專題03三角形中的倒角模型之雙角平分線和高線模型的四類綜合題型目錄典例詳解類型一、三角形中的倒角模型之雙內(nèi)角角平分線模型類型二、三角形中的倒角模型之一內(nèi)角一外角雙角平分線模型類型三、三角形中的倒角模型之雙外角角平分線模型類型四、三角形中的倒角模型之高線與角平分線分線模型壓軸專練典例詳解類型一、三角形中的倒角模型之雙內(nèi)角角平分線模型1)兩內(nèi)角平分線的夾角模型條件：如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BP，CP交于點(diǎn)P1結(jié)論：∠P=90證明：∵∠ABC和∠ACB的平分線BP,CP交于點(diǎn)P,∠PBC=12∴∠P=180°2)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型1條件:如圖2,BP、CP平分.∠ABC、∠DCB,兩條角平分線相交于點(diǎn)P;結(jié)論：2∠P=∠A+∠D,答案證明:∵BP、CP平分∠ABC、∠1DCB,∴∠PBC=12∴∠P=180°-∠PBC+∠PCB=183)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型2條件:如圖3,CP、DP平分∠BCD、∠CDE,兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°證明:∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE,∴∠PCD=12∴∠P=180°-(∠PCD+∠PDC=180°-例1.如圖,在VABC中,∠C=90°,AD與BE是VABC的兩條角平分線,AD與BE交于點(diǎn)O,求∠AOB【答案】135°【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC+∠ABC=90°,由角平分線的定義求出∠CAD=∠BAD=12∠BAC,∠CBE=∠ABE=1【詳解】解:②在VABC中,∠C=90°∠BAC+∠ABC=90°AD,BE是△ABC的兩條角平分線，∠CAD=∠BAD=12∠BAD+∠ABE=12∠AOB=180°【變式1-1】VABC的兩條角平分線BI、CI相交于點(diǎn)I.(1)如圖1:①若∠BAC=80°,求∠BIC的度數(shù);②若∠BAC=β,直接寫出∠BIC=°(用含β的式子表示);(2)如圖2,連接AI,AI平分∠BAC,作DE⊥AI分別交AB、AC于點(diǎn)D、E.你發(fā)現(xiàn)與∠BIC一定相等的角有；與∠DIB一定相等的角有.【答案】答案(1)①130°; ②90°(2)∠BDI,∠CEI;∠BCI,∠ACI【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理。(1)①先求出∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°,然后根據(jù)角平分線的定義求出∠CBI=12∠ABC,∠BCI=12∠ACB,②先求出∠ABC+∠ACB=180°-β,然后根據(jù)角平分線的定義求出∠CBI=12∠ABC,∠BCI=12∠ACB,求(2)根據(jù)角平分線定義得出∠DAI=∠EAI=12∠BAC,根據(jù)垂線定義得出∠AID=∠AIE=90°,根據(jù)解析(1)得出∠BIC=90°+12∠BAC,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠BDI=∠AID+∠DAI=90【詳解】(1)解:①②∠BAC=80°,?∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°,②BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,∠CBI=12∠CBI+∠BCI=12B∠BIC=180°-(∠CBI+∠BCI)=130°;②②∠BAC=β,B∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-β,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,∠CBI=12∠CBI+∠BCI=12②∠BIC=180°-(∠CBI+∠BCI)=180°=90°(2)解:AI平分∠BAC,∠DAI=∠EAI=12BAI⊥DE,B∠AID=∠AIE=90°,根據(jù)解析(1)可知，∠BIC=90°根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：∠BDI=∠AID+∠DAI=90°∠CEI=∠AIE+∠EAI=90°②∠BDI=∠CEI=∠BIC;根據(jù)解析(1)可知，∠AIB=90°CI平分∠ACB,∠BCI=∠ACI=12?∠AIB=∠DIB+∠AID=∠DIB+90°,∠DIB=12【變式1-2】模型認(rèn)識(shí)：我們學(xué)過(guò)三角形的內(nèi)角和等于180°,又知道角平分線可以把一個(gè)角分成大小相等的如圖①，在△ABC中,BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線.解決問(wèn)題：(1)若∠ABC=40°,∠ACB=80°,(2)若∠BAC=100°,求出∠BPC拓展延伸:(3)如圖②,在四邊形ABCD中,BP、CP分別是∠ABC和∠DCB的角平分線，直接寫出∠BPC與∠A+∠D的數(shù)量關(guān)系.【答案】1120【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC的度數(shù)；(2)根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC的度數(shù)：(3)根據(jù)角平分線的定義和四邊形內(nèi)角和定理可得∠BPC與∠A+∠D的數(shù)量關(guān)系.【詳解】(1)解:∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∠ABC=40°∴∠PBC=12∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°(2)∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠PBC=12∴∠BPC=180°∵∠BAC=100°(3)∵BP、CP分別是∠ABC和∠DCB的角平分線，∴∠PBC=12∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=18【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個(gè)解答思路求解是解題的關(guān)鍵.