公共弦設(shè)::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程4、圓與圓的公切線與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1）兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；（3）兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時(shí)，無公切線．題型一直線的傾斜角與斜率的定義與聯(lián)系解｜題｜技｜巧求直線的傾斜角的關(guān)鍵及兩點(diǎn)注意（1）關(guān)鍵：依據(jù)平面幾何的知識(shí)判斷直線向上方向與x軸正方向所成的角.（2）兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°；當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直線l的一個(gè)方向向量為，則直線l的傾斜角為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方向向量與直線斜率關(guān)系求斜率，再由斜率與傾斜角關(guān)系求傾斜角.【詳解】由題意，直線l的斜率為，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，得直線l的傾斜角為．故選：C．2．（2025高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，若直線，，的斜率分別為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線傾斜角大小即可判斷三條直線斜率大小關(guān)系.【詳解】解：設(shè)直線，，的傾斜角分別為，，，則由圖知，所以，，即，．故選：A.3．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若過點(diǎn)，的直線的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系，分斜率不存在與斜率存在計(jì)算即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，即；當(dāng)時(shí)，直線的斜率存在，則或，解得或；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.4．（2025高二上·上?！ｎ}練習(xí)）已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為【答案】【分析】求出直線的斜率，根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】由題意得直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為α，則；因?yàn)?，所以；故答案為?．（23-24高二上·江西贛州·期中）若直線的傾斜角為，則．【答案】【分析】根據(jù)直線方程求出斜率，再利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系列方程求解即得.【詳解】由直線的傾斜角為可得，，解得，，故答案為：．題型二直線與線段相交問題解｜題｜技｜巧用數(shù)形結(jié)合法求斜率的取值范圍已知一條線段AB的端點(diǎn)及線段外一點(diǎn)P，求過點(diǎn)P的直線l與線段AB在有交點(diǎn)的情況下斜率的取值范圍.若直線PA，PB的斜率均存在，則步驟為：①連接PA，PB；②由k=y2-y1x1．（24-25高二上·河南信陽·期中）已知，，，經(jīng)過點(diǎn)C作直線l，若直線l與線段AB沒有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題知，或，再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.【詳解】設(shè)直線l的斜率為，直線l的傾斜角為，則，因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)，且與線段沒有公共點(diǎn)，所以，或，即或，因?yàn)?，所以，故直線l的傾斜角的取值范圍是．故選：C．

2．（24-25高二上·廣西玉林·月考）已知點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用兩點(diǎn)式斜率公式求出直線和直線的斜率，根據(jù)斜率的變化規(guī)律數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題得，，因?yàn)橹本€l與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，結(jié)合圖可知，.故選：B

3．（24-25高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與線段AB有交點(diǎn)，則l的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用直線的斜率公式計(jì)算，；再結(jié)合圖形，利用直線與線段有交點(diǎn)的條件建立不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】由直線的斜率公式可得：；.結(jié)合圖形，要使直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與線段AB有交點(diǎn)，l的斜率需滿足或.故選：C.4．已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出圖形，求出的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得直線的斜率的取值范圍，再由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角的取值范圍.【詳解】如圖所示，直線的斜率，直線的斜率．由圖可知，當(dāng)直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，直線的斜率，因此直線的傾斜角的取值范圍是．故選：A.題型三斜率公式的重要應(yīng)用（三點(diǎn)共線與幾何意義）解｜題｜技｜巧1、判斷三點(diǎn)共線的方法對(duì)于給定坐標(biāo)的三點(diǎn)，要判斷三點(diǎn)是否共線，先判斷任意兩點(diǎn)連線的斜率是否存在.（1）若斜率都不存在，則三點(diǎn)共線.（2）若斜率存在，則任意兩點(diǎn)連線的斜率相等時(shí)，三點(diǎn)才共線.注意：若三點(diǎn)共線，則任意兩點(diǎn)連線的斜率可能相等，也可能都不存在.解決這類問題時(shí)，首先要對(duì)斜率是否存在作出判斷，必要時(shí)分情況討論，然后下結(jié)論.2、斜率的幾何意義的應(yīng)用斜率的公式有明顯的代數(shù)和幾何特征，所以可以用于某些分式求范圍或函數(shù)求值域、最值等問題中.1．（24-25高二下·廣東深圳·開學(xué)考試）若三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】由三點(diǎn)共線得到，再由兩點(diǎn)表示出直線的斜率求解即可；【詳解】由題意可得，即，解得.故選：C.2．（23-24高二上·廣東廣州·期中）已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是．【答案】【分析】將的范圍轉(zhuǎn)化為線段上的點(diǎn)與構(gòu)成的直線的斜率的范圍，然后求斜率即可.【詳解】方程，令，則，令，則，設(shè)點(diǎn)，，所以可以表示線段上的點(diǎn)與構(gòu)成的直線的斜率，，，所以的取值范圍為.故答案為：.3．（24-25高二上·安徽·期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為.【答案】【分析】由題意，將問題轉(zhuǎn)化為直線與半圓上點(diǎn)與點(diǎn)連接的直線的斜率.，數(shù)形結(jié)合分析即可.【詳解】因?yàn)?，所以，其表示為圓的上半部分.設(shè)半圓上一動(dòng)點(diǎn)，表示的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)連接的直線的斜率，當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，直線的斜率取最大值，設(shè)直線的方程為，即，所以，解得或（舍去），則直線的斜率的最大值為；當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，則直線的斜率取最小值，為，綜上，的取值范圍為.故答案為：.

