第37頁(yè)（共37頁(yè)）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之概率一．選擇題（共8小題）1．在投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中，當(dāng)正面向上的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)1或2時(shí)，我們稱這次試驗(yàn)成功，則在6次這樣的試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望為（）A．2 B．1 C．3 D．32．某店經(jīng)營(yíng)的某種包裝的面包質(zhì)量X（單位：g）服從正態(tài)分布N（200，σ2），且P（X＜205）＝0.85，則從該店中任意買一個(gè)這種包裝的面包，其質(zhì)量在195﹣205g之間的概率為（）A．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.53．袋子中放有大小、形狀相同的5個(gè)小球，其中標(biāo)號(hào)為“0”的小球?yàn)?個(gè)，標(biāo)號(hào)為“1”的小球2個(gè)，標(biāo)號(hào)為“2”的小球2個(gè)．從袋中任取兩個(gè)小球，已知其中一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是“1”的條件下，則另一個(gè)小球標(biāo)號(hào)也是“1”的概率為（）A．15 B．17 C．14 4．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，則兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和除以4的余數(shù)為3的概率為（）A．14 B．29 C．518 5．?dāng)S一顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是2或4的概率是（）A．16 B．13 C．12 6．拋一枚硬幣100次，有49次正面朝上，則事件“反面朝上”的概率和頻率分別是（）A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.517．兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立，則（）A．P（AB）＝P（A）+P（B） B．P（AB）＝P（A）P（B） C．P（A∪B）＝P（A）+P（B） D．P（A∪B）＝P（A）P（B）8．從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取3球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少一個(gè)紅球和都是紅球 B．至少一個(gè)黑球和都是紅球 C．至少一個(gè)黑球和至少一個(gè)紅球 D．恰有一個(gè)紅球和恰有一個(gè)黑球二．多選題（共4小題）（多選）9．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．某人射擊10次，擊中靶心8次，則他擊中靶心的頻率是0.8 B．某人射擊10次，擊中靶心7次，則他擊不中靶心的頻率是0.7 C．某人射擊10次，擊中靶心的頻率是12，則他應(yīng)擊中靶心5次D．某人射擊10次，擊中靶心的頻率是0.6，則他擊不中靶心4次（多選）10．下列說(shuō)法正確的是（）A．甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為13，14，則密碼被成功破譯的概率為B．一箱12罐的飲料中有2罐有獎(jiǎng)券，從中任意抽取2罐，這2罐中有獎(jiǎng)券的概率為1136C．一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，n個(gè)綠球，不放回地從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，若取出的兩球都是紅球的概率為16，則n＝5D．甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，相比3局2勝制，5局3勝制對(duì)甲更有利（多選）11．已知A，B分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，P（A）＞0，P（B）＞A．P(B．P（AB）≤P（B|A） C．若A，B獨(dú)立，則P（A|B）＝P（A） D．若A，B互斥，則P（A|B）+P（B|A）＝1（多選）12．下列說(shuō)法正確的是（）A．若P(AB)=49，P(A)=B．小付同學(xué)本學(xué)期參與了4次數(shù)學(xué)考試，則事件“至少有2次及格”與事件“只有一次及格”互為對(duì)立事件 C．高二年級(jí)準(zhǔn)備從18個(gè)班級(jí)中抽取2個(gè)班級(jí)參與“附中好詩(shī)詞”舞臺(tái)搭建，采取抽簽法和隨機(jī)數(shù)法兩種不同方法抽取時(shí)，每個(gè)班級(jí)被抽中的概率分別為P1、P2，則P1＝P2 D．若P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，則P（A∪B）＝0.7三．填空題（共4小題）13．已知在一次隨機(jī)試驗(yàn)E中，定義兩個(gè)隨機(jī)事件A，B，若P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，P（A∩B）＝0.1，則P（A∪B）＝．14．某學(xué)校新學(xué)期開設(shè)了豐富的社團(tuán)供新生選擇，高一年級(jí)甲同學(xué)對(duì)理科學(xué)社和十三月音樂(lè)社產(chǎn)生了濃厚的興趣．若甲加入理科學(xué)社的概率為0.7，加入十三月音樂(lè)社的概率為0.3，兩個(gè)都加入的概率為0.21，則甲只加入其中一個(gè)社團(tuán)的概率為．15．連擲一枚硬幣5次，則至少出現(xiàn)一次正面向上的概率為．16．已知隨機(jī)事件A，B，C，A與B相互獨(dú)立，B與C對(duì)立，且P（A）＝0.6，P（C）＝0.3，則P（AB）＝．四．解答題（共4小題）17．伯努利﹣歐拉的裝錯(cuò)信封問(wèn)題是一個(gè)十分有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題．現(xiàn)有a1，a2，a3，?，an共n個(gè)元素及b1，b2，b3，?，bn共n個(gè)位置，ak的對(duì)應(yīng)位置為bk(k∈N*，k≤n)，定義錯(cuò)排數(shù)F（n，m）（n∈N*，m∈N*）為將a1，a2，a3，?，an共n個(gè)元素排列在b1，b2，b3，?，bn共n個(gè)位置上，其中有m個(gè)元素不在其對(duì)應(yīng)位置上的情況數(shù)，例如F（1，1）＝0，F(xiàn)（2，2（1）計(jì)算：F（3，3），F(xiàn)（4，4）；（2）在概率論中常使用協(xié)方差來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)離散型隨機(jī)變量X，Y之間的總體偏差，定義協(xié)方差為Cov（X，Y）＝E{[X﹣E（X）]?[Y﹣E（Y）]}．當(dāng)n＝4時(shí)，記錯(cuò)排的元素個(gè)數(shù)為X，正確排列的元素個(gè)數(shù)為Y，求證：Cov（X，Y）＜0；（3）定義錯(cuò)排概率P（n，m）為隨機(jī)將a1，a2，a3，?，an共n個(gè)元素排列在b1，b2，b3，?，bn共n個(gè)位置上，其中恰有m個(gè)元素不在其對(duì)應(yīng)位置上的概率，證明：P(18．判斷下列各對(duì)事件是不是互斥事件，并說(shuō)明理由．