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文檔簡介

2025年高數(shù)多元函數(shù)題庫及答案

一、單項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.設(shè)函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2,則f(1,2)的值為A.3B.4C.5D.6答案:C2.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處可微,則下列說法正確的是A.f(x,y)在點(diǎn)P處連續(xù)B.f(x,y)在點(diǎn)P處偏導(dǎo)數(shù)存在C.A和B都正確D.A和B都不正確答案:C3.設(shè)函數(shù)f(x,y)=|x|+|y|,則f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)A.存在且為0B.存在且不為0C.不存在D.無法判斷答案:C4.函數(shù)f(x,y)=x^3-3xy^2在點(diǎn)(1,1)處的梯度為A.(0,0)B.(3,-6)C.(-3,6)D.(6,-3)答案:B5.設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有界,則下列說法正確的是A.f(x,y)在D上連續(xù)B.f(x,y)在D上可積C.A和B都正確D.A和B都不正確答案:D6.設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處取得極值,且在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在,則必有A.f_x(x_0,y_0)=0B.f_y(x_0,y_0)=0C.A和B都正確D.A和B都不正確答案:C7.函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在區(qū)域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的最大值為A.1B.0C.-1D.2答案:A8.設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù),則下列說法正確的是A.f(x,y)在D上可積B.f(x,y)在D上必有界C.A和B都正確D.A和B都不正確答案:C9.函數(shù)f(x,y)=x^2-y^2在點(diǎn)(1,1)處的方向?qū)?shù)為A.2B.-2C.0D.1答案:A10.設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上可微,則下列說法正確的是A.f(x,y)在D上連續(xù)B.f(x,y)在D上可積C.A和B都正確D.A和B都不正確答案:C二、多項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.設(shè)函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2,則下列說法正確的是A.f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)B.f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微C.f_x(0,0)=0D.f_y(0,0)=0答案:A,C,D2.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處可微,則下列說法正確的是A.f(x,y)在點(diǎn)P處連續(xù)B.f(x,y)在點(diǎn)P處偏導(dǎo)數(shù)存在C.f(x,y)在點(diǎn)P處方向?qū)?shù)存在D.A,B,C都正確答案:D3.設(shè)函數(shù)f(x,y)=|x|+|y|,則下列說法正確的是A.f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)B.f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在C.f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微D.A和B都正確答案:A,B4.函數(shù)f(x,y)=x^3-3xy^2在點(diǎn)(1,1)處的梯度為A.(0,0)B.(3,-6)C.(-3,6)D.(6,-3)答案:B5.設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有界,則下列說法正確的是A.f(x,y)在D上連續(xù)B.f(x,y)在D上可積C.f(x,y)在D上必有界D.A和B都正確答案:C6.設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處取得極值,且在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在,則必有A.f_x(x_0,y_0)=0B.f_y(x_0,y_0)=0C.A和B都正確D.A和B都不正確答案:C7.函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在區(qū)域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的最大值為A.1B.0C.-1D.2答案:A8.設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù),則下列說法正確的是A.f(x,y)在D上可積B.f(x,y)在D上必有界C.f(x,y)在D上連續(xù)D.A和B都正確答案:D9.函數(shù)f(x,y)=x^2-y^2在點(diǎn)(1,1)處的方向?qū)?shù)為A.2B.-2C.0D.1答案:A10.設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上可微,則下列說法正確的是A.f(x,y)在D上連續(xù)B.f(x,y)在D上可積C.f(x,y)在D上可微D.A,B,C都正確答案:D三、判斷題(每題2分,共10題)1.設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處可微,則f(x,y)在點(diǎn)P處連續(xù)。答案:正確2.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處偏導(dǎo)數(shù)存在,則f(x,y)在點(diǎn)P處可微。答案:錯(cuò)誤3.設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有界,則f(x,y)在D上連續(xù)。答案:錯(cuò)誤4.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處取得極值,且在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在,則f_x(x_0,y_0)=0且f_y(x_0,y_0)=0。答案:正確5.函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在區(qū)域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的最大值為1。答案:正確6.設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上可積。答案:正確7.函數(shù)f(x,y)=x^2-y^2在點(diǎn)(1,1)處的方向?qū)?shù)為2。答案:正確8.設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上可微,則f(x,y)在D上連續(xù)。答案:正確9.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處可微,則f(x,y)在點(diǎn)P處方向?qū)?shù)存在。答案:正確10.設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必有界。答案:正確四、簡答題(每題5分,共4題)1.簡述函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處可微的定義。答案:函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處可微,是指存在常數(shù)A和B,使得當(dāng)(x,y)趨近于(x_0,y_0)時(shí),f(x,y)的增量可以表示為f(x,y)-f(x_0,y_0)=A(x-x_0)+B(y-y_0)+o(√[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]),其中o(√[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2])表示高階無窮小。2.簡述函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處取得極值的必要條件。答案:函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處取得極值,且在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在,則必有f_x(x_0,y_0)=0且f_y(x_0,y_0)=0。3.簡述函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上可積的定義。答案:函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上可積,是指對(duì)于任意給定的ε>0,存在分割T,使得對(duì)于任意提純分割T',上和S(T',f)與下和s(T',f)之差小于ε。4.簡述函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處方向?qū)?shù)的定義。答案:函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x_0,y_0)處沿方向向量u=(a,b)的方向?qū)?shù),是指當(dāng)(x,y)從點(diǎn)P沿方向向量u趨近于點(diǎn)(x_0+at,y_0+bt)時(shí),f(x,y)的增量與距離t之比的極限,即lim_{t→0}[f(x_0+at,y_0+bt)-f(x_0,y_0)]/t。五、討論題(每題5分,共4題)1.討論函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在區(qū)域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的連續(xù)性和可微性。答案:函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在區(qū)域D上連續(xù),因?yàn)樗莾蓚€(gè)連續(xù)函數(shù)的和。在區(qū)域D的內(nèi)部,即當(dāng)x^2+y^2<1時(shí),函數(shù)f(x,y)可微,因?yàn)樗莾蓚€(gè)可微函數(shù)的和。在區(qū)域D的邊界上,即當(dāng)x^2+y^2=1時(shí),函數(shù)f(x,y)不連續(xù),因此也不可微。2.討論函數(shù)f(x,y)=|x|+|y|在區(qū)域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的連續(xù)性和可微性。答案:函數(shù)f(x,y)=|x|+|y|在區(qū)域D上連續(xù),因?yàn)樗莾蓚€(gè)連續(xù)函數(shù)的和。在區(qū)域D的內(nèi)部,即當(dāng)x^2+y^2<1時(shí),函數(shù)f(x,y)不可微,因?yàn)樵谠c(diǎn)處存在尖點(diǎn)。在區(qū)域D的邊界上,即當(dāng)x^2+y^2=1時(shí),函數(shù)f(x,y)不連續(xù),因此也不可微。3.討論函數(shù)f(x,y)=x^3-3xy^2在區(qū)域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的極值點(diǎn)。答案:函數(shù)f(x,y)=x^3-3xy^2在區(qū)域D上的極值點(diǎn)可以通過求解方程組f_x(x,y)=0和f_y(x,y)=0得到。解得極值點(diǎn)為(0,0)和(±1,0)。通過二階偏導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn),可以確定這些點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。4.

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