題型四直線的方程（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式）解｜題｜技｜巧1、求直線的點(diǎn)斜式方程，關(guān)鍵是求出直線的斜率，所以已知直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的斜率或直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，均可求出直線的方程.特別注意：當(dāng)斜率不存在時(shí)，可直接寫出過點(diǎn)(x0，y0)的直線方程為x=x0.易錯(cuò)警示：容易忽視直線斜率不存在的情況.2、斜截式方程的特點(diǎn)及應(yīng)用（1）若能求得直線的斜率，且直線在y軸上的截距已知，可選用直線的斜截式方程直接求解.（2）根據(jù)斜率和截距的幾何意義判斷k，b的正負(fù)時(shí)，k>0?直線呈上升趨勢(shì).k<0?直線呈下降趨勢(shì).k=0?直線呈水平狀態(tài).b>0?直線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方.b<0?直線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方.b=0?直線過坐標(biāo)原點(diǎn).3、已知兩點(diǎn)求直線方程的方法、思路已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線方程時(shí)，若滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件，可直接將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的兩點(diǎn)式方程，化簡(jiǎn)即得.代入點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)注意橫、縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.若點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)，需注意對(duì)參數(shù)的討論.在斜率存在的情況下，也可以選用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式求方程.1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線的傾斜角為，在軸上的截距是，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直線的斜率，利用斜截式可得出直線的方程.【詳解】由題意可知，直線的斜率為，又因?yàn)樵撝本€在軸上的截距是，故直線的方程為.故選：C.2．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線：繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，則的斜截式方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直線的傾斜角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度求出直線的傾斜角，進(jìn)而得到直線的斜率，再根據(jù)直線所過的點(diǎn)求出直線方程．【詳解】直線，其斜率，設(shè)其傾斜角為，則，又因?yàn)閮A斜角，所以．直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則直線的傾斜角．直線的斜率．又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的斜截式方程為．故選：B．3．（24-25高二下·上海松江·期末）直線的傾斜角是.【答案】【分析】根據(jù)直線斜率和傾斜角的關(guān)系，求得的傾斜角，即可得答案.【詳解】由，設(shè)斜率為，傾斜角為，因?yàn)橹本€斜率為，則，又因直線的傾斜角，所以.故答案為：4．（24-25高二下·上海寶山·期末）經(jīng)過點(diǎn)且斜率為1的直線方程為.【答案】【分析】根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式可直接求解【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)且斜率為1，所以，即，故答案為：.5．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，求三邊所在直線的方程．【答案】答案見解析【分析】結(jié)合題意利用兩點(diǎn)式方程求出三邊所在直線方程即可.【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，所以所在直線的方程為，即;因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，所以直線方程為，即;因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，所以所在直線的方程為，即;另解:因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，所以直線的斜率為，則邊所在直線的方程為，整理得；因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，所以直線的斜率為，則邊所在直線的方程為，整理得；因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，所以直線的斜率為.則邊所在直線的方程為，整理得.題型五直線的方程（截距式、一般式）解｜題｜技｜巧1、求直線的截距式方程的方法（1）由已知條件確定直線在x軸、y軸上的截距.（2）若兩截距為零，則直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，直接寫出方程即可；若兩截距不為零，則代入公式xa+y注意：如果題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等、截距互為相反數(shù)或在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的多少倍等條件，采用截距式求直線方程時(shí)一定要注意考慮“零截距”的情況.2、直線的截距式方程是兩點(diǎn)式方程的特殊情況(兩個(gè)點(diǎn)是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，記為(a，0)，(0，b))，用它來畫直線以及求直線與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積或周長(zhǎng)時(shí)較為方便.一條直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=123、解含有參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)的問題的兩種方法（1）任給直線中的參數(shù)賦兩個(gè)不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)的直線所過的定點(diǎn)，從而問題得解.（2）含有一個(gè)參數(shù)的二元一次方程若能整理為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是參數(shù)，這就說明了它表示的直線必過定點(diǎn)，其定點(diǎn)可由方程組A1x+B1y+C1=0,A1．（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）若直線的傾斜角的大小為，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由直線傾斜角求出直線斜率，再由直線方程列出關(guān)于m的方程即可求解.【詳解】若直線的傾斜角的大小為，則直線的斜率為，則，所以直線即直線，所以，解得.故選：D2．（24-25高二上·湖南永州·月考）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】令表示出，得到直線的縱截距．令表示出，得到直線的橫截距，根據(jù)題意列方程求解．【詳解】直線，令，解得，令，解得，由題意得：，解得．故選：B3．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）（多選題）對(duì)于直線，下列說法中正確的是（

）A．的傾斜角不可能為 B．恒過定點(diǎn)C．的一個(gè)法向量為時(shí)， D．時(shí)，不經(jīng)過第二象限【答案】ABD【分析】由直線方程求得直線的斜率，斜率公式，恒過頂點(diǎn)進(jìn)行判斷各個(gè)選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，直線的方程為，其斜率為，故直線的傾斜角不可能為，A正確；對(duì)于B，直線整理為，則直線恒過定點(diǎn)．B正確；對(duì)于C，若的一個(gè)法向量為時(shí)，則的一個(gè)方向向量可取為，故直線的斜率，因此，則．C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，故直線的斜率，又恒過定點(diǎn)，所以不經(jīng)過第二象限．D正確.故選：ABD.4．（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）根據(jù)下列條件分別寫出直線的一般式方程．(1)經(jīng)過兩點(diǎn)，；(2)經(jīng)過點(diǎn)，斜率為；(3)經(jīng)過點(diǎn)，平行于軸；(4)斜率為2，在軸上的截距為1．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)式寫出方程轉(zhuǎn)化為一般式方程；（2）根據(jù)點(diǎn)斜式寫出方程轉(zhuǎn)化為一般式方程；（3）根據(jù)點(diǎn)斜式寫出方程轉(zhuǎn)化為一般式方程；（4）根據(jù)點(diǎn)斜式寫出方程轉(zhuǎn)化為一般式方程.【詳解】（1）由兩點(diǎn)式，得直線的方程為，即．（2）由點(diǎn)斜式，得直線的方程為，即．（3）由題意知，直線的方程為，即．（4）由點(diǎn)斜式，得直線的方程為，即．5．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）求適合下列條件的直線方程：(1)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形．【答案】(1)或．(2)或．【分析】（1）法一：分和兩種情況討論，利用直線的截距式方程得到直線方程；法二：因?yàn)榻鼐嘞嗟?，分直線斜率為和直線過原點(diǎn)兩種情況討論，得到直線方程；（2）法一：利用直線的截距式方程，，代入點(diǎn)，得到方程；法二：根據(jù)等腰直角三角形得到直線的斜率為，利用直線的點(diǎn)斜式方程得到直線方程.【詳解】（1）法一：設(shè)直線在坐標(biāo)軸上的截距為，①當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)和，所以直線方程為，即．②當(dāng)時(shí)，直線方程為，代入點(diǎn)可得，即直線方程為．綜上所述，直線方程為或．法二：因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上截距相等，所以直線斜率為或直線過原點(diǎn)．①當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線方程為，即．②當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，，直線方程為，即．綜上所述，直線方程為或．（2）法一：因?yàn)榭梢試扇切危栽谧鴺?biāo)軸上的截距均不為，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，所以，代入點(diǎn)可得或所以直線方程為或．法二：因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，所以直線的斜率為，又直線過定點(diǎn)，所以直線方程為，即所求直線方程為或．6．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線的方程為．(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)的直線交坐標(biāo)軸正半軸于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將直線方程整理為關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，利用其對(duì)任意恒成立的條件，即可證明直線過定點(diǎn)；（2）通過直線過定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)斜式方程來求兩坐標(biāo)軸上的截距，再求面積，利用基本不等式求最小值，然后求出對(duì)應(yīng)三角形的周長(zhǎng)即可.【詳解】（1）由可得，，令所以直線過定點(diǎn)．（2）由（1）知，直線恒過定點(diǎn)，由題意可設(shè)直線的方程為，直線與軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為，令，得；令，得．所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積最小，，，的周長(zhǎng)為．所以當(dāng)面積最小時(shí)，的周長(zhǎng)為．題型六兩條直線的平行與垂直解｜題｜技｜巧1、過一點(diǎn)與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法①由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出方程.②可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+C1=0(C1≠C)，再由直線所過的點(diǎn)確定C1；與直線Ax+By+C=0垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+C2=0，再由直線所過的點(diǎn)確定C2.2、對(duì)于由直線的位置關(guān)系求參數(shù)的問題，有下列結(jié)論：設(shè)直線l1與l2的方程分別為A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同時(shí)為0)，A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同時(shí)為0)，則l1∥l2?A1Bl1⊥l2?A1A2+B1B2=0.3、常見的四大直線系方程①過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線系A(chǔ)(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0)，還可以表示為y-y0=k(x-x0)(斜率不存在時(shí)可視為x=x0).②與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m∈R，且m≠C).③與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).④過直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)，但不包括l2.4、應(yīng)用直線系方程的關(guān)注點(diǎn)利用平行直線系或垂直直線系求直線方程時(shí)，一定要注意系數(shù)及符號(hào)的變化規(guī)律.1．（24-25高二下·浙江溫州·開學(xué)考試）若直線與直線平行，則m的值是（