【變式1-3】“如圖①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D,求∠ADB的度數(shù).“小白在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠BAC取不同的數(shù)值時(shí)，∠ADB的大小并不改變，于是猜想三角形的兩個(gè)內(nèi)角的平分線的夾角和第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之間存在著某種數(shù)量關(guān)系，所以決定將其作為一個(gè)項(xiàng)目做進(jìn)一步探究.【項(xiàng)目模型】如圖②，直線MN與直線PQ相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合).連接AB,∠BAO和∠ABO的平分線交于點(diǎn)E,探究∠AEB與∠AOB的數(shù)量關(guān)系.【特例發(fā)現(xiàn)】如圖②,當(dāng)∠AOB=100°時(shí),∠AEB=度;當(dāng)∠AOB=70°時(shí),∠AEB=度.【規(guī)律探索】如圖②，當(dāng)∠AOB度數(shù)為α?xí)r，用含α的代數(shù)式表示∠AEB的大小，并寫出推導(dǎo)過(guò)程.【拓展應(yīng)用】如圖③,當(dāng)∠AOB=90°時(shí),∠PAB和∠MBA的平分線交于點(diǎn)F,∠FAB和∠FBA的角平分線交于點(diǎn)E.在點(diǎn)A和點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△ABE的三個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍時(shí)，直接寫出∠BAO的度數(shù).【答案】特例發(fā)現(xiàn):140:125;規(guī)律探索: ∠AEB=90°+1【分析】本題主要考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題，熟知三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.特例發(fā)現(xiàn)：先由三角形內(nèi)角和定理得到∠ABO+∠BAO的度數(shù)，再由角平分線的定義得到∠EAB=12∠BAO,∠EBA=規(guī)律探索：同特例發(fā)現(xiàn)中的方法求解即可；拓展應(yīng)用:由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABO+∠BAO=90°,則由平角的定義可得∠PAB+∠MBA=270°,再由角平分線的定義得到∠FAB+∠FBA=135°，則由三角形內(nèi)角和定理可得∠F=45°，則由規(guī)律探索的結(jié)論可得∠E=112.5°;再分∠E=3∠EAB,∠E=3∠EBA,∠EAB=3∠EBA和∠EBA=3∠EAB,四種情況根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EAB的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義求出∠PAB的度數(shù)即可得到答案.【詳解】解:特例發(fā)現(xiàn):當(dāng)∠AOB=100°時(shí),B∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°,?∠ABO+∠BAO=80°,B∠BAO和∠ABO的平分線交于點(diǎn)E,∠EAB=12∠EAB+∠EBA=12B∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=140°;當(dāng)∠AOB=70°時(shí),B∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°,H∠ABO+∠BAO=110°,?∠BAO和∠ABO的平分線交于點(diǎn)E,∠EAB=12∠EAB+∠EBA=12B∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=125°;規(guī)律探索：∠AEB=90°+?∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°,∠AOB=α,H∠ABO+∠BAO=180°-α,?∠BAO和∠ABO的平分線交于點(diǎn)E,∠EAB=12∠EAB+∠EBA=12∠AEB=180°拓展應(yīng)用:H∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°,∠AOB=90°,?∠ABO+∠BAO=90°,?∠PAB=180°-∠BAO,∠MBA=180°-∠ABO,B∠PAB+∠MBA=180°-∠BAO+180°-∠ABO=270°,②∠PAB和∠MBA的平分線交于點(diǎn)F,∠FAB=12∠FAB+∠FBA=12?∠F=180°-∠FAB-∠FBA=45°,②∠FAB和∠FBA的角平分線交于點(diǎn)E,∠E=90°當(dāng)∠E=3∠EAB時(shí),則∠EAB=37.5°,R∠FAB=2∠EAB=75°,?∠PAB=2∠FAB=150°,?∠BAO=180°-∠PAB=30°;當(dāng)∠E=3∠EBA時(shí),則∠EBA=37.5°,?∠EAB=180°-∠E-∠EBA=30°,①∠FAB=2∠EAB=60°,①∠PAB=2∠FAB=120°,?∠BAO=180°-∠PAB=60°;當(dāng)∠EAB=3∠EBA時(shí),B∠EAB+∠EBA+∠E=180°,∠EAB+13?∠EAB=50.625°,?∠FAB=2∠EAB=101.25°,?∠PAB=2∠FAB=202.5°,不符合題意;當(dāng)∠EBA=3∠EAB時(shí),Ⅲ∠EAB+∠EBA+∠E=180°,B∠EAB+3∠EAB+112.5=180°,?∠EAB=16.875°,B∠FAB=2∠EAB=33.75°,B∠PAB=2∠FAB=67.5°,?∠BAO=180°-∠PAB=112.5°,不符合題意;綜上所述,∠BAO的度數(shù)為30°或60°.