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中：（1）“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；（2）“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；（3）“至少有1名男生”和“全是男生”；（4）“至少有1名男生”和“全是女生”．19．2025年，世界首屆人形機(jī)器人運(yùn)動(dòng)會(huì)在東京舉行．頂尖機(jī)器人競(jìng)技場(chǎng)面震撼，刷新人類對(duì)未來(lái)體育的認(rèn)知．現(xiàn)某高校一學(xué)生和智能機(jī)器人進(jìn)行一場(chǎng)“網(wǎng)球”比賽，規(guī)則如下：比賽采用三局兩勝制（率先獲得兩局比賽勝利者獲得最終的勝利且比賽結(jié)束），已知該同學(xué)第一局獲勝的概率為13，從第二局開始，如果上一局獲勝，則本局獲勝的概率為12；如果上一局失敗，則本局獲勝的概率為（1）該同學(xué)在以2：1獲得比賽勝利的條件下，求他連勝兩局的概率；（2）記整場(chǎng)比賽該同學(xué)的獲勝局?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．20．隨著人民生活水平的提高，人們對(duì)牛奶品質(zhì)要求越來(lái)越高．某牛奶企業(yè)針對(duì)生產(chǎn)的鮮奶和酸奶，在一地區(qū)進(jìn)行了質(zhì)量滿意調(diào)查．現(xiàn)從消費(fèi)者人群中隨機(jī)抽取500人作為樣本，得到表格（單位：人）．老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080（1）從樣本中任意取1人，求這個(gè)人恰好對(duì)生產(chǎn)的酸奶質(zhì)量滿意的概率；（2）試估計(jì)該地區(qū)青年人對(duì)酸奶滿意的概率；（3）依據(jù)表中三個(gè)年齡段的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪一個(gè)消費(fèi)群體對(duì)鮮奶的滿意度提升0.1，使得整體對(duì)鮮奶的滿意度提升最大？（直接寫出結(jié)果即可）注：本題中的滿意度是指消費(fèi)群體中滿意的人數(shù)與該消費(fèi)群體總?cè)藬?shù)的比值．

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之概率（2025年10月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案AABCBDBD二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案ACDACDBCAC一．選擇題（共8小題）1．在投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中，當(dāng)正面向上的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)1或2時(shí)，我們稱這次試驗(yàn)成功，則在6次這樣的試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望為（）A．2 B．1 C．3 D．3【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求解即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，X符合二項(xiàng)分布即X～所以E(故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2．某店經(jīng)營(yíng)的某種包裝的面包質(zhì)量X（單位：g）服從正態(tài)分布N（200，σ2），且P（X＜205）＝0.85，則從該店中任意買一個(gè)這種包裝的面包，其質(zhì)量在195﹣205g之間的概率為（）A．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.5【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可得P（X≥205）＝P（X≤195）＝0.15，即可求解195﹣205g之間的概率．【解答】解：某種包裝的面包質(zhì)量X服從正態(tài)分布N（200，σ2），且P（X＜205）＝0.85，則有P（X≥205）＝1﹣0.85＝0.15，由對(duì)稱性可得P（X≤195）＝0.15，則有P（195＜X＜205）＝1﹣P（X≥205）﹣P（X≤195）＝1﹣0.15﹣0.15＝0.7．所以其質(zhì)量在195﹣205g之間的概率為0.7．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．3．袋子中放有大小、形狀相同的5個(gè)小球，其中標(biāo)號(hào)為“0”的小球?yàn)?個(gè)，標(biāo)號(hào)為“1”的小球2個(gè)，標(biāo)號(hào)為“2”的小球2個(gè)．從袋中任取兩個(gè)小球，已知其中一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是“1”的條件下，則另一個(gè)小球標(biāo)號(hào)也是“1”的概率為（）A．15 B．17 C．14 【考點(diǎn)】求解條件概率．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】設(shè)事件后結(jié)合組合數(shù)求出概率，再利用條件概率公式求解即可．【解答】解：設(shè)取出的兩個(gè)小球中至少有一個(gè)標(biāo)號(hào)為“1”為事件A，取出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)都為“1”為事件B，則P(A)=所以已知其中一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是“1”的條件下，另一個(gè)小球標(biāo)號(hào)也是“1”的概率為：P(故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率，結(jié)合組合的應(yīng)用求解，屬于基礎(chǔ)題．4．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，則兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和除以4的余數(shù)為3的概率為（）A．14 B．29 C．518 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】分類討論；分類法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)樣本空間法，結(jié)合古典概型概率公式，即可求解．【解答】解：由條件可知，滿足條件的點(diǎn)數(shù)之和為3，7，11，點(diǎn)數(shù)之和為7的情況有（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），共6種情況，點(diǎn)數(shù)之和為3的情況有（1，2）和（2，1），共2種情況，點(diǎn)數(shù)之和為11的情況有（5，6），（6，5），共2種情況，所以滿足條件的概率P=故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．5．?dāng)S一顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是2或4的概率是（）A．16 B．13 C．