6.4平均數(shù)與方差(4)第六章

數(shù)據(jù)的分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過(guò)更為豐富的例子，讓學(xué)生了解如何按照組內(nèi)離差平方和最小的

原則對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。2．通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)據(jù)的離散程度在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在，體

會(huì)方差的大小對(duì)決策的影響。

離差平方和：

；方差：

；標(biāo)準(zhǔn)差:

。溫故知新是各個(gè)數(shù)據(jù)與它們平均數(shù)之差的平方和是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)是方差的算術(shù)平方根

某日，A、B兩地的氣溫如右圖所示：情境引入(1)不進(jìn)行計(jì)算，說(shuō)說(shuō)A，B兩地這一天氣溫的特點(diǎn)。

(2)分別計(jì)算這一天A，B兩地氣溫的平均數(shù)和方差，

與你剛才的看法一致嗎？A，B兩地平均氣溫相近，但A地日溫差較大，B地日溫差較小。

因?yàn)?1.35＞20.42，所以兩地平均氣溫比較接近，B地略高于A地；因?yàn)?.78＜7.76，所以B地的日溫差比A地的日溫差要小一些。這與我們剛才的看法一致。嘗試·思考某校要從甲、乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員中挑選一人參加一項(xiàng)比賽。在最近的10次選拔賽中，他們的成績(jī)（單位：cm)如下：

甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601；乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624。

(1)甲、乙的平均成績(jī)分別是多少？

(2)甲、乙這10次選拔賽成績(jī)的方差分別是多少？

議一議某校要從甲、乙兩個(gè)跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員中挑選一人參加一項(xiàng)比賽.在最近的10次選拔賽中，他們的成績(jī)(單位：cm)如下：

甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601；乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624。

(3)這兩名運(yùn)動(dòng)員的選拔賽成績(jī)各有什么特點(diǎn)？

(4)歷屆比賽成績(jī)表明，成績(jī)達(dá)到5.96m就很可能奪冠，你認(rèn)為為了奪

冠應(yīng)選誰(shuí)參加這項(xiàng)比賽？如果歷屆比賽成績(jī)表明，成績(jī)達(dá)到6.10m

就能打破紀(jì)錄，那么你認(rèn)為為了打破紀(jì)錄應(yīng)選誰(shuí)參加這項(xiàng)比賽呢？(3)從成績(jī)的平均數(shù)看，甲比乙高一些；從成績(jī)的穩(wěn)定性看，甲比乙更

穩(wěn)定；從運(yùn)動(dòng)潛力看，乙的最遠(yuǎn)成績(jī)比甲的最遠(yuǎn)成績(jī)好，乙比甲更

有潛力。(4)在10次比賽中，甲運(yùn)動(dòng)員有9次達(dá)到或超過(guò)596cm，而乙僅有5次，因

此為奪冠一般應(yīng)選甲運(yùn)動(dòng)員參加這項(xiàng)比賽；在10次比賽中，甲有3次

成績(jī)達(dá)到或超過(guò)610cm，乙有4次成績(jī)達(dá)到或超過(guò)610cm，而且乙的最

遠(yuǎn)成績(jī)比甲的最遠(yuǎn)成績(jī)好，因此，為了打破紀(jì)錄一般應(yīng)選乙運(yùn)動(dòng)員

參加這項(xiàng)比賽。

10個(gè)蘋果的直徑如圖所示。(1)若想把這10個(gè)蘋果分成兩組，使

每組蘋果的“個(gè)頭”差不多，

你想怎么分?說(shuō)說(shuō)你分組的理由。思考·交流在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，分組的方法有很多，其中較常用的方法是使“組內(nèi)離差平方和達(dá)到最小”。多組數(shù)據(jù)的組內(nèi)離差平方和是指每組數(shù)據(jù)的離差平方和的和。(2)一般情況下，如果想把一組數(shù)

據(jù)分成若干組，使每組組內(nèi)的

數(shù)據(jù)差距不大，

且組與組之間

的數(shù)據(jù)差別明顯，那么你認(rèn)為

應(yīng)遵循怎樣的分組原則?與同伴

進(jìn)行交流。例題學(xué)習(xí)按照“組內(nèi)離差平方和達(dá)到最小”的方法，把圖中的10個(gè)蘋果按直徑大小分成兩組。例3解：將10個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排序:65,69,70,75,76,76,78,80,80,81。把10個(gè)數(shù)據(jù)分成兩組，共有9種情況：第一組1個(gè)數(shù)據(jù){65}，第二組9個(gè)數(shù)據(jù){69，…，81}；第一組2個(gè)數(shù)據(jù){65，69}，第二組8個(gè)數(shù)據(jù){70，…，81}；……；第一組9個(gè)數(shù)據(jù){65，…，80}，第二組1個(gè)數(shù)據(jù){81}。

以第2種分組情況為例，計(jì)算組內(nèi)離差平方和。其中，第一組有2個(gè)數(shù)據(jù){65，69}，這2個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是67，故第一組數(shù)據(jù)的組內(nèi)離差平方和

S12=(65－67)2＋(69－67)2=8；第二組有8個(gè)數(shù)據(jù){70，75，76，76，78，80，80，81}，這8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是77，故第二組數(shù)據(jù)的組內(nèi)離差平方和