類型二、三角形中的倒角模型之一內(nèi)角一外角雙角平分線模型1)一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型條件：如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)P:結(jié)論：∠P=12證明:∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD,∴∠PBC=12∴∠P=∠PCD-∠PBC=122)一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型(累計(jì)平分線)條件：如圖2，∠A=α,∠ABC,∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P1,∠P1BC,∠P1CD的平分線相交于點(diǎn)P2,∠P2BC,證明:∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD,∴∠PBC=12∴∠P1=∠P1例2.如圖,在VABC中,∠A=36°,BE、CE分別是∠ABC與∠ACD的角平分線，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，則【答案】18°【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義，根據(jù)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，得到∠ACD=∠ABC+∠A,由角平分線的定義可得∠CBE=12∠ABC,∠DCE=1【詳解】解：點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，∴∠ACD是VABC的一個(gè)外角,∴∠ACD=∠ABC+∠A,∵∠A=36°,BE、CE分別是∠ABC與∠ACD的角平分線,∴∠CBE=12∵∠DCE=∠CBE+∠E,∴∠E=∠DCE-∠CBE=12故答案為:18°.【變式2-1】問(wèn)題情境:如圖1,點(diǎn)D是△ABC外的一點(diǎn),點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE.試探究∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系.(1)特例探究：如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D=；如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A=100°，其余條件不變，則∠D=；這兩個(gè)圖中，與∠A度數(shù)的比是；(2)猜想證明：如圖1，△ABC為一般三角形，在(1)中獲得的∠D與∠A的關(guān)系是否還成立?若成立，利用圖1證明你的結(jié)論：若不成立，說(shuō)明理由.【答案】(1)30°:50°:1:2(2)成立,見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根據(jù)角平分線的定義得到∠ACE=2∠DCE,∠ABC=2∠DBC,然后整理即可.(2)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根據(jù)角平分線的定義得到∠ACE=2∠DCE,∠ABC=2∠DBC,然后整理即可.【詳解】答案(1)解:如圖2,∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60°,∠ACE=120°,QBD平分∠ABC,CD平分∠ACE.∴∠DBC=30°,∠DCE=60°,∵∠DCE=∠D+∠DBC,∴∠D=30°;如圖3,∵△ABC是等腰三角形,∠A=100°,∴∠ABC=∠ACB=40°,∠ACE=140°,QBD平分∠ABC,CD平分∠ACE,∴∠DBC=20°,∠DCE=70°,∵∠DCE=∠D+∠DBC,∴∠D=50°;故答案為30°,50°,1:2;(2)解:成立,如圖1,在△ABC中,∠ACE=∠A+∠ABC,在△DBC中,∠DCE=∠D+∠DBC,?(1)∵CD平分∠ACE,BD平分∠ABC,∴∠ACE=2∠DCE,∠ABC=2∠DBC,又∵∠ACE=∠A+∠ABC,∴2∠DCE=∠A+2∠DBC,?(2)由(1)×2-(2),∴2∠D+2∠DBC=(∠A+2∠DBC)=0,∴∠A=2∠D.【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、利用三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義解答是關(guān)鍵.【變式2-2】特例感知(1)如圖1,BP是∠ABC的平分線,CP是△ABC外角的角平分線.①若∠A=50°,則∠P=;②判斷∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.類比遷移(2)如圖2,∠A?CD是△A0BC的外角，∠A0BC的平分線與∠A?CD的平分線交于點(diǎn)A?，∠A?BC的平分線與∠A?CD的平分線交于點(diǎn).A2,L,∠An-1BC拓展應(yīng)用(3)如圖3,在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三等分線與∠ACD的三等分線交于點(diǎn)P.若∠A=α,∠B=βαβ),請(qǐng)直接寫出∠P【答案】答案(1)①25°;∠P=12∠A;(2)a22+;323α或23α+1【知識(shí)點(diǎn)】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理；(1)根據(jù)角平分線的定義得出∠DCP=12∠ACD,∠PBC=12∠ABC,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得(2)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1+∠AIBC,，根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=12∠ABC,∠A1cD=1(3)分情況討論，根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，列式計(jì)算即可；【詳解】解：CP平分∠ACD,∠DCP=12?BP平分∠ABC∠PBC=12∠ACD=∠A+∠ABC∠A=∠ACD-∠ABC=2∠DCP-∠PBC又?