12 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由等可能性結(jié)合題意可得．【解答】解：由題意，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是2和4的概率各為16所以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是2或4的概率是16故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型求概率公式，屬于基礎(chǔ)題．6．拋一枚硬幣100次，有49次正面朝上，則事件“反面朝上”的概率和頻率分別是（）A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.51【考點(diǎn)】頻率與概率．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)頻率和概率的定義即可求解．【解答】解：根據(jù)題意有51次反面朝上，故“反面朝上”的頻率為51100=0.51，“反面朝上”的概率為故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率和概率的定義，屬于基礎(chǔ)題．7．兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立，則（）A．P（AB）＝P（A）+P（B） B．P（AB）＝P（A）P（B） C．P（A∪B）＝P（A）+P（B） D．P（A∪B）＝P（A）P（B）【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)事件獨(dú)立的定義，即可得出答案．【解答】解：A：P（AB）＝P（A）P（B）＝P（A）+P（B），則P（A）[P（B）﹣1]＝P（B），而P（A），P（B）∈[0，1]，所以不成立；D：P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），P（AB）＝P（A）P（B），P（A∪B）＝P（A）P（B），所以P（A）+P（B）＝2P（A）P（B），若P（A）+P（B）＝2P（A）P（B）＝2c，所以x2﹣2cx+c＝0在[0，1]上有兩解，則Δ＝4c（c﹣1）≥0，c∈[0，1]，顯然不成立；根據(jù)事件獨(dú)立的定義，B項(xiàng)一定成立，而C項(xiàng)說(shuō)明兩事件互斥，故不可能獨(dú)立．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了獨(dú)立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．8．從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取3球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少一個(gè)紅球和都是紅球 B．至少一個(gè)黑球和都是紅球 C．至少一個(gè)黑球和至少一個(gè)紅球 D．恰有一個(gè)紅球和恰有一個(gè)黑球【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯思維．【答案】D【分析】由互斥事件及對(duì)立事件的定義進(jìn)行依次判斷．【解答】解：對(duì)于A，至少一個(gè)紅球和都是紅球不互斥，同時(shí)發(fā)生的情況是都是紅球，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，至少有一個(gè)黑球和都是紅球互斥并對(duì)立，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，至少一個(gè)黑球和至少一個(gè)紅球，當(dāng)一個(gè)黑球兩個(gè)紅球是可以同時(shí)發(fā)生，不互斥，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，恰有一個(gè)紅球和恰有一個(gè)黑球，因?yàn)橐粋€(gè)紅球兩個(gè)黑球和一個(gè)黑球兩個(gè)紅球不能同時(shí)發(fā)生，也可能都不發(fā)生，所以互斥但不對(duì)立，D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件和對(duì)立事件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．某人射擊10次，擊中靶心8次，則他擊中靶心的頻率是0.8 B．某人射擊10次，擊中靶心7次，則他擊不中靶心的頻率是0.7 C．某人射擊10次，擊中靶心的頻率是12，則他應(yīng)擊中靶心5次D．某人射擊10次，擊中靶心的頻率是0.6，則他擊不中靶心4次【考點(diǎn)】頻率與概率．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】利用頻率與頻數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可．【解答】解：某人射擊10次，擊中靶心8次，則他擊中靶心的頻率是810=0.8，故某人射擊10次，擊中靶心7次，則他擊不中靶心的頻率是10-710=0.3，故某人射擊10次，擊中靶心的頻率是12，則他應(yīng)擊中靶心10×12某人射擊10次，擊中靶心的頻率是0.6，則他擊不中靶心10×（1﹣0.6）＝4次，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率與概率，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．下列說(shuō)法正確的是（）A．甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為13，14，則密碼被成功破譯的概率為B．一箱12罐的飲料中有2罐有獎(jiǎng)券，從中任意抽取2罐，這2罐中有獎(jiǎng)券的概率為1136C．一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，n個(gè)綠球，不放回地從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，若取出的兩球都是紅球的概率為16，則n＝5D．甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，相比3局2勝制，5局3勝制對(duì)甲更有利【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式和對(duì)立事件概率公式求解即可判斷A；結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)古典概型概率公式求解判斷B；結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，根據(jù)古典概型概率公式列方程求解判斷C；分別計(jì)算采用“5局3勝制”和采用“3局2勝制”時(shí)甲獲勝的概率，比較大小即可判斷D．【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)楦魅四芷谱g的概率分別為13，1所以密碼被成功破譯的概率為P=1-(1-13對(duì)于B，依題意所求的概率為C21×對(duì)于C，由題意取出的兩球都是紅球的概率為4×3(4+解得n＝5或n＝﹣12（舍去），故C正確；對(duì)于D，采用“5局3勝制”甲獲勝的概率為P1采用“3局2勝制”甲獲勝的概率為P2因?yàn)镻1＝0.68256＞P2＝0.648，所以相比3局2勝制，5局3勝制對(duì)甲更有利，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、二項(xiàng)分布求概率、古典概型等，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．