）A．1或 B． C．1或 D．1【答案】C【分析】由兩直線平行的判定列方程求參數(shù)值，注意驗(yàn)證.【詳解】直線與直線平行，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或時(shí)，兩直線平行，經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意.故選：C2．（25-26高二上·重慶·開學(xué)考試）若直線與直線平行，則（

）A．0 B．或0 C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程求得的值，然后檢驗(yàn)，排除兩直線重合的情況.【詳解】由題意得,即,解得或.當(dāng)時(shí)，兩直線方程都為，兩直線重合，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為和，此時(shí)兩直線平行，符合題意.故選：C.3．（24-25高二下·北京·月考）若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)為（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【分析】根據(jù)兩向量垂直的充要條件列式求解.【詳解】根據(jù)題意，可得，解得.故選：C.4．“”是“直線與垂直”的（

）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分、必要條件以及兩直線間的位置關(guān)系等知識(shí)確定正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，充分性成立；“直線與垂直”恒成立，并不需要a參與其中，必要性不成立.故選：A5．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）（多選題）已知直線：，動(dòng)直線：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不存在k，使得的傾斜角為90°B．對(duì)任意的k，與都有公共點(diǎn)C．對(duì)任意的k，與都不重合D．對(duì)任意的k，與都不垂直【答案】BD【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求解判斷.【詳解】A錯(cuò)，當(dāng)時(shí)，：，符合傾斜角為90°；B對(duì)，：過定點(diǎn)，而點(diǎn)也在：上，所以對(duì)任意的k，與都有公共點(diǎn)；C錯(cuò)，當(dāng)時(shí)，：，然與：重合；D對(duì)，要使與垂直，則，即，顯然不存在這樣的k值．故選：BD.6．（24-25高二上·新疆喀什·期末）求經(jīng)過點(diǎn)，且滿足下列條件的直線的方程；(1)經(jīng)過點(diǎn)；(2)與直線平行；(3)與直線垂直；【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)由兩點(diǎn)即可求出斜率，由點(diǎn)斜式即可求直線的方程；(2)設(shè)與直線平行的直線的方程為，代點(diǎn)即可求得；(3)設(shè)與直線垂直的直線方程為，代點(diǎn)即可求得.【詳解】（1）根據(jù)題意有直線的斜率為，則直線的方程為，整理有；（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為，又因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，即；（3）設(shè)與直線垂直的直線方程為，又因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，即.題型七直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（含對(duì)稱問題）解｜題｜技｜巧1、用代數(shù)方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需寫出這兩條直線的方程，然后聯(lián)立求解.一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組A若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無數(shù)解，則兩條直線重合.2、求兩點(diǎn)間的距離的基本思路任意兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式為|AB|=(x（1）使用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，首先把直線方程化為一般式，再利用公式求解.（2）已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)公式列方程求解參數(shù)即可.求兩條平行直線間的距離有兩種思路（3）直接利用兩條平行直線間的距離公式d=|C2-C13、距離公式綜合應(yīng)用的三種常用類型（1）最值問題①利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題.②利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.③利用距離公式將問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，通過配方求最值.（2）求參數(shù)的問題利用距離公式建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組，通過解方程或方程組求值.（3）求方程的問題立足確定直線的幾何要素——點(diǎn)和方向，利用直線方程的各種形式，結(jié)合直線的位置關(guān)系(平行直線系、垂直直線系及過交點(diǎn)的直線系)，巧設(shè)直線方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解.4、對(duì)稱問題的解決方法（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題通常利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.點(diǎn)P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a-x，2b-y).（2）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線通常用轉(zhuǎn)移法或取特殊點(diǎn)來求.設(shè)l的方程為Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和點(diǎn)P(x0，y0)，則l關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱直線方程為A(2x0-x)+B·(2y0-y)+C=0.（3）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，要抓住“垂直”和“平分”.設(shè)P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)Q可以通過條件：①PQ⊥l；②PQ的中點(diǎn)在l上來求得.（4）求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題.1．已知直線l過點(diǎn)且傾斜角為，則點(diǎn)到直線l的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線的點(diǎn)斜式方程求出直線的方程，再代入點(diǎn)到直線距離公式即可.【詳解】易知直線的斜率為，又過點(diǎn)，所以其方程為，即，可得點(diǎn)到直線l的距離為.故選：C2．（25-26高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知直線和直線平行，則這兩條平行線之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將兩條直線化為和的形式，然后利用兩條平行直線間的距離公式來求解即可.【詳解】直線可化為，設(shè)兩條平行直線間的距離為，則.故選：.3．（24-25高二上·福建福州·期中）（多選題）已知直線和兩點(diǎn).在直線l上有一點(diǎn)P，則的最小值和的最值為（