∠PCD=∠PBC+∠P∠P=∠PCD-∠PBC=12當(dāng)∠A=50°時(shí)，∠P=2故答案為：25°②∠P=12理由如下，BCP平分∠ACD,∠DCP=12BP平分∠ABC∠PBC=12∠ACD=∠A+∠ABC∠A=∠ACD-∠ABC=2∠DCP-∠PBC2又圖∠PCD=∠PBC+∠P∠P=∠PCD-∠PBC=122∵∠ACD是VABC的外角,∠A1CD是∴∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1,∴∠A1∴∠A1同理可得∠A2∵∠A0∴∠A2同理：∠A3∠A4-----∴∠An故答案為： a2n(3)如圖所示，∠A=α,∠B=βαβ)2∠ACD=α+β∠ABC的三等分線與∠ACD的三等分線交于點(diǎn)P∠DBP1∠BP1∠DBP2∠BP2∠DBP3∠BP3∠DBP4∠BP4綜上所述，23α或23α+13β或類型三、三角形中的倒角模型之雙外角角平分線模型1)兩外角平分線的夾角模型條件：如圖1，在△ABC中,BO,CO是△ABC的外角平分線：結(jié)論：∠O=90°證明:∵BO、CO平分∠CB、∠BCF,∴∠OBC=12∴∠O=180°-∠OBC+∠OCB2)旁心模型旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)條件：如圖2，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)D;結(jié)論:AD平分∠CAD。證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DM?BA、DN?AC、DH?BC,∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角，∴DH=DM,DH=DN,∴DM=DN,∴AD平分∠CAD,例3.如圖，已知△ABC,∠ABC的角平分線與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，∠ABC的外角角平分線與∠ACB的外角角平分線交于點(diǎn)E，則.∠A-∠D+∠E=_.【答案】90°/90度【知識(shí)點(diǎn)】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】該題主要考查了∠ABC角形內(nèi)角和定理，三角形角平分線以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意.根據(jù)角平分線得出∠1=∠2,∠3=∠4=∠7=∠8,∠5=∠6,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得∠A=2∠4=2∠2,∠D=∠4-∠2,再根據(jù)內(nèi)角和定理得出∠D+∠E=90°,即可求解.【詳解】解：②∠ABC的角平分線與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，∠ABC的外角角平分線與∠ACB的外角角平分線交于點(diǎn)E，?∠1=∠2,∠3=∠4=∠7=∠8,∠5=∠6,B∠3+∠4=∠1+∠2+∠A,∠4=∠D+∠2,?2∠4=2∠2+∠AH∠A=2∠4-2∠2,∠D=∠4-∠2,?∠1+∠2+∠5+∠6=180°,∠2+∠6+∠D+∠E=180°,?∠2+∠6=90°,?∠D+∠E=90°,②∠A-∠D+∠E=2∠4-2∠2=(∠4-∠2)+[90°=(∠4-∠2)]=90°故答案為:90°.【變式3-1】如圖,在VABC中,BD,CD分別是∠ABC,∠ACB的平分線,BP,CP分別是∠EBC,∠FCB的角平分線.(1)若∠A=30°,則∠BDC=°,∠BPC=°;(2)當(dāng)∠A變化時(shí)，∠D+∠P的值是否變化?請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】答案(1)105°,75°(2)不變，見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度【分析】本題考查了角平分線，三角形內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角等知識(shí)，熟練掌握角平分線，三角形內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角是解題的關(guān)鍵.(1)由題意得,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=150°,則.∠CBD+∠BCD=12∠BDC=180°-(∠CBD+∠BCD)=105°,∠CBE+∠BCF=180°-∠ABC+180°-∠ACB=210°,∠PBC+∠PCB=12(2)同理(1),∠ABC+∠ACB=180°-∠A,則∠CBD+∠BCD=90°∠D=180°-∠CBD+∠BCD=90°+12∠A,∠CBE+∠BCF=18【詳解】(1)解:BD,CD分別是∠ABC,∠ACB的平分線,BP,CP分別是∠EBC,∠FCB的角平分線,∠ABD=∠CBD=12∠PCB=∠PCF=12?∠A=30°,D∠ABC+∠ACB=180°-∠A=150°,∠CBD+∠BCD=12∠BDC=180°∠CBE+∠BCF=180°∠PBC+∠PCB=12∠BPC=180°故答案為：105°(2)解:當(dāng)∠A變化時(shí)，∠D+∠P的值不變，理由如下：同理(1),∠ABD=∠CBD=12∠ABC,∠ACD=∠BCD=1∠ABC+∠ACB=180°∠CBD+∠BCD=12∠D=180°∠CBE+∠BCF=180°-∠ABC+180∠PBC+∠PCB=12∠P=180°∠D+∠P=90°0當(dāng)∠A變化時(shí)，∠D+∠P的值不變?！咀兪?-2]如圖①,在VABC中,∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P.(1)若∠A=60°,則∠BPC的度數(shù)是;(2)如圖②,作VABC的外角∠MBC,∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q,試探索∠Q,∠A之間的數(shù)量關(guān)系.(3)如圖③，延長(zhǎng)線段BP，QC交于點(diǎn)E，試探索∠E，∠A之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)120°2∠Q=903∠E=1【知識(shí)點(diǎn)】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、三角形的外角的定義及性質(zhì)、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的三角形的角的計(jì)算，三角形的內(nèi)角和定理，外角定理等知識(shí).