小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)競賽二進制專題講義3.4除法：同十進制，看被除數(shù)包含多少個除數(shù)規(guī)則：二進制除法與十進制邏輯一致，若被除數(shù)≥除數(shù)則商`1`，否則商`0`，余數(shù)繼續(xù)參與運算。示例：計算`1111÷101`（十進制`15÷5=3`）二進制`101`對應(yīng)十進制`5`，`15`包含`3`個`5`，因此商為`11`（二進制`3`）。四、奧數(shù)競賽中的二進制應(yīng)用4.1數(shù)字謎：二進制數(shù)的計數(shù)問題例題：一個二進制數(shù)，各位數(shù)字和為`3`（即有`3`個`1`），且位數(shù)不超過`5`，這樣的數(shù)有多少個？分析：二進制數(shù)首位不能為`0`，因此需分位數(shù)討論：3位：首位為`1`，剩余`2`位需全為`1`（共`3`個`1`），即`111`，共`1`個；4位：首位為`1`，剩余`3`位需選`2`個`1`（共`3`個`1`），組合數(shù)為`C(3,2)=3`（如`1110`、`1101`、`1011`）；5位：首位為`1`，剩余`4`位需選`2`個`1`，組合數(shù)為`C(4,2)=6`（如`____`、`____`等）；總數(shù)為`1+3+6=10`個。4.2邏輯推理：開關(guān)狀態(tài)問題例題：有`3`個開關(guān)，初始全關(guān)（狀態(tài)`000`，`0`為關(guān)，`1`為開）。每次操作可改變相鄰兩個開關(guān)的狀態(tài)（開變關(guān)，關(guān)變開），能否通過若干次操作使開關(guān)全為開（狀態(tài)`111`）？分析：每次操作改變`2`個開關(guān)的狀態(tài)（即`1`的個數(shù)變化為`0`或`2`，偶數(shù)變化）。初始狀態(tài)`000`的`1`個數(shù)為`0`（偶數(shù)），目標(biāo)狀態(tài)`111`的`1`個數(shù)為`3`（奇數(shù)）。由于“偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)”，無法從偶數(shù)變?yōu)槠鏀?shù)，因此不能實現(xiàn)全為開。4.3實際應(yīng)用：砝碼稱重問題例題：用`1克`、`2克`、`4克`、`8克`的砝碼（各1個），能稱出多少種不同的重量？分析：每個砝碼有“放”（`1`）或“不放”（`0`）兩種選擇，對應(yīng)二進制的`4`位（從`0001`到`1111`）?？偨M合數(shù)為`2?-1=15`（減去都不放的情況），因此能稱出`1~15克`共`15`種重量。總結(jié)與練習(xí)二進制的核心是“0和1的邏輯”與“位權(quán)的應(yīng)用”。掌握轉(zhuǎn)換、運算規(guī)則后，需結(jié)合競賽題型（數(shù)字謎、邏輯推理、實際應(yīng)用）強化訓(xùn)練。練習(xí)：1.將十進制`21`轉(zhuǎn)為二進制，將二進制`____`轉(zhuǎn)為十進制。2.計算二進制`1101+101`、`1001-110`。3.有`5`個開關(guān)（初始`____`），每次改變相鄰`3`個開關(guān)的狀態(tài)，能否變?yōu)閌____`？（提示：分析`1`的個數(shù)奇偶性）通過本講義的學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們能建立“二進制思維”，將其靈