）A．的最小值為12 B．的最小值為6C．的最小值為 D．的最大值為2【答案】AC【分析】應(yīng)用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合飲馬模型求的最小值，利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)線位置關(guān)系求的最值，即可得答案.【詳解】令是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，所以，即，為與的交點(diǎn)，如下圖，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在線段上時(shí)取等號(hào)，即的最小值為12；由圖知（直線與直線的交點(diǎn)離點(diǎn)更近），即，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在射線上時(shí)取最小值，但無最大值，即最小值是，為.故選：AC4．（2025高二上·上?！ｎ}練習(xí)）直線l經(jīng)過原點(diǎn)，且經(jīng)過兩條直線的交點(diǎn)，則直線l的方程為【答案】【分析】思路一：求出交點(diǎn)坐標(biāo)得直線斜率即可求解；思路二：設(shè)所求直線l的方程為，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入求得的值即可.【詳解】方法1：聯(lián)立，解得，所以兩直線的交點(diǎn)為，所以直線l的斜率為，則直線l的方程為；方法2：設(shè)所求直線l的方程為，因?yàn)橹本€l經(jīng)過原點(diǎn)，所以，解得；所以直線l的方程為.故答案為：.5．（24-25高二上·江蘇常州·期中）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線l：對(duì)稱，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系和中點(diǎn)在直線上可求，從而可求的值.【詳解】因?yàn)椋?，而的中點(diǎn)為，故，所以，所以，故答案為：.6．已知一束光線通過點(diǎn)，經(jīng)直線反射．如果反射光線通過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程是．【答案】【分析】先求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，從而得到反射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)，從而得到反射光線所在直線方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，故.由于反射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)和，所以反射光線所在直線的方程為，即.故答案為：.7．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線的方程為．(1)證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)到直線的距離；(2)當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大？最大距離是多少？【答案】(1)證明見解析，(2)，【分析】（1）將直線的方程整理得，令，解出即可定點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式即可求解；（2）由（1）可得直線過定點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，且最大距離，由兩點(diǎn)間的距離公式即可求最大距離，又由斜率公式即可求.【詳解】（1）將直線的方程整理得，令，解得所以直線恒過點(diǎn)．則定點(diǎn)到直線的距離為．（2）由（1）可得直線過定點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，且最大距離，即點(diǎn)到直線的最大距離為．此時(shí)，而直線的斜率，所以，解得．8．已知直線，點(diǎn).求:(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m'的方程;(3)直線l關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線l'的方程.【答案】(1).(2).(3)【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)和斜率列方程組來求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).（2）在直線上取一點(diǎn)，并求其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后結(jié)合直線與直線的交點(diǎn)來求得對(duì)稱直線的方程.（3）利用相關(guān)點(diǎn)代入法來求得對(duì)稱直線的方程.【詳解】（1）設(shè)，由已知條件得，解得所以.（2）在直線m上取一點(diǎn)，則關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M'必在直線m'上.設(shè)對(duì)稱點(diǎn)，則解得故.設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則由解得即.又因?yàn)閙'經(jīng)過點(diǎn)，所以由兩點(diǎn)式得直線m'的方程為.（3）設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€上，所以，即.題型八圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（含距離最值問題）解｜題｜技｜巧1、確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法（1）幾何法：它是利用圖形的幾何性質(zhì)，如圓的性質(zhì)等，直接求出圓的圓心和半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）待定系數(shù)法：由三個(gè)獨(dú)立條件得到三個(gè)方程，解方程組以得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)參數(shù)，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法（1）幾何法：利用圓心到該點(diǎn)的距離d與圓的半徑r比較.（2）代數(shù)法：直接利用下面的不等式判定.①(x0-a)2+(y0-b)2>r2，點(diǎn)在圓外；②(x0-a)2+(y0-b)2=r2，點(diǎn)在圓上；③(x0-a)2+(y0-b)2<r2，點(diǎn)在圓內(nèi).3、與圓有關(guān)的最值問題的求解策略（1）本題將最值轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度問題，從而使問題得以順利解決，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的強(qiáng)大作用.（2）涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.1．（24-25高二上·河南焦作·期中）圓的半徑為（

