2025年高三數(shù)學高考新題型探索模擬試題一、選擇題（共10小題，每題6分，共60分）垃圾分類數(shù)據(jù)統(tǒng)計某城市推行“四分類”垃圾處理模式，為評估實施效果，環(huán)保部門隨機抽取1000戶家庭進行調(diào)查，得到如下分層抽樣數(shù)據(jù)：|年齡段|18-30歲|31-50歲|51歲以上||----------|---------|---------|----------||樣本數(shù)量|200|500|300||分類合格率|85%|92%|78%|則該城市所有家庭的垃圾分類平均合格率約為（）A.85.6%B.87.4%C.89.2%D.90.5%反函數(shù)圖像分析函數(shù)$f(x)=\frac{2x+1}{x-1}(x\neq1)$的反函數(shù)圖像大致為（）（選項略，考查反函數(shù)定義域、值域及單調(diào)性，需結(jié)合原函數(shù)圖像變換分析）外賣配送路徑優(yōu)化某外賣騎手從配送站出發(fā)，沿直線距離5km的A小區(qū)送餐，再前往直線距離3km的B小區(qū)，最后返回配送站。若A、B兩小區(qū)的直線距離為4km，則騎手全程最短路徑長度為（）A.10kmB.12kmC.14kmD.16km貝葉斯定理應用某醫(yī)院使用新型試劑盒檢測新冠病毒，已知感染率為0.1%，試劑盒準確率為99%（即感染患者99%呈陽性，健康者99%呈陰性）。若某人檢測結(jié)果為陽性，其實際感染病毒的概率約為（）A.8.3%B.12.5%C.16.7%D.20.1%空間向量與立體幾何在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點E為棱$B_1C_1$的中點，則直線AE與平面$A_1BD$所成角的正弦值為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{6}}{6}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$數(shù)學文化：《九章算術(shù)》粟米問題《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有粟一斗，欲為糲米，問得幾何？”（粟米率：粟米50，糲米30）。若現(xiàn)有粟米12斗，按照此比率可換得糲米（）A.6.8斗B.7.2斗C.8.4斗D.9.6斗復雜函數(shù)單調(diào)性已知函數(shù)$f(x)=e^x\cosx-x$，則其在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的單調(diào)性為（）A.單調(diào)遞增B.先增后減C.單調(diào)遞減D.先減后增圓錐曲線與生活情境某拋物線形拱橋跨度為12米，拱頂距離水面4米。若一艘寬6米、高2米的游船通過該拱橋，則水面距離拱頂至少需（）A.0.5米B.1米C.1.5米D.2米多變量統(tǒng)計分析某電商平臺根據(jù)用戶“瀏覽時長”（x分鐘）和“下單金額”（y元）建立回歸模型，得到經(jīng)驗回歸方程$\hat{y}=12x+80$。若某用戶瀏覽時長增加10分鐘，則其下單金額的預測值增加（）A.120元B.200元C.280元D.320元開放探究：解題路徑選擇若存在實數(shù)$a$，使得函數(shù)$f(x)=x^3-ax^2+3x$在區(qū)間$[1,2]$上單調(diào)遞減，則$a$的取值范圍可以是（）A.$a\leq4$B.$a\geq5$C.$4<a<5$D.$a\geq6$（要求選擇兩個正確選項，并說明不同推導方法）二、填空題（共6小題，每題5分，共30分，其中13-14題為多空題）中國古代數(shù)學：割圓術(shù)劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓術(shù)”：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！比魣A內(nèi)接正n邊形邊長為$a_n$，半徑為R，則$a_{2n}=$______（用$a_n$和R表示）。概率分布與期望某射擊運動員每次射擊命中率為0.8，現(xiàn)進行5次獨立射擊，記命中次數(shù)為X，則$E(X)=$，$D(X)=$。多空題：函數(shù)與不等式已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0\\log_a(x+1),&x>0\end{cases}$，若$f(f(-1))=1$，則$a=$；若$f(x)$在R上單調(diào)遞增，則$a$的取值范圍是。多空題：立體幾何體積計算在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=AA_1=2$，則三棱錐$A_1-B_1BC$的體積為______；異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值為______。