已知A，B分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，P（A）＞0，P（B）＞A．P(B．P（AB）≤P（B|A） C．若A，B獨(dú)立，則P（A|B）＝P（A） D．若A，B互斥，則P（A|B）+P（B|A）＝1【考點(diǎn)】條件概率乘法公式及應(yīng)用；互斥事件的概率加法公式；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】對(duì)A、B，根據(jù)條件概率的公式分析即可得；對(duì)C，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式分析即可得；對(duì)D，根據(jù)互斥事件概率公式分析即可得．【解答】解：對(duì)于A：P(B|對(duì)于B：由0＜P（A）≤1，故P(B|對(duì)于C：若A，B獨(dú)立，則P(A|對(duì)于D：若A，B互斥，則P（A|B）＝P（B|A）＝0，即P（A|B）+P（B|A）＝0，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、條件概率公式等，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．下列說(shuō)法正確的是（）A．若P(AB)=49，P(A)=B．小付同學(xué)本學(xué)期參與了4次數(shù)學(xué)考試，則事件“至少有2次及格”與事件“只有一次及格”互為對(duì)立事件 C．高二年級(jí)準(zhǔn)備從18個(gè)班級(jí)中抽取2個(gè)班級(jí)參與“附中好詩(shī)詞”舞臺(tái)搭建，采取抽簽法和隨機(jī)數(shù)法兩種不同方法抽取時(shí)，每個(gè)班級(jí)被抽中的概率分別為P1、P2，則P1＝P2 D．若P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，則P（A∪B）＝0.7【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】利用獨(dú)立事件的定義可判斷A選項(xiàng)；利用對(duì)立事件的定義可判斷B選項(xiàng)；利用隨機(jī)抽樣的公平性可判斷C選項(xiàng)；利用并事件的概率公式可判斷D選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于A，∵P(AB)=4∴P(A)=13∵P(AB)=49=∴事件A與事件B相互獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B，小付同學(xué)本學(xué)期參與了4次數(shù)學(xué)考試，則事件“至少有2次及格”包含的事件有“2次及格”、“3次及格”、“4次及格”，其對(duì)立的事件為“1次及格或4次全不及格”，∴事件“至少有2次及格”的對(duì)立事件為“至多有1次及格”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，高二年級(jí)準(zhǔn)備從18個(gè)班級(jí)中抽取2個(gè)班級(jí)參與“附中好詩(shī)詞”舞臺(tái)搭建，采取抽簽法和隨機(jī)數(shù)法兩種不同方法抽取時(shí)，每個(gè)班級(jí)被抽中的概率分別為P1、P2，則每個(gè)班級(jí)被抽中的概率相等，故P1＝P2，故C正確；對(duì)于D，若P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，則P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）＝0.7﹣P（A∩B）≤0.7，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立事件的定義、對(duì)立事件的定義、隨機(jī)抽樣的公平性、并事件的概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．已知在一次隨機(jī)試驗(yàn)E中，定義兩個(gè)隨機(jī)事件A，B，若P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，P（A∩B）＝0.1，則P（A∪B）＝0.6．【考點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】0.6．【分析】利用概率的基本性質(zhì)及事件的運(yùn)算求概率即可．【解答】解：已知P（A∩B）＝0.1，P（B）＝0.3，P（A）＝0.4，則P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）＝0.4+0.3﹣0.1＝0.6．故答案為：0.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查和事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．14．某學(xué)校新學(xué)期開設(shè)了豐富的社團(tuán)供新生選擇，高一年級(jí)甲同學(xué)對(duì)理科學(xué)社和十三月音樂(lè)社產(chǎn)生了濃厚的興趣．若甲加入理科學(xué)社的概率為0.7，加入十三月音樂(lè)社的概率為0.3，兩個(gè)都加入的概率為0.21，則甲只加入其中一個(gè)社團(tuán)的概率為0.58．【考點(diǎn)】并事件積事件的概率關(guān)系及計(jì)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】0.58．【分析】設(shè)事件甲加入理科學(xué)社為A，事件甲加入十三月音樂(lè)社為B，事件甲只加入其中一個(gè)社團(tuán)可表示為AB【解答】解：設(shè)事件甲加入理科學(xué)社為A，事件甲加入十三月音樂(lè)社為B，又甲加入理科學(xué)社的概率為0.7，加入十三月音樂(lè)社的概率為0.3，兩個(gè)都加入的概率為0.21，則P（A）＝0.7，P（B）＝0.3，P（AB）＝0.21，事件甲同時(shí)加入兩個(gè)社團(tuán)可表示為AB，事件甲只加入其中一個(gè)社團(tuán)可表示為AB且事件AB，A所以P(故答案為：0.58．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件概率加法公式，屬于基礎(chǔ)題．15．連擲一枚硬幣5次，則至少出現(xiàn)一次正面向上的概率為3132【考點(diǎn)】對(duì)立事件的概率關(guān)系及計(jì)算；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】3132【分析】由古典概型概率計(jì)算公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式即可求解．【解答】解：連擲一枚硬幣5次，則至少出現(xiàn)一次正面向上的概率為P=1-故答案為：3132【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)立事件相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．16．已知隨機(jī)事件A，B，C，A與B相互獨(dú)立，B與C對(duì)立，且P（A）＝0.6，P（C）＝0.3，則P（AB）＝0.42．【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】0.42．【分析】首先求出P（B），再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算可得．