S22=(70－77)2＋(75－77)2＋…＋(81－77)2=90。

因此，第2種分組情況的組內(nèi)離差平方和S32=S12＋S22=8＋90=98。

同理，計(jì)算其他8種分組情況的組內(nèi)離差平方和，結(jié)果如下:例題學(xué)習(xí)計(jì)算結(jié)果表明，第3中情況的組內(nèi)離差平方和最小。因此，把10個(gè)蘋果按直徑大小分成的兩組是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}。1.某校擬派一名跳高運(yùn)動(dòng)員參加一項(xiàng)校際比賽，對(duì)甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員

進(jìn)行了8次選拔比賽，他們的成績(jī)(單位：m)如下：

甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67；乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75。

(1)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)分別是多少？

(2)這兩人中，誰(shuí)的成績(jī)更為穩(wěn)定？

(3)經(jīng)預(yù)測(cè)，跳高1.65m就很可能獲得冠軍，該校為了獲取跳高比賽冠軍，

可能選哪位運(yùn)動(dòng)員參賽？若預(yù)測(cè)跳高1.70m方可奪得冠軍呢？

因?yàn)橐疫\(yùn)動(dòng)員有5次成績(jī)超過(guò)1.70m，而甲運(yùn)動(dòng)員僅有3次成績(jī)超過(guò)1.70m，少于乙。此外，乙的最高成績(jī)比甲的好，所以若以1.70m作為奪冠的預(yù)測(cè)成績(jī)，應(yīng)選乙運(yùn)動(dòng)員。(2)因?yàn)閟2甲

=0.0006，s2乙=0.00315，0.0006＜0.00315，所以甲的成績(jī)較穩(wěn)定；(3)因?yàn)榧走\(yùn)動(dòng)員8次比賽成績(jī)都超過(guò)了1.65m，而乙運(yùn)動(dòng)員有3次成績(jī)低

于1.65m，所以若以1.65m作為奪冠的預(yù)測(cè)成績(jī)，則選甲運(yùn)動(dòng)員；習(xí)題6.6課堂小結(jié)根據(jù)方差做決策方差的作用：比較數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性利用方差解答實(shí)際問(wèn)題

1.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，方差用來(lái)反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小。方差越大，

數(shù)據(jù)的

波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，可用樣本方差估計(jì)總體方差。2.運(yùn)用方差解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是怎樣的？

先計(jì)算樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)，當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時(shí)，再利用

樣本方差來(lái)估計(jì)總體數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況。4.甲、乙兩臺(tái)包裝機(jī)同時(shí)分裝質(zhì)量為400g的奶粉。從甲、乙包裝機(jī)分裝的

奶粉中各隨機(jī)抽取10袋，測(cè)得它們的實(shí)際質(zhì)量(單位:g)如下。

甲：401400408406410409400393394394

乙：403404396399402401405397402399

哪臺(tái)包裝機(jī)分裝的奶粉質(zhì)量比較穩(wěn)定?習(xí)題6.1

乙包裝機(jī)分裝的奶粉質(zhì)量的平均數(shù)更接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，且s2乙＜s2甲，因此可以認(rèn)為乙包裝機(jī)分裝的奶粉質(zhì)量比較穩(wěn)定。習(xí)題6.15.甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下。

甲：86789106547；乙：7985677678。

(1)分別計(jì)算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；

(2)如何評(píng)價(jià)這兩名戰(zhàn)士的射擊情況?

(2)從成績(jī)的平均數(shù)看，甲、乙相同；從成績(jī)的穩(wěn)定性看，s2乙＜s2甲，則乙

比甲更穩(wěn)定；從射擊潛力看，甲比乙更有潛力，因?yàn)榧椎淖詈贸煽?jī)比

乙的最好成績(jī)高。隨堂檢測(cè)1.學(xué)校準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選擇一名同學(xué)代表學(xué)校參加市里舉

辦的“漢字聽(tīng)寫”大賽，四名同學(xué)平時(shí)成績(jī)的平均數(shù)(單位：分)及方差s2

如下表所示：如果要選出一個(gè)成績(jī)好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學(xué)參賽，那么應(yīng)該選擇的同學(xué)是

。甲乙丙丁94989896s211.211.8丙

隊(duì)員每人每天進(jìn)球數(shù)甲1061068乙79789隨堂檢測(cè)(1)求乙進(jìn)球的平均數(shù)和方差；(2)現(xiàn)在需要根據(jù)以上結(jié)果，從甲、乙兩名隊(duì)員

中選出一人去參加3分球投籃大賽，你認(rèn)為

應(yīng)該選哪名隊(duì)員去？為什么？(2)我認(rèn)為應(yīng)該選乙隊(duì)員去參加3分球投籃大賽。因?yàn)榧?、乙的平均成?jī)一樣，而s2乙＜s2甲，所以說(shuō)明乙隊(duì)員進(jìn)球數(shù)更穩(wěn)定。

作業(yè)王大伯幾年前承包了甲、乙兩片荒山，各栽100棵楊梅樹，成活率為98%，果實(shí)現(xiàn)