）A． B． C．5 D．13【答案】B【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算半徑即可.【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，其半徑為.故選：B2．（24-25高二下·河南南陽·期末）已知點(diǎn)，，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得圓心的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求得圓半徑，由此可確定圓的方程.【詳解】根據(jù)題意，以為直徑的圓的圓心為中點(diǎn)，半徑為，所以圓的方程為.故選：B.3．（24-25高二上·重慶渝中·期末）已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心C在直線上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，解得，故圓的方程為，故選：B4．（24-25高二上·福建福州·期中）已知點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．∪【答案】B【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓及點(diǎn)在圓外列不等式求參數(shù)范圍即可.【詳解】圓的方程可化為，則，可得，又點(diǎn)在圓外，則，可得，所以.故選：B5．（24-25高二上·廣東茂名·期中）若為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，利用圓的性質(zhì)即可得解.【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，且，所以的取值范圍為：.故選：C6．（24-25高二上·山東青島·月考）圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）A．+=4 B． C． D．【答案】C【分析】寫出已知圓的圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心坐標(biāo)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得答案．【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，設(shè)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得．所以，則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為．故選：C．7．（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心是，且過點(diǎn)；(2)圓心在軸上，半徑為5，且過點(diǎn)；(3)求過兩點(diǎn)和，圓心在軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用兩點(diǎn)距離公式可先求半徑，再寫標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）利用點(diǎn)的特征結(jié)合半徑可先求圓心坐標(biāo)，再寫標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（3）設(shè)圓心坐標(biāo)，利用到C、D距離相等計(jì)算求得圓心坐標(biāo)，再寫標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】（1）由題意可知：，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)圓心為，則，或，圓心為或，又，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（3）設(shè)圓心為，，，即，，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．題型九圓的一般方程（含動(dòng)點(diǎn)軌跡問題）解｜題｜技｜巧1、用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的選擇（1）如果已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.（2）如果已知條件和圓心或半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出參數(shù)D，E，F(xiàn).2、圓的軌跡方程（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟為：建系，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)，證明.建系時(shí)可根據(jù)題目中的條件，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，簡(jiǎn)化運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.（2）求解時(shí)，重視從不同視角詮釋求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的步驟，注意靈活運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì).（3）對(duì)于“雙動(dòng)點(diǎn)”問題，若已知一動(dòng)點(diǎn)在某條曲線上運(yùn)動(dòng)而求另一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，則通常用代入法.利用直接法求軌跡方程時(shí)，先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)幾何條件直接尋求x，y之間的關(guān)系式，化簡(jiǎn)得之.1．圓的圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】使用圓的一般方程的圓心公式.【詳解】使用圓的一般方程的圓心公式，其中，圓心坐標(biāo)為．故選：B.2．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)，的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圓心在，可設(shè)圓的一般方程為，然后代點(diǎn)求解即可.【詳解】解析：設(shè)所求圓的方程為，因?yàn)樵搱A過點(diǎn)，，所以解得，所以該圓的方程為.故選：A.3．（24-25高二上·重慶九龍坡·期末）已知平面直角系中，，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式代入運(yùn)算整理即可得解．【詳解】設(shè)，因?yàn)?，則，整理得.故選：B．4．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選題）已知表示圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓心坐標(biāo)為B．當(dāng)時(shí)，半徑C．圓心到直線的距離為D．當(dāng)時(shí)，圓面積為【答案】BC【分析】寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑，再結(jié)合各項(xiàng)的描述判斷正誤.【詳解】將方程配方化為，所以圓心為，半徑為，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，半徑為，B正確；圓心到直線的距離為，C正確；當(dāng)時(shí)，半徑為3，圓面積為，D錯(cuò)誤．故選：BC5．（25-26高二上·河南駐馬店·月考）若方程表示一個(gè)圓，則b的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)圓的一般方程，可得，結(jié)合圓的一般方程中，代入數(shù)據(jù)即可求解【詳解】由方程表示一個(gè)圓，所以，則，根據(jù)圓的一般方程需滿足，此處，代入可得，解得且，所以.故答案為：6．過三個(gè)點(diǎn)，，的圓的方程為．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法，建立方程組，解之即可求解.【詳解】設(shè)圓的一般方程為，則，解得，所以圓的方程為.故答案為：7．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，整理等量關(guān)系，代入圓的方程，可得答案.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)，，則由題意得，且，即，所以，即，所以線段的中點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：.題型十直線與圓的位置關(guān)系判斷及參數(shù)問題解｜題｜技｜巧直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法（1）幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．（2）代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷．（3）直線系法：若直線恒過定點(diǎn)，可通過判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點(diǎn)的直線系．1．（24-25高二上·浙江紹興·期末）已知直線，圓則直線與圓位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定【答案】B【分析】由直線方程可得直線過定點(diǎn)，證明點(diǎn)在圓內(nèi)，由此判斷結(jié)論.【詳解】由直線：，可知直線過定點(diǎn)，由圓：，可知圓心，半徑為，則，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，從而直線與圓相交.故選：B.2．（24-25高二上·海南?？凇て谀┮阎本€與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在圓上，直線與圓相切 B．點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓相交C．點(diǎn)在圓外，直線與圓相切 D．點(diǎn)在圓上，直線與圓相交【答案】A【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線的距離，即可判斷.【詳解】圓的圓心，半徑，又，所以點(diǎn)在圓上，圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.故選：A3．（24-25高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知圓，直線，則圓上到直線的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出與直線平行且與直線的距離為的直線的方程，判斷出圓與兩平行線間的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)與直線平行且與直線的距離為的直線的方程為，由平行線間的距離公式可得，解得或，圓的圓心為，半徑為，顯然直線過圓心，圓心到直線的距離為，所以，直線與圓相交，直線與圓相切，所以，圓上到直線的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：C.4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直線與圓相離，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑求解.【詳解】圓C的圓心為，半徑，到直線的距離，解得，又，所以.故選：B.5．（23-24高二下·湖南·期中）設(shè)A為直線上一點(diǎn)，P，Q分別在圓與圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化即可求解.【詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，，即，由對(duì)稱性可知，對(duì)于圓，圓心，半徑，，當(dāng)且僅當(dāng)A，C，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，由于，，則.故選A．6．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知點(diǎn)及圓：，若為上動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為．【答案】【分析】先判斷直線AB與圓相離，再根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為圓心到直線的距離與半徑的和求解即可.【詳解】由得直線AB的方程為，即．圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，圓心的坐標(biāo)為，半徑，則圓心到直線AB的距離，所以直線AB與圓相離，所以點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為．故答案為：7．（23-24高二下·云南曲靖·期末）過直線上一點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則的最小值為.【答案】4【分析】首先判斷直線與圓的位置關(guān)系，由切線性質(zhì)有，結(jié)合點(diǎn)線距離求的最小值即可;【詳解】由題知，圓心，半徑，圓心到直線的距離.因?yàn)闉橹苯侨切危?，所以，?dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4.故答案為：4.8．（24-25高二上·安徽合肥·期末）過動(dòng)點(diǎn)作圓的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最小值是.【答案】【分析】設(shè)的坐標(biāo)為，由題意結(jié)合圓的切線的幾何性質(zhì)推出在直線上，繼而將的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)的坐標(biāo)為，圓的圓心為，則.為圓的切線，則有，又由，則有，即，變形可得：，即在直線上，則的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，且，即的最小值是；故答案為：.題型十一直線與圓相交（含弦長(zhǎng)問題）解｜題｜技｜巧設(shè)直線l的方程為ax+by+c=0，圓O的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦長(zhǎng)的方法通常有以下兩種（1）幾何法：由圓的性質(zhì)知，過圓心O作l的垂線，垂足C為線段AB的中點(diǎn)，如圖所示.在Rt△OCB中，|BC|2=r2-d2，則弦長(zhǎng)|AB|=2|BC|=2r2（2）代數(shù)法：解方程組ax+by+c=0,(x-x0)2+(y-y0)2=r(1+11．直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)等于（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】先得出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，然后由點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)閳A即圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離，因此，弦長(zhǎng).故選：B.2．（24-25高二下·四川涼山·期末）若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心和半徑，再根據(jù)直線截圓弦長(zhǎng)公式求解參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)閳A，所以圓心為，半徑為.設(shè)圓心到直線距離為：.因?yàn)橹本€與圓截得的弦長(zhǎng)為.所以.解得：.故選：.3．（24-25高二下·四川瀘州·期末）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的面積為（