【解答】解：∵隨機(jī)事件A，B，C，A與B相互獨(dú)立，B與C對(duì)立，且P（A）＝0.6，P（C）＝0.3，∴P（B）＝1﹣P（C）＝1﹣0.3＝0.7，又A與B相互獨(dú)立且P（A）＝0.6，∴P（AB）＝P（A）P（B）＝0.6×0.7＝0.42．故答案為：0.42．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．伯努利﹣歐拉的裝錯(cuò)信封問(wèn)題是一個(gè)十分有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題．現(xiàn)有a1，a2，a3，?，an共n個(gè)元素及b1，b2，b3，?，bn共n個(gè)位置，ak的對(duì)應(yīng)位置為bk(k∈N*，k≤n)，定義錯(cuò)排數(shù)F（n，m）（n∈N*，m∈N*）為將a1，a2，a3，?，an共n個(gè)元素排列在b1，b2，b3，?，bn共n個(gè)位置上，其中有m個(gè)元素不在其對(duì)應(yīng)位置上的情況數(shù)，例如F（1，1）＝0，F(xiàn)（2，2（1）計(jì)算：F（3，3），F(xiàn)（4，4）；（2）在概率論中常使用協(xié)方差來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)離散型隨機(jī)變量X，Y之間的總體偏差，定義協(xié)方差為Cov（X，Y）＝E{[X﹣E（X）]?[Y﹣E（Y）]}．當(dāng)n＝4時(shí)，記錯(cuò)排的元素個(gè)數(shù)為X，正確排列的元素個(gè)數(shù)為Y，求證：Cov（X，Y）＜0；（3）定義錯(cuò)排概率P（n，m）為隨機(jī)將a1，a2，a3，?，an共n個(gè)元素排列在b1，b2，b3，?，bn共n個(gè)位置上，其中恰有m個(gè)元素不在其對(duì)應(yīng)位置上的概率，證明：P(【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）F（3，3）＝2，F(xiàn)（4，4）＝9；（2）由題意知當(dāng)n＝4時(shí)，X+Y＝4，X的所有可能取值為0，2，3，4．P(P(∴X的分布列為：X0234P124141338∴E(∴E（Y）＝E（4﹣X）＝4﹣E（X）＝4﹣3＝1，則Cov（X，Y）＝E{[X﹣E（X）]?[Y﹣E（Y）]}＝E[（X﹣3）（Y﹣1）]＝E[（X﹣3）（4﹣X﹣1）]＝E[（X﹣3）（3﹣X）]＝E（﹣X2+6X﹣9），由X的分布列可得隨機(jī)變量﹣X2+6X﹣9的分布列為：﹣X2+6X﹣9﹣9﹣10P1245813∴Cov(∴Cov（X，Y）＜0．（3）根據(jù)定義，P(先從n個(gè)元素中選出m個(gè)元素，再對(duì)它們進(jìn)行排列，并使它們均不排在對(duì)應(yīng)位置上，∴F(n，記F（m，m）＝Dm，則Dm＝（m﹣1）（Dm﹣1+Dm﹣2），且D0＝1，D1＝0，m≥2，得Dm+2＝（m+1）（Dm+1+Dm），則Dm+2﹣（m+2）Dm+1＝﹣[Dm+1﹣（m+1）Dm]，又D2﹣2D1＝1，∴{Dm+1﹣（m+1）Dm}是以1為首項(xiàng)，﹣1為公比的等比數(shù)列，∴Dm變形得Dm則當(dāng)m≥2時(shí)，Dm將上式累加得Dm經(jīng)檢驗(yàn)D0，D1也符合上式，所以F(∴P(【分析】（1）確定a1＝2的位置，再利用組合公式即可F（3，3），a1＝2可以排在b2，b3，b4上，再討論a2的位置即可得到F（4，4）；（2）首先分析得X的所有可能取值為0，2，3，4，再寫出其分布列，然后再計(jì)算E（X）＝3，E（Y），再計(jì)算得＝E[（X﹣3）（3﹣X）]＝E（﹣X2+6X﹣9），最后計(jì)算其期望值即可；（3）首先分析得P(n，m)=F(m，m)m!(n-m)!，記F（m，m）＝Dm，構(gòu)造得{【解答】解：（1）a1＝2可以排在b2，b3上，有C2當(dāng)a1＝2的位置確定后，剩下兩個(gè)元素a2，a3只有1種排法．∴F(3a1＝2可以排在b2，b3，b4上，有C3不妨設(shè)a1＝2排在b2上，接下來(lái)討論a2．當(dāng)a2排在b1上時(shí)，剩下兩個(gè)元素a3，a4的排法有F（2，2）＝1（種）．當(dāng)a2不排在b1上時(shí)，可以排在b3，b4上，有C2若a2排在b3上，剩下兩個(gè)元素a3，a4只有1種排法．∴（4，4）=C3（2）證明：由題意知當(dāng)n＝4時(shí)，X+Y＝4，X的所有可能取值為0，2，3，4．P(P(∴X的分布列為：X0234P124141338∴E(∴E（Y）＝E（4﹣X）＝4﹣E（X）＝4﹣3＝1，則Cov（X，Y）＝E{[X﹣E（X）]?[Y﹣E（Y）]}＝E[（X﹣3）（Y﹣1）]＝E[（X﹣3）（4﹣X﹣1）]＝E[（X﹣3）（3﹣X）]＝E（﹣X2+6X﹣9），由X的分布列可得隨機(jī)變量﹣X2+6X﹣9的分布列為：﹣X2+6X﹣9﹣9﹣10P1245813∴Cov(∴Cov（X，Y）＜0．（3）證明：根據(jù)定義，P(先從n個(gè)元素中選出m個(gè)元素，再對(duì)它們進(jìn)行排列，并使它們均不排在對(duì)應(yīng)位置上，∴F(n，記F（m，m）＝Dm，則Dm＝（m﹣1）（Dm﹣1+Dm﹣2），且D0＝1，D1＝0，m≥2，得Dm+2＝（m+1）（Dm+1+Dm），則Dm+2﹣（m+2）Dm+1＝﹣[Dm+1﹣（m+1）Dm]，又D2﹣2D1＝1，∴{Dm+1﹣（m+1）Dm}是以1為首項(xiàng)，﹣1為公比的等比數(shù)列，∴Dm變形得Dm則當(dāng)m≥2時(shí)，Dm將上式累加得Dm經(jīng)檢驗(yàn)D0，D1也符合上式，所以F(∴P(【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18．判斷下列各對(duì)事件是不是互斥事件，并說(shuō)明理由．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中：（1）“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；（2）“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；（3）“至少有1名男生”和“全是男生”；（4）“至少有1名男生”和“全是女生”．【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）是互斥事件；（2）不是互斥事件；（3）不是互斥事件；（4）是互斥事件．【分析】根據(jù)互斥事件的概念逐一判斷即可．【解答】解：（1）在所選2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是互斥事件．（2）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，而“至少有1名女生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”兩種結(jié)果，它們可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件．（3）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，這與“全是男生”可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件．（4）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，它與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是互斥事件．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件的概念，屬于基礎(chǔ)題．19．2025年，世界首屆人形機(jī)器人運(yùn)動(dòng)會(huì)在東京舉行．