數(shù)學建模：人口增長預測某地區(qū)2020年人口為100萬，若人口年增長率為1.2%，且每年凈遷出1萬人，則2030年該地區(qū)人口約為______萬（精確到0.1）。開放探究：數(shù)列遞推關(guān)系已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+m$（m為常數(shù)），若${a_n}$為等比數(shù)列，則m=；若${a_n}$為等差數(shù)列，則m=。三、解答題（共6小題，共70分）17.數(shù)學建模：校園快遞柜優(yōu)化（10分）某高校在宿舍區(qū)設(shè)置智能快遞柜，現(xiàn)有A、B兩種型號：A型柜容量20件/天，造價800元；B型柜容量30件/天，造價1200元。若該區(qū)域每日快遞量約為150件，且A型柜數(shù)量不超過B型柜的2倍，求如何配置兩種柜子，使總造價最低？（要求：①建立數(shù)學模型；②用線性規(guī)劃方法求解；③討論快遞量波動對方案的影響）18.立體幾何與空間向量（12分）如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面ABCD為矩形，$PA\perp$平面ABCD，$AB=2$，$AD=3$，$PA=4$，點E為PD中點。（1）求證：$PB\parallel$平面AEC；（2）求二面角$E-AC-D$的余弦值；（3）若點F在線段PC上，且$AF\perpBE$，求PF的長度。19.概率統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析（12分）為研究學生“每日學習時長”與“考試成績”的關(guān)系，某學校隨機抽取50名學生進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：|學習時長（小時）|[4,6)|[6,8)|[8,10]||------------------|-------|-------|--------||人數(shù)|15|25|10||平均成績（分）|65|80|90|（1）計算該樣本的平均學習時長和平均成績；（2）若用分層抽樣從“[6,8)”組中抽取5人，再從這5人中隨機選2人，求至少1人成績不低于80分的概率；（3）建立“學習時長x”與“成績y”的線性回歸方程，并預測學習時長為9小時的學生成績。20.函數(shù)與導數(shù)綜合（12分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2-bx$（a,b∈R）。（1）若a=0，b=1，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若$f(x)$在x=0處取得極值，且曲線$y=f(x)$在點(1,f(1))處的切線斜率為e-1，求a,b的值；（3）當a=1時，討論$f(x)$的零點個數(shù)。21.圓錐曲線與創(chuàng)新應用（12分）某彗星運行軌跡為橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點F處。已知彗星近日點距離太陽8天文單位，遠日點距離為18天文單位。（1）求橢圓的標準方程；（2）若彗星在點P處的速度方向與PF垂直，且PF=10天文單位，求點P的坐標；（3）類比開普勒第二定律（行星與太陽連線掃過的面積相等），推導彗星運行的速度與到太陽距離的關(guān)系。22.開放探究題：跨模塊綜合（12分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$（n∈N*）。（1）求${a_n}$的通項公式；（2）若$b_n=a_n\cdot\sin\frac{n\pi}{2}$，求數(shù)列${b_n}$的前2025項和$S_{2025}$；（3）從以下兩個問題中任選一個作答：①證明：對任意n≥2，$a_n<\frac{2}{n+1}$；②若存在$k\inN*$，使得$a_k+a_{k+1}+\cdots+a_{k+5}\geq\frac{3}{2}$，求k的最小值。參考答案及評分標準（部分示例）一、選擇題B解析：平均合格率=$\frac{200×85%+500×92%+300×78%}{1000}=87.4%$A解析：設(shè)感染率P(A)=0.1%，陽性率P(B|A)=99%，P(B|$\overline{A}$)=1%，由貝葉斯公式得$P(A|B)=\frac{0.1%×99%}{0.1%×99%+99.9%×1%}\approx8.3%$二、填空題4，0.8解析：X~B(5,0.8)，$E(X)=5×0.8=4$，$D(X)=5×0.8×0.2=0.8$$\frac{4}{3}$，$\frac{\sqrt{10}}{10}$解析：（1）利用等體積法$V_{A_1-B_1BC}=V_{B-A_1B_1C}=\frac{1}{3}×S_{\triangleA_1B_1C}×BB_1=\frac{4}{3}$三、解答題（示例）數(shù)學建模設(shè)A型柜x個，B型柜y個，總