）A． B．5 C．4 D．2【答案】A【分析】由幾何法求出弦長(zhǎng)，再由面積公式計(jì)算．【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為，到直線的距離為，所以，所以，故選：A．4．（24-25高二上·天津·期中）已知圓O的方程是，則圓O中過點(diǎn)的最短弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出圓心，當(dāng)過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直徑垂直時(shí),與圓相交所得的弦長(zhǎng)最短，兩垂直直線的斜率乘積等于可求直線方程【詳解】，圓心為，圓心與連線所在直線斜率為：，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直徑垂直時(shí),與圓相交所得的弦長(zhǎng)最短.所以，最短弦所在的直線斜率滿足：，所以，由點(diǎn)斜式方程得，最短弦所在的直線為：，整理得：故選：B5．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)，若，則直線的方程為．【答案】或【分析】根據(jù)圓的半徑、弦長(zhǎng)可求出圓心到弦的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出直線的斜率，從而得到直線方程.【詳解】圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離為3，此直線與圓相切，因此直線的斜率存在．設(shè)直線的方程為，即，由，得圓心到直線的距離，于是，解得或，所以直線的方程為或．故答案為：或．6．（24-25高二上·陜西渭南·期中）已知斜率為1的直線與圓交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)，則直線的方程為．【答案】【分析】依題設(shè)直線方程為，代入圓的方程，化成關(guān)于的一元二次方程，計(jì)算判別式，設(shè)，寫出韋達(dá)定理，由題意推得，化簡(jiǎn)計(jì)算求得的值，即得直線的方程.【詳解】如圖，設(shè)直線的方程為，代入圓，可得，整理得：，由，則有（*）.設(shè)，由韋達(dá)定理得：，則，因以為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)，故,即，化簡(jiǎn)得：，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足（*）式，故直線的方程為：.故答案為：.7．（24-25高二上·浙江臺(tái)州·期中）在坐標(biāo)平面上有兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，利用兩點(diǎn)距離公式列方程求軌跡方程；（2）聯(lián)立直線與圓得一元二次方程，應(yīng)用判別式求參數(shù)k的范圍，根據(jù)已知及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列方程求參數(shù)值即可.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，平方并整理得，即；?）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立，得，所以，解得，，所以或，又，則.題型十二直線與圓相切（含切線問題）解｜題｜技｜巧1、求過某一點(diǎn)的圓的切線方程，首先判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以確定切線的條數(shù).（1）求過圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，則由垂直關(guān)系得切線斜率為-1k，由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.如果k=0或斜率不存在，則由圖形可直接得切線方程為y=y0或x=x0（2）求過圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程時(shí)，常用幾何方法求解：設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，進(jìn)而求出切線方程.但要注意，若求出的k值只有一個(gè)時(shí)，則另一條切線的斜率一定不存在，切線方程為x=x0.2、與圓的切線相關(guān)的結(jié)論（1）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．（2）過上一點(diǎn)的圓的切線方程為：（3）過外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則切點(diǎn)弦所在直線方程為：．（4）過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則過圓外一點(diǎn)的切線長(zhǎng)為1．（24-25高二下·河南·月考）已知直線與圓相切，則（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式并確定圓心和半徑，根據(jù)直線與圓相切及點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù).【詳解】由，則，所以圓心，半徑，，由題設(shè)，則.故選：A.2．（24-25高二下·上海閔行·期末）已知點(diǎn)在圓上，則過點(diǎn)M的圓C的切線方程為．【答案】【分析】先求得半徑，然后根據(jù)點(diǎn)斜式求得切線方程.【詳解】由于點(diǎn)在圓上，所以，所以圓，所以圓心，，所以過點(diǎn)M的圓C的切線的斜率為，所以過點(diǎn)M的圓C的切線方程為，化簡(jiǎn)得.故答案為：3．（24-25高二上·福建福州·期中）若一個(gè)圓的圓心為，且該圓與直線相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，過點(diǎn)作該圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為.【答案】【分析】①由點(diǎn)到直線的距離求出半徑，寫出圓的方程；②討論斜率是否存在，當(dāng)斜率不存在時(shí)切好相切求出切點(diǎn)，由圓切線的性質(zhì)可知兩切點(diǎn)連線與圓心和兩切線交點(diǎn)連線垂直，從而求出切點(diǎn)直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】①點(diǎn)到直線距離等于半徑，∴，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為②當(dāng)斜率不存在時(shí)，切線：，與圓相切與點(diǎn)；由圓的切線的性質(zhì)可知，，∴∴，即故答案為：①②4．（24-25高二下·安徽銅陵·月考）若直線：與曲線：有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題可知直線過定點(diǎn)，曲線表示以為圓心，半徑為1的圓的上半部分，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以先求出當(dāng)直線與圓相切時(shí)切線的斜率，再根據(jù)圖像可得斜率的取值范圍.【詳解】直線可化為所以直線過定點(diǎn)A.曲線可變形整理為由下圖所示：設(shè)直線與圓相切時(shí)的斜率為直線過點(diǎn)且與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的斜率為由圖可知，當(dāng)直線與曲線由兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，斜率滿足由圓心到直線的距離為解得所以故答案為：.5．（24-25高二上·重慶·期末）動(dòng)直線與動(dòng)直線相交于點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【詳解】由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，因?yàn)閮芍本€，始終垂直，點(diǎn)C是兩條直線的交點(diǎn)，所以有，所以點(diǎn)C的軌跡方程是，所求可以看成點(diǎn)C與點(diǎn)連線的斜率，如圖象，求出過M點(diǎn)的切線斜率即可，設(shè)切線為，即.根據(jù)相切的條件構(gòu)造方程，即,解得.可得最小值為．故答案為：.6．（24-25高二上·廣西欽州·期末）已知圓過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)作直線與圓相切，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓的方程為，帶入A、B點(diǎn)的坐標(biāo)以及將圓心帶入直線方程構(gòu)成方程組，解方程組可得答案；（2）分直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求得切線l的方程.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.7．（25-26高二上·四川內(nèi)江·開學(xué)考試）過點(diǎn)的圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求：(1)求切線的方程；(2)求切線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分切線斜率不存在和存在兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)切線長(zhǎng)的性質(zhì)可得，進(jìn)而結(jié)合圖形求解即可.【詳解】（1）由圓，則圓心為，半徑為3，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，此時(shí)圓心到切線方程為的距離為3，等于半徑，滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則，解得，則切線方程為，即.綜上所述，切線方程為或.（2）由切線的性質(zhì)，得，當(dāng)切線為時(shí)，此時(shí)切線與軸垂直，則.題型十三圓與圓的位置關(guān)系判斷及參數(shù)問題解｜題｜技｜巧判斷兩圓位置關(guān)系的方法有兩種：一是代數(shù)法，看方程組的解的個(gè)數(shù)，但往往較煩瑣；二是幾何法，看兩圓圓心距d，當(dāng)d=r1+r2時(shí)，兩圓外切，d=|r1-r2|時(shí)，兩圓內(nèi)切，d>r1+r2時(shí)，兩圓外離，d<|r1-r2|時(shí)，兩圓內(nèi)含，|r1-r2|<d<r1+r2時(shí)，兩圓相交.1．判斷下列兩個(gè)圓的位置關(guān)系：(1)與；(2)與．【答案】(1)外切(2)相交【分析】（1）求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，即可求解；（2）化簡(jiǎn)兩圓為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）解：由圓與，可得兩圓的圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為和，可得兩個(gè)圓的圓心距，所以，所以兩個(gè)圓外切．（2）解：將兩個(gè)圓的方程都化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，，則兩圓的圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為和，可得兩個(gè)圓的圓心距，因?yàn)?，所以兩個(gè)圓相交．2．（23-24高二下·黑龍江鶴崗·開學(xué)考試）圓心在直線上，且經(jīng)過兩圓和的交點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用圓系方程可求圓的方程.【詳解】由題可先設(shè)出圓系方程：，則圓心坐標(biāo)為；，又圓心在直線上，可得，解得，所以圓的方程為：，故A正確.故選：A.3．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知半徑為1的動(dòng)圓與圓相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（