頂尖機(jī)器人競(jìng)技場(chǎng)面震撼，刷新人類對(duì)未來(lái)體育的認(rèn)知．現(xiàn)某高校一學(xué)生和智能機(jī)器人進(jìn)行一場(chǎng)“網(wǎng)球”比賽，規(guī)則如下：比賽采用三局兩勝制（率先獲得兩局比賽勝利者獲得最終的勝利且比賽結(jié)束），已知該同學(xué)第一局獲勝的概率為13，從第二局開始，如果上一局獲勝，則本局獲勝的概率為12；如果上一局失敗，則本局獲勝的概率為（1）該同學(xué)在以2：1獲得比賽勝利的條件下，求他連勝兩局的概率；（2）記整場(chǎng)比賽該同學(xué)的獲勝局?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）23（2）ξ的分布列為：ξ012P12524724數(shù)學(xué)期望：1924【分析】（1）設(shè)出事件，利用條件概率的公式可得答案；（2）求出ξ的取值，分別求解對(duì)應(yīng)的概率，利用期望公式可得答案．【解答】解：（1）設(shè)事件A＝“該同學(xué)以2：1獲得比賽勝利”，B＝“該同學(xué)連勝兩局”，所以P(P(則P(則該同學(xué)在以2：1獲得比賽勝利的條件下，連勝兩局獲勝的概率為23（2）由題意ξ的所有取值為0，1，2．則P(P(P(所以變量ξ的分布列為：ξ012P12524724則ξ的期望為E(【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求解，屬中檔題．20．隨著人民生活水平的提高，人們對(duì)牛奶品質(zhì)要求越來(lái)越高．某牛奶企業(yè)針對(duì)生產(chǎn)的鮮奶和酸奶，在一地區(qū)進(jìn)行了質(zhì)量滿意調(diào)查．現(xiàn)從消費(fèi)者人群中隨機(jī)抽取500人作為樣本，得到表格（單位：人）．老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080（1）從樣本中任意取1人，求這個(gè)人恰好對(duì)生產(chǎn)的酸奶質(zhì)量滿意的概率；（2）試估計(jì)該地區(qū)青年人對(duì)酸奶滿意的概率；（3）依據(jù)表中三個(gè)年齡段的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪一個(gè)消費(fèi)群體對(duì)鮮奶的滿意度提升0.1，使得整體對(duì)鮮奶的滿意度提升最大？（直接寫出結(jié)果即可）注：本題中的滿意度是指消費(fèi)群體中滿意的人數(shù)與該消費(fèi)群體總?cè)藬?shù)的比值．【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】計(jì)算題；集合思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）3750（2）分布列見(jiàn)解析，期望94（3）青年人．【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，計(jì)算滿意的概率；（2）由條件可知，X～（3）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合每類人對(duì)鮮奶的滿意度，即可作出判斷；（1）設(shè)這個(gè)人恰好對(duì)生產(chǎn)的酸奶滿意人數(shù)事件為A．【解答】解：（1）設(shè)這個(gè)人恰好對(duì)生產(chǎn)的酸奶滿意人數(shù)事件為A，樣本總?cè)藬?shù)為500人，其中對(duì)酸奶滿意人數(shù)為100+120+150＝370人，所以P(（2）用樣本頻率估計(jì)總體概率，青年人對(duì)酸奶滿意的概率p=150150+50=34，X的取值為0，1，P(P（X＝1）=CP(P(所以X的分布列為：X0123P16496427642764X的數(shù)學(xué)期望是E(（3）青年人青年人總體人數(shù)最多，對(duì)鮮奶的滿意度較低，所以鮮奶的滿意度提高0.1，則人數(shù)提高最多，則整體對(duì)鮮奶的滿意度會(huì)大幅提高．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的應(yīng)用，涉及計(jì)算與分析，屬于中等題．

考點(diǎn)卡片1．互斥事件與對(duì)立事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．互斥事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對(duì)立事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記做A．注：①兩個(gè)對(duì)立事件必是互斥事件，但兩個(gè)互斥事件不一定是對(duì)立事件；②在一次試驗(yàn)中，事件A與A只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對(duì)立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要但不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對(duì)知識(shí)點(diǎn)概念的掌握例1：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有一個(gè)紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”D．“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”分析：列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可解答：對(duì)于A：事件：“至少有一個(gè)紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，∴A不正確對(duì)于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴B不正確對(duì)于C：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴C不正確對(duì)于D：事件：“恰有一個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是互斥事件，又由從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，得到所有事件為“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”以及“恰有2個(gè)紅球”三種情況，故這兩個(gè)事件是不是對(duì)立事件，∴D正確故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件．首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡(jiǎn)單題．例2：下列說(shuō)法正確的是（）A．互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大D．事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率?。治觯焊鶕?jù)對(duì)立事件和互斥事件的概率，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個(gè)包含關(guān)系．