(1)先求出∠ABC+∠ACB=120°,進(jìn)而求出∠PBC+∠PCB=60°,即可求出∠BPC=120°;(2)先求出∠MBC+∠NCB=180°+∠A,進(jìn)而求出∠QBC+∠QCB=90°+12(3)延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，利用外角平分線和內(nèi)角平分線性質(zhì)即可證明∠E=12【詳解】(1)解:因∠A=60°,?∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°,?∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P,∠PBC=12∠PBC+∠PCB=12B∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)=120°.故答案為：120°(2)解:∵∠MBC=∠ACB+∠A,∠NCB=∠ABC+∠A,∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A,∵點(diǎn)Q是∠MBC和∠NCB的角平分線的交點(diǎn)，∴∠QBC=12∴∠QBC+∠QCB=12∴∠Q=180°(3)解:如圖③,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F,QCQ為VABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是VABC的外角∠ACF的角平分線，∴∠ACF=2∠ECF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBC,∵∠ECF=∠EBC+∠E,∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E,∵∠ACF=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠E即∠E=12類型四、三角形中的倒角模型之高線與角平分線分線模型1)條件：如圖1，在△ABC中,AD,AE分別是△ABC的高和角平分線，結(jié)論：∠DAE=122)條件:如圖2,F為△ABC的角平分線AE的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，F(xiàn)D⊥BC于D，結(jié)論：FD?BC∠DFA=121)答案證明:∵AE平分∠BAC,∴∠EAC=12∵∠BAC=180°∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°2)證明：如圖，過(guò)A作AAG?BC于G,由(2)可知:∠EAG=12∵AG⊥BC,∠AGB=90°,∵FD⊥BC,∴∠FDC=90°,∴∠AGD=∠FDC,∴FD∥AG,∴∠AFD=∠EAG,∴∠AFD=12例4.在VABC中, ∠A=40°,∠C=60(1)如圖1,若BE是VABC的高,則∠DBE的度數(shù)為.(2)如圖2,若BF是△ABD的角平分線，G是BF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作(GH?AC于點(diǎn)H，則∠G的度數(shù)為.【答案】 10°/10度 3【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，角平分線的定義，高線的定義，求出∠BAE是解本題的關(guān)鍵。(1)首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC=180°-∠A-∠C=80°,然后由角平分線概念得到∠ABD=∠CBD=(2)首先由角平分線的概念得到∠ABF=12∠ABD=20°,【詳解】解:②在VABC中,∠A=40°∠ABC=180°BD是VABC的角平分線,∠ABD=∠CBD=12∠BDE=∠A+∠ABD=80°,BE是VABC的高,?∠BED=90°①∠DBE=180°-∠BED-∠BDE=10°;(2)BF是△ABD的角平分線∠ABF=12?∠BFD=∠A+∠ABF=60°B∠HFG=∠BFD=60°GH⊥ACH∠GHF=90°?∠G=180°-∠GHF-∠HFG=30°.故答案為:10°;30°.【變式4-1】在VABC中,AE是邊BC上的高.(1)如圖1,若AD是邊BC上的中線,S△ABC=7.5cm(2)如圖2,若AD是VABC的角平分線,∠C=66°,∠B=38°時(shí),求∠DAE的度數(shù).【答案】(1)1.7cm(2)14°【知識(shí)點(diǎn)】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、根據(jù)三角形中線求長(zhǎng)度【分析】本題考查三角形的三線，三角形的面積公式，三角形的內(nèi)角和定理：(1)三角形的面積求出BC的長(zhǎng)，中線求出CD的長(zhǎng)，線段的和差關(guān)系求出CE的長(zhǎng)即可；(2)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，∠CAE的度數(shù)，角平分線求出∠CAD的度數(shù)，利用角的和差關(guān)系即可求出∠DAE的度數(shù).答案【詳解】(1)解:因AE是邊BC上的高,S△ABC=?AE=3cm,?BC=5cm,AD是邊BC上的中線，CD=12CE=CD-DE=1.7cm;(2)B∠C=66°,∠B=38°,?∠BAC=180°-∠C-∠B=76°,BAD是VABC的角平分線,∠CAD=12?AE是邊BC上的高,H∠CAE=90°-∠C=24°,B∠DAE=∠CAD-∠CAE=14°.【變式4-2】已知:在VABC中,∠C>∠B,AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E.(1)如圖①,AD⊥BC于點(diǎn)D,若∠C=60°,∠B=30°,求∠DAE的度數(shù);(2)如圖①,AD⊥BC于點(diǎn)D,若∠B=α,∠C=β,求∠DAE的度數(shù)(用含α,β的式子表示):(3)如圖②,在VABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,F是AE上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,E重合),過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G,且∠B=30°,∠C=80°,請(qǐng)你運(yùn)用(2)中的結(jié)論求出∠EFG的度數(shù);(4)在(3)的條件下，若點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上(如圖③)，其他條件不變，則∠EFG的度數(shù)會(huì)發(fā)生改變嗎?