）A．B．或C．D．或【答案】D【分析】先求出已知圓圓心和半徑，再根據(jù)圓和圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】由，圓心為，半徑為4，設(shè)動(dòng)圓圓心為，若動(dòng)圓與已知圓外切，則，即；若動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，則，即.綜上所述，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是或.故選：D.4．（24-25高二上·山東泰安·期末）已知圓與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩圓圓心距與半徑和差得關(guān)系即可求解；【詳解】由題意可得：，即：，解得：，且，所以的取值范圍為，故選：C5．（24-25高二上·湖南永州·月考）若存在實(shí)數(shù)使得與內(nèi)切，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先求出每個(gè)圓的圓心與半徑，再由兩圓的圓心距與兩個(gè)半徑之差相等，即即可求的結(jié)果.【詳解】將方程配方得：，則，半徑為1，由可得，半徑為，因與內(nèi)切，則有，由于，則得，解得，即的最小值為2.故選：B.題型十四公共弦與公切線問題解｜題｜技｜巧1、公切線兩圓公切線的條數(shù)位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示公切線條數(shù)4條3條2條1條無公切線2、公共弦（1）求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程，但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次項(xiàng)系數(shù)相同時(shí)，才能如此求解，否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù).（2）求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法：一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在直線的方程，再利用半徑長(zhǎng)、弦心距和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形求解.（3）已知圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，則過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).1．圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】計(jì)算圓心距，判斷兩圓位置關(guān)系后即可得公切線條數(shù).【詳解】圓的方程等價(jià)于，所以圓是以為圓心，為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，所以圓，圓的圓心距為，圓，圓半徑之和為，即圓心距等于兩半徑之和，因此兩圓外切，所以圓，圓有3條公切線．故選：C2．若圓與圓（a，）有且僅有一條公切線，則從點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】?jī)蓤A只有一條公切線可得兩圓內(nèi)切，，再利用圓的切線長(zhǎng)的公式可解.【詳解】由題，圓與圓內(nèi)切，所以，即，所以點(diǎn)，又圓的半徑為1，所以切線長(zhǎng)為，故選：C．3．（25-26高二上·全國(guó)·期中）（多選題）已知圓和圓，則（

）．A．圓的半徑為4B．y軸為圓與的公切線C．圓與公共弦所在的直線方程為D．圓與上共有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1【答案】BC【分析】對(duì)于A項(xiàng)，將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式即得；對(duì)于B項(xiàng)，判斷圓心到直線的距離等于圓的半徑即得；對(duì)于C項(xiàng)，只需將兩圓方程相減化簡(jiǎn)，即得公共弦直線方程；對(duì)于D項(xiàng)，需要結(jié)合圖像作出兩條和已知直線平行且距離等于1的直線，通過觀察分析即得.【詳解】對(duì)于A，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓的半徑為2，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，因?yàn)閳A心到y(tǒng)軸的距離為1，等于圓的半徑，所以圓與y軸相切，同理圓心到y(tǒng)軸的距離等于圓的半徑，所以圓與y軸相切，故y軸為圓與的公切線，故B正確．對(duì)于C，將與左右分別相減，得圓與的公共弦所在的直線方程為，故C正確．對(duì)于D，如圖，因?yàn)橹本€同時(shí)經(jīng)過兩圓的圓心，依題意可作兩條與該直線平行且距離為1的直線與，其中與和圓都相切，各有一個(gè)公共點(diǎn)，與和圓都相交，各有兩個(gè)交點(diǎn)，故圓與上共有6個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，故D錯(cuò)誤.故選：BC.4．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選題）已知圓和圓相交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．兩圓相交 B．直線的方程為C．兩圓有兩條公切線 D．線段的長(zhǎng)為【答案】ACD【分析】對(duì)于AC，由兩圓圓心距與兩圓半徑關(guān)系可得兩圓位置關(guān)系；對(duì)于B，兩圓方程相減可得直線的方程；對(duì)于D，由B分析可得到直線的距離，據(jù)此可得線段長(zhǎng)度.【詳解】對(duì)于AC，圓的圓心是，半徑為2；圓的圓心是，半徑為1，圓心距為，所以兩圓相交，公切線有兩條．故AC正確；對(duì)于B，將兩圓方程相減，整理得．故B不正確；對(duì)于D，點(diǎn)到直線的距離為，所以．故D正確.故選：ACD5．（24-25高二上·廣東·月考）已知圓，圓，則的公切線方程為．（寫出一條即可）【答案】，，（三個(gè)方程寫出一個(gè)即給滿分）【分析】據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到兩個(gè)圓的公切線的條數(shù)，然后結(jié)合圖像寫出公切線方程.【詳解】因?yàn)?，的半徑均?，則外切，結(jié)合圖像可知，的公切線方程為，，．故答案為：，，期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：120分鐘）1．（24-25高二上·湖北孝感·階段練習(xí)）過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為135°，則的值為（

）.A．或 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，列出等式求解即可．【詳解】由題知，直線的斜率存在，所以A點(diǎn)和B點(diǎn)的橫坐標(biāo)不一樣，即，則，所以，解得或，又，所以．故選：B．2．（24-25高二上·遼寧·期末）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．與有關(guān)【答案】A【分析】根據(jù)圓心在直線上，判斷得解.【詳解】由題可得，圓心為，又點(diǎn)滿足直線方程，即直線經(jīng)過圓心，所以直線與圓相交.故選：A.3．已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式、圓的弦長(zhǎng)公式列方程即可求解.【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，則由點(diǎn)到直線的距離公式可得，因?yàn)?，圓的半徑為，所以，解得.故選：D.4．已知直線，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先求兩直線平行時(shí)的取值，再判斷和時(shí)兩直線是否平行，從而確定條件類型.【詳解】直線，平行或重合的充要條件是，所以或．將代入直線，的方程，得，，易知；將代入直線，的方程，得，，直線，重合，故舍去．綜上所述，“”是“”的充要條件．故選：．5．（24-25高二上·遼寧遼陽·期末）已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，即，則，整理可得．故選：C.6．（24-25高二上·貴州貴陽·期末）已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，故的最小值為點(diǎn)到直線的距離故選：C7．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，則的值可能為（

）A．1 B．7 C．13 D．15【答案】B【分析】先確定在圓內(nèi)，再求出到圓心的距離，然后得到的取值范圍即可.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，又圓心，半徑為7，點(diǎn)到圓心的距離為，所以，即的取值范圍為，所以的值可能為7.故選：B.8．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知圓，直線，則圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的圓心和半徑，計(jì)算圓心到直線的距離并判斷直線和圓的位置關(guān)系，再結(jié)合半徑，判斷到直線的距離為1的兩條直線與圓的位置關(guān)系即可.【詳解】易知圓的圓心為，半徑為2，圓心到的距離，所以直線與圓相交，結(jié)合圓半徑為2，到直線的距離為1的直線有兩條，可得一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1.故選：C.9．（24-25高二下·海南?？凇ら_學(xué)考試）已知直線l經(jīng)點(diǎn)，若直線與線段相交，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出直線與直線的斜率，再結(jié)合直線與線段相交的條件，確定直線斜率的取值范圍.【詳解】已知，，根據(jù)過兩點(diǎn)直線斜率公式，可得：已知，，同理可得：當(dāng)直線繞點(diǎn)從位置旋轉(zhuǎn)到與軸重合時(shí)，斜率的范圍是；當(dāng)直線繞點(diǎn)從與軸重合旋轉(zhuǎn)到位置時(shí)，斜率的范圍是.所以直線斜率的取值范圍是.故選：B.