解答：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件之間的關(guān)系，這是一個(gè)概念辨析問(wèn)題，這種題目不用運(yùn)算，只要理解兩個(gè)事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應(yīng)用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是13，則乙不輸?shù)母怕适欠治觯河洝皟扇讼鲁珊推濉睘槭录嗀，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P(A)=則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案為：5點(diǎn)評(píng)：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用．3．對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用例：若事件A與B是互為對(duì)立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據(jù)對(duì)立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因?yàn)閷?duì)立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．互斥事件的概率加法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】互斥事件的概率加法公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）3．對(duì)立事件的概率關(guān)系及計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)立事件的概率關(guān)系是P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣利用對(duì)立事件的公式計(jì)算對(duì)立事件的概率．【命題方向】﹣主要考察對(duì)立事件概率計(jì)算的問(wèn)題，適用于概率計(jì)算的補(bǔ)集部分．4．并事件積事件的概率關(guān)系及計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣并事件的概率：P(﹣積事件的概率：P(A∩【解題方法點(diǎn)撥】﹣應(yīng)用并事件的概率計(jì)算公式，注意去除重復(fù)計(jì)算部分．﹣對(duì)于積事件，檢查事件是否獨(dú)立來(lái)選擇合適的計(jì)算方法．【命題方向】﹣重點(diǎn)考察并事件和積事件的概率計(jì)算，涉及概率加法和乘法定理的應(yīng)用．5．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．6．頻率與概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率mn會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P（A7．概率的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】概率相關(guān)知識(shí)梳理：一、古典概型與互斥事件1．頻率與概率：頻率是事件發(fā)生的概率的估計(jì)值．2．古典概率計(jì)算公式：P（A）＝．集合的觀點(diǎn)：設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)構(gòu)成集合I，事件A包含的事件數(shù)構(gòu)成集合A，則．3．古典概型的特征：（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果只有一個(gè)基本事件出現(xiàn)；（2）試驗(yàn)結(jié)果具有有限性；（3）試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A，B稱為互斥事件．（2）互為事件概率計(jì)算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）對(duì)立事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件A，B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)事件發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件稱為對(duì)立事件．記作：B=A，由對(duì)立事件定義知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立必互斥，互斥未必對(duì)立．用集合的觀點(diǎn)分析對(duì)立事件與互斥事件：設(shè)兩個(gè)互斥事件A，B包含的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）設(shè)兩個(gè)對(duì)立事件A，A包含的所有結(jié)果構(gòu)成的集合為A，A，A∩A=?，A∪A=則注：若A1，A2，…，An任意兩個(gè)事件互斥，則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、幾何概型幾何概型定義：向平面有限區(qū)域（集合）G內(nèi)投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無(wú)關(guān)，我們就稱這種概型為幾何概型．幾何概型計(jì)算公式：幾何概型的特征：（1）試驗(yàn)的結(jié)果有無(wú)限個(gè)（無(wú)限性）；（2）試驗(yàn)的結(jié)果出現(xiàn)等可能性．注：幾何概型中的區(qū)域可以是長(zhǎng)度、面積、體積等．三、條件概率與獨(dú)立事件1．條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A，B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發(fā)生時(shí)事件B發(fā)生的條件概率，記為P（B|A）．2．把事件A，B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．3．條件概率計(jì)算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A）注：（1）事件A在“事件B發(fā)生的條件下”的概率與沒(méi)有事件B發(fā)生時(shí)的概率是不同的．（2）對(duì)于兩個(gè)事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率．此時(shí)事件A，B是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0?P（AB）＝故當(dāng)兩個(gè)事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨(dú)立，同時(shí)A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立．四、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布1．二項(xiàng)分布：（1）n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念：在相同的條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征：①每次試驗(yàn)的條件相同，某一事件發(fā)生的概率不變；②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，且每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果發(fā)生或不發(fā)生．