說(shuō)明理由.【答案】1∠DAE=15°【分析】(1)首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=180°-∠B-∠C，再結(jié)合角平分線的定義可知∠BAE=∠CAE=12∠BAC=90°-1(3)結(jié)合∠DAE=12∠C-∠B,(4)證明FG∥AD,由“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”可得∠EFG=∠EAD,即可獲得答案.【詳解】(1)解:∵在VABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE=12∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-∠C,∴∠DAE=∠CAE-∠DAC=90°當(dāng)∠C=60°,∠B=30°時(shí),∠DAE=(60°-30°)=15°;(2)由(1)可知,∠DAE=12∠C-∠B,∴當(dāng)∠B=α,∠C=β時(shí),3∵∠DAE=12∠C-∠B,而(4)∠EFG的度數(shù)大小不發(fā)生改變.理由如下：∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴FG∥AD,∴∠EFG=∠EAD=25°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形兩銳角互余、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、垂直的定義等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.壓軸專練一、單選題1.如圖, AC‖BE, AP、BP分別是∠CAB、∠ABE的角平分線,則∠P=()A.60° B.80° C.90° D.100°【答案】答案C【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAB+∠ABE=180°，根據(jù)根據(jù)角平分線的概念得到∠BAP=12∠CAB,∠ABP=【詳解】AC‖BE②∠CAB+∠ABE=180°②AP、BP分別是∠CAB、∠ABE的角平分線∠BAP=12∠BAP+∠ABP=12H∠P=180°-(∠BAP+∠ABP)=90°.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的概念，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).2.如圖,在VABC中,∠ABC=∠ACB,∠ABC的角平分線和∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)P;若∠ACB=65°,則∠BPC的度數(shù)為()A.25° B.50° C.65° D.70°【答案】答案A【分析】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，角平分線的相關(guān)計(jì)算，由角平分線的定義得到∠PBC=12∠ABC,∠ACP=∠DCP=【詳解】解：如圖，∵∠ABC的角平分線和∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)P，∴∠PBC=12∵∠ABC=∠ACB,∴∠PBC=12∵∠DCP是△BCP的外角,∴∠BPC=∠DCP-∠PBC=57.5°-32.5°=25°,故選:A.3.如圖,∠ABD,∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P,若∠A=50°,∠D=10°,則.∠P的度數(shù)為()A.15° B.20° C.25° D.30°【答案】B【分析】延長(zhǎng)DC，交AB于點(diǎn)E，先利用三角形的外角性質(zhì)可得∠ACD-∠ABD=60°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ABP=12∠ABD,∠ACP=1【詳解】解:如圖,延長(zhǎng)DC,交AB于點(diǎn)E.B∠ACD是△ACE的外角,∠A=50°,B∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC.①∠AEC是VBDE的外角,∠D=10°,答案?∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°,?∠ACD=50°+∠ABD+10°=60°+∠ABD,∴∠ACD=∠ABD=60°.B∠ABD,∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P,∴∠ABP=12設(shè)AC與BP相交于O,則∠AOB=∠POC,∵∠P+∠ACP+∠POC=180°=∠A+∠ABP+∠AOB,∴∠P=∠A+∠ABP-∠ACP=50°=50°=50°=20°,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形的外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4.如圖,已知AB∥CD,點(diǎn)E為AB上方一點(diǎn),FB、HG分別為∠EFG,∠EHD的角平分線,若∠E+2∠G=135°,則∠EFG的度數(shù)為()A.85° B.90° C.95° D.100°【答案】答案B【分析】如圖,過(guò)G作GM∥AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可推導(dǎo)出∠FGH=∠2+∠4,∠ENB=∠EHD,再根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)推導(dǎo)出∠E+2∠2+∠2=∠E=135°，則∠2=45°，進(jìn)而求解即可.【詳解】解:如圖,過(guò)G作GM∥AB,則∠2=∠5,AB∥CD,MG∥CD,∠ENB=∠EHD,2∠6=∠4,B∠FGH=∠5+∠6=∠2+∠4,BFB、HG分別為∠EFG,∠EHD的角平分線,∠1=∠2=12B∠E+2∠FGH=135°,B∠E+2(∠2+∠4)=∠E+2∠2+∠EHD=135°,即∠E+2∠2+∠ENB=135°,①∠1=∠ENB+∠E,D∠ENB=∠1-∠E=∠2-∠E,D∠E+2∠2+∠2-∠E=135°,則∠2=45°,B∠EFG=2∠2=90°,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，添加平行線，利用平行線的性質(zhì)探究角之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵。5.如圖,在VABC中,∠ABC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)D,且∠EBC=25∠ABC,∠ECB=A.5?E4?D180? B.5?D4?E180?C.5?E4?D90? D.5?D4?E90?【答案】A【分析】本題考查了角平分線定義，三角形內(nèi)角和，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵；由角平分線定義及三角形內(nèi)角和得∠D=90°+12∠A,再由∠EBC=25∠ABC,∠ECB=2【詳解】解:QBD、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∠ACB∴∠DBC=12∴∠DBC+∠DCB=12∴∠D=180°∵∠EBC=25\?EBC?ECB25\?E180?(?EBC?ECB)=3580+2∵?D90?12\?A22D180?,λ?E3580+252?D180?1整理得:5?E4?D180?.故選:D.二、填空題6.如圖,點(diǎn)P是VABC的外角∠CBE和∠BCF的角平分線的交點(diǎn),若∠A=58°,則.∠P=_【答案】61°/61【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和公式可得∠ACB+∠ABC=122°，再根據(jù)角平分線定義可得∠PBC+∠PCB=12∠EBC+∠FCB【詳解】∵∠A=58°,又∠ACB+∠A+∠ABC=180°,∴∠ACB+∠ABC=180°-58°=122°,∴∠EBC+∠FCB=360°-(∠ACB+∠ABC)=238°,又BP,CP分別是外角∠CBE和∠BCF的角平分線,∴∠PBC+∠PCB=12∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=61°;故答案為:61°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；三角形的內(nèi)角和是180度，求角的度數(shù)常常要用到三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件.7.如圖,OC是VABC的角平分線,P是線段AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PQ⊥OC于點(diǎn)Q,當(dāng)∠ABC-∠BAC=42°時(shí),∠APQ的度數(shù)為【答案】21【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及垂直的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:設(shè)∠BAC=x°,則∠ABC=(x+42)°,∴∠ACB=180°-x°-(x+42)°=(138-2x)°,∵OC平分∠ACB,∴∠ACO=12∴∠POQ=∠A+∠ACO=69°,∵PQ⊥OC,∴∠PQO=90°,∴∠APQ=90°-69°=21°,故答案為：21.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及垂直的定義是解題的關(guān)鍵.8.如圖，AB∥DE，∠ABC的角平分線BP和∠CDE的角平分線DK的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，且2∠C+72°=∠P,則∠C=_?！敬鸢浮看鸢?2【分析】延長(zhǎng)KP交AB于點(diǎn)Q，令BC與PK相交于點(diǎn)F，由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，得出∠ABP=∠DBP,∠BQK=∠EDK=∠CDK,再利用三角形外角的性質(zhì),推出∠BPF=∠C+(180°-∠BPF),進(jìn)而得到∠BPF=12∠C+9【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)KP交AB于點(diǎn)Q，令BC與PK相交于點(diǎn)F，∵AB∥DE,∴∠BQK=∠EDK,∵BP平分∠ABC,DK平分∠CDE,∴∠ABP=∠DBP,∠EDK=∠CDK,∴∠BQK=∠EDK=∠CDK,∵∠BPF是VBPQ的外角,∠CDK是VCDF的外角.∴∠BPF=∠PBQ+∠BQK,∠CDK=∠C+∠CFK,∴∠BPF=∠PBD+∠C+∠CFK=∠PBD+∠C+∠BFP=∠C+(180°-∠BPF),∴∠BPF=12∵2∠C+72°∴12∴∠C=12°故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.9.如圖,在VABC中,延長(zhǎng)BC到D,∠ABC、∠ACD的角平分線相交于點(diǎn)A1點(diǎn).∠A1BC與∠A1CD的外角平分線交于點(diǎn)A2,∠A2BC與∠A2CD的外角平分線交于點(diǎn)A3,依次類推，【答案】m2n【分析】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、角平分線的相關(guān)計(jì)算等知識(shí)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠A=∠ACD-∠ABC,∠A1=∠A1CD-∠A1BC,由角平分線的性質(zhì)得到∠【詳解】解：∠ACD是VABC的外角,∠A=∠ACD-∠ABC,∠A1CD1是△∠A1BA1平分∠ABC,CA1平分∠A1∠A1同理可得：∠A2----∠An故答案為：m2n10.如圖,在VABC中,∠A=20°,∠EBC,∠DCB為VABC的外角,∠EBC與∠DCB的平分線交于點(diǎn)A?，∠EBA1與∠DCA1的平分線交于點(diǎn)A21∠A1的度數(shù)為(2)若得到點(diǎn)An后，再依此規(guī)律作角平分線，兩條角平分線無(wú)交點(diǎn)，則n的值為.【答案】 80° 答案3【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,可以得到∠1+∠2=180°-20°=16(2)根據(jù)A2B,A2C是角平分線，可以得到∠5+∠6=100÷2=50°,進(jìn)而可以求得∠A【詳解】解：(1)由圖可得：B∠A=20°,?∠1+∠2=180°-20°=160°,②∠EBC+∠DCB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-160°=200°,②A?B,A?C是角平分線,2∠3+∠4=200÷2=100°,②∠A?