10．（24-25高二上·江蘇無錫·期中）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出直線所過的定點(diǎn)M，再根據(jù)直線與垂直時(shí)，弦最小，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意，圓，圓心的坐標(biāo)為，半徑，直線，即，恒過定點(diǎn)，又由圓的方程為，則點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦最小，此時(shí)，則的最小值為；故選：A11．由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，求得，由此可知時(shí)，取得最小值，由此即可求解.【詳解】由已知有：圓的圓心，半徑為，直線的一般方程為，設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為，則有，所以，所以取最小值時(shí)，取得最小值，因?yàn)橹本€上點(diǎn)到圓心的距離最小值為圓心到直線的距離，所以，故的最小值為.故選：B12．（24-25高二上·遼寧·期中）“”是“直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先分析曲的圖形，再結(jié)合直線與該曲線的位置關(guān)系，再判斷“”與“直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)”之間的條件關(guān)系.【詳解】曲線表示圓心，半徑為的圓的上半部分（包括與軸的交點(diǎn)），直線的斜率為1，在軸上的截距為，當(dāng)直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)該直線與曲線相切或有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：相切時(shí)，圓心到直線距離等于2，則，即或（舍去，因?yàn)楫?dāng)時(shí)與下半部分相切，不符合題意）.由圖象可知，有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，.于是，當(dāng)“”時(shí)，直線“與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)”，則充分性成立；當(dāng)直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，或，則必要性不成立.所以，“”是“直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A13．（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】先求出點(diǎn)的軌跡方程，再將轉(zhuǎn)化為的長(zhǎng)度，根據(jù)圖形求得共線時(shí)最小，求出最小值即可.【詳解】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)整理得，故的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，，設(shè)，則,所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C.

14．（25-26高二上·全國(guó)·期中）（多選題）已知直線，則下列說法正確的是（

）A．直線在軸上的截距為1 B．直線與直線之間的距離為C．直線的一個(gè)方向向量為 D．直線與直線垂直【答案】BD【分析】令可判斷A；利用平行線之間的距離公式可判斷B；求出直線的斜率可判斷C；由方程判斷兩直線的位置關(guān)系可判斷D．【詳解】對(duì)于A，令得，直線在軸上的截距為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線與直線平行，直線與直線之間的距離為，故B正確；對(duì)于C，直線的斜率為，以為方向向量的直線的斜率為3，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，故D正確．故選：BD.15．（多選題）已知直線過點(diǎn)，且直線與圓相切，則直線的方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】求出圓的圓心和半徑，再按直線的斜率是否存在分類，結(jié)合圓的切線性質(zhì)求解.【詳解】圓的圓心，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，點(diǎn)到直線的距離為1，不符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由直線與圓相切得：，解得或，所以直線的方程為：或.故選：AC16．（24-25高二上·湖北·期中）（多選題）已知圓，直線，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)或時(shí)，圓O上沒有點(diǎn)到直線l的距離等于1B．當(dāng)時(shí)，圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1C．當(dāng)時(shí)，圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1D．當(dāng)時(shí)，圓O上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1【答案】CD【分析】先求出圓心到到直線的距離，根據(jù)選項(xiàng)中參數(shù)的范圍求得的范圍，結(jié)合圖形，即可一一判斷.【詳解】由題設(shè)條件，圓的半徑為2，圓心到直線的距離為.對(duì)于A，當(dāng)或時(shí),，則，當(dāng)時(shí)，由圖1知，圓O上有一點(diǎn)到直線l的距離等于1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，D，當(dāng)時(shí)，，由圖2知，圓O上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，故B錯(cuò)誤，D正確；對(duì)于C，當(dāng)??時(shí)，??，由圖3知，圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，故C正確.故選：CD.17．（24-25高二上·山西·期末）（多選題）已知圓：與直線：，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則（

）A．直線與圓相離B．過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為C．D．從點(diǎn)向圓引切線，切線長(zhǎng)的最小值是【答案】ACD【分析】由圓心到直線的距離可判斷A；最短的弦長(zhǎng)為垂直與該直徑的弦長(zhǎng)可判斷B；當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則，可判斷C；當(dāng)時(shí)，切線長(zhǎng)最小，可判斷D．【詳解】A：圓，，圓心，半徑，圓心到直線的距離為，直線與圓相離，故A正確；B：設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，所以該直線被圓截得最短的弦長(zhǎng)為垂直與該直徑的弦長(zhǎng)，和圓心的距離為，最短弦長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則，的最小值是圓心到直線的距離減去半徑，即，故C正確；D：從點(diǎn)向圓引切線，當(dāng)時(shí)，切線長(zhǎng)最小，最小值是，故D正確.故選：ACD．18．（24-25高二上·北京大興·期中）已知，，三點(diǎn)共線，則．【答案】【分析】先確定直線斜率存在，然后根據(jù)三點(diǎn)共線可知，結(jié)合斜率的計(jì)算公式可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以直線斜率存在，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，解得，故答案為：.19．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知兩直線，，若，則與間的距離為．【答案】【分析】根據(jù)直線平行求得，進(jìn)而求兩平行線間距離.【詳解】已知兩直線，，若，則解得，則直線，則與間的距離為．故答案為：.20．（24-25高二下·上?！るA段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為.【答案】【分析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程，驗(yàn)證點(diǎn)在圓上，由切線垂直于圓心和切點(diǎn)直線，求出直線斜率后寫出直線方程.【詳解】，即，，∵，即點(diǎn)在圓上，設(shè)切線為，則，，∴，∴切線，即.故答案為：.21．（24-25高二上·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知，，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是．【答案】【分析】我們只要把看作動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的斜率，就可以結(jié)合圖象得到范圍.【詳解】當(dāng)點(diǎn)與重合，則，代入得，當(dāng)點(diǎn)與重合，則，代入得，我們把看作動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的斜率，再結(jié)合圖象：利用正切函數(shù)在銳角范圍內(nèi)是單調(diào)遞增，可知，故答案為：.22．（24-25高二下·湖南·期末）已知直線，圓，若直線與圓交于M，N