（2）二項(xiàng)分步概率計(jì)算公式：一般地，在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為，若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)n，p的二項(xiàng)分布，記作：X～B（n，p）．2．超幾何分布超幾何分布定義：一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中含有的次品的個(gè)數(shù)，則，（k為非負(fù)整數(shù)），若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機(jī)變量X取某一個(gè)值的概率就是求這一事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的商．3．正態(tài)分布：（1）正態(tài)曲線：函數(shù)f（x）=12πσe-(x-μ（2）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．5、離散型隨機(jī)變量的方差；方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的EξDξ是隨機(jī)變量ξ的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根Dξ叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛．【解題方法點(diǎn)撥】概率和離散型隨機(jī)變量知識(shí)是新課標(biāo)高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查古典概率、幾何概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)等內(nèi)容，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)考查以選擇題、填空題為主．考查的內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，即掌握住基礎(chǔ)知識(shí)就能解決此類問(wèn)題．對(duì)于綜合性知識(shí)的考查主要是把概率、隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量的均值、方差等內(nèi)容綜合在一起解決實(shí)際問(wèn)題，多以大題的形式出現(xiàn)．題目的難度在中等以上水平，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解離散型隨機(jī)變量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二項(xiàng)分布、超幾何分布等），便于求出分布列，進(jìn)而求出均值與方差．利用均值、方差的含義去分析問(wèn)題，這也是新課標(biāo)高考命題的方向．【命題方向】題型一：概率的計(jì)算典例1：已知函數(shù)y=x（0≤x≤4）的值域?yàn)锳，不等式x2﹣x≤0的解集為B，若a是從集合A中任取的一個(gè)數(shù)，b是從集合B中任取一個(gè)數(shù)，則a＞bA．14B．13C．12解：由題意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則圍成的區(qū)域面積為2，使得a＞b的區(qū)域面積為2-12=故選D題型二：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差典例2：在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過(guò)程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是23（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）解：（I）設(shè)命中油罐的次數(shù)為X，則當(dāng)X＝0或X＝1時(shí)，油罐不能被引爆．P(P(∴油罐被引爆的概率（II）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5．P(P(P(P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）=1-(4因此，ξ的分布列為：ξ2345P4982742719∴Eξ8．相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)于相互獨(dú)立事件A和B，P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣應(yīng)用乘法公式計(jì)算獨(dú)立事件的聯(lián)合概率，確保事件的獨(dú)立性．【命題方向】﹣重點(diǎn)考察獨(dú)立事件的概率計(jì)算及獨(dú)立性證明．9．求解條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣條件概率：在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，記作P（A|B）．﹣計(jì)算：P(A|B)=P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算條件概率時(shí)，確定事件B的發(fā)生對(duì)事件A的影響，通過(guò)交事件的概率和條件事件的概率進(jìn)行計(jì)算．【命題方向】﹣主要考察條件概率的計(jì)算及其應(yīng)用問(wèn)題．10．條件概率乘法公式及應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣條件概率乘法公式：P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣使用條件概率乘法公式計(jì)算交事件的概率，適用于涉及條件概率的復(fù)合事件問(wèn)題．【命題方向】﹣涉及條件概率與交事件的計(jì)算，特別是在復(fù)雜事件的概率計(jì)算中應(yīng)用．11．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．12．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實(shí)數(shù)μ和（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：π和e，這是兩個(gè)無(wú)理數(shù)．③解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)．④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為12πσ，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）=12πσe（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值12（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個(gè)鄰域會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率．落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤．對(duì)正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）=18πA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.