=180°-100°=80°;(2)圖A2B,AB∠5+∠6=100÷2=50°,?∠A?BC+∠A?CB=100°+50°=150°,∠A2同理可得∠7+∠8=50÷2=25°,∠A3則∠A3此時(shí)若再作出∠A4,則可類比上述過(guò)程得到∠A,BC+∠A,CB=175°+12.5°=187.5°,無(wú)法組成三角形,故n=3;故答案為:80°;3.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，找到各個(gè)角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.三、解答題11.如圖,在VABC中,AD是高,AE,BF是角平分線,它們相交于點(diǎn)O,∠C=70°.(1)∠AOB的度數(shù)為.(2)若∠ABC=50°,求∠DAE的度數(shù).【答案】答案(1)125°(2)10°【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和為180度是解題的關(guān)鍵.(1)先由三角形內(nèi)角和為180度求出∠CBA+∠CAB=110°,再由角平分線的定義推出∠OBA+∠OAB=55°,則由三角形內(nèi)角和定理可得∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=125°.(2)先求出∠BAC=60°，再由角平分線的定義得到∠CAE=12∠BAC=30【詳解】(1)解:?在VABC中,∠C=70°,B∠CBA+∠CAB=180°-∠C=110°,圓AE，BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠OBA=12∠OBA+∠OAB=12?∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=125°,故答案為：125°(2)解:?在VABC中,∠C=70°,∠ABC=50°,②∠BAC=180°-∠ABC-∠C=60°,?AE平分∠BAC,∠CAE=12AD是高,即AD⊥BC,②∠DAC=90°-∠C=20°,B∠DAE=∠CAE-∠DAC=10°.12.如圖,在VABC中,AD是VABC的角平分線,P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PE⊥AD交直線BC于點(diǎn)E.(1)若∠B=30°,∠ACB=80°,求∠E的度數(shù);(2)當(dāng)P點(diǎn)在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若∠E是銳角，請(qǐng)對(duì)∠E=12∠ACB-∠B【答案】(1)∠E=25°(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠BAC=70°，然后根據(jù)角平分線的定義得到∠DAC=35°，然后利用直角三角形的兩銳角互余解題：(2)設(shè)∠B=π°,∠ACB=m°,根據(jù)角平分線和三角形的內(nèi)角和得到∠CAB=(180-n-m)°,然后再利用直角三角形的兩銳角互余解題即可.【詳解】(1)?∠B=30°,∠ACB=80°,?∠BAC=70°,?AD平分∠BAC,B∠DAC=35°,B∠ADC=65°,PE⊥AD?∠E=25°;(2)設(shè)∠B=n°,∠ACB=m°,BAD平分∠BAC,∠1=∠2=12∠B+∠ACB+∠BAC=180°∠B=n°∠CAB=180-n-m°∠1=12∠3=∠B+∠1=n°PE?AD,∠DPE=90°∠E=90°13.如圖①,在VABC中,∠ABC與∠∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P.(1)若∠A=60°,則∠BPC的度數(shù)是(2)如圖②,作VABC外角.∠MBC,∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q,∠A之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③,延長(zhǎng)線段BP,QC交于點(diǎn)E,在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，請(qǐng)直接寫出∠A的度數(shù)是.【答案】11202∠Q=90°360°或120°或4【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，角平分線定義.(1)根據(jù)角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理得∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB=∠BPC=180°-(2)由三角形的外角定理及三角形三角形內(nèi)角和定理得∠MBC+∠NCB=180°+∠A，再由角平分線定義得∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB=9(3)先求出∠EBQ=90°,根據(jù)∠Q=90°-12∠A得【詳解】(1)解:在VABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P,∴∠PBC=12∴∠PBC+∠PCB=12∴∠BPC=180°∵∠A=60°,∴∠BPC=90°故答案為：120°(2)解:∠Q,∠A之間的數(shù)量關(guān)系是:∠Q=90°-∵∠MBC=∠ACB+∠A,∠NCB=∠ABC+∠A,∠ACB+∠A+∠ABC=180°,∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A,∵點(diǎn)Q是∠MBC和∠NCB的角平分線的交點(diǎn)，∴∠QBC=12∴∠QBC+∠QCB=12∴∠Q=180°故∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系是：∠Q=90°(3)解:∵PB平分∠ABC,BQ平分∠MBC,∠ABC+∠MBC=180°,∵∠PBC=12∴∠PBC+∠QBC=12即∠EBQ=90°,∴∠E+∠Q=90°,由(2)可知:∠Q=90°∴∠E+90°∴∠E=12如果在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么有以下四種情況：①當(dāng)∠EBQ=3∠E時(shí),則3∠E=90°,∴∠E=30°,此時(shí)∠A=2∠E=60°,②當(dāng)∠EBQ=