（一）本章重點(diǎn)（importantpoints4.函數(shù)的連續(xù)（這是以后很多公式定理運(yùn)用的條件，所以必須掌握地very（二）知識(shí)點(diǎn)分析（analysis常用不等式）：8）設(shè)x∈z+,則證法一構(gòu)造一個(gè)關(guān)于t的二次方程，并利用其判別式）i=12窮小的關(guān)系（無窮小乘以一個(gè)有界函數(shù)結(jié)果是無窮??；無窮大加無窮大不一定等于無nn任意性，它們也可代替ε)nnnn所以要使得n22-所以要使得nnnn,N2}nn若，則a=b若limf(x)=Alimf(x)=B，則A=B定理2.（有界性）若數(shù)列x收斂，那么它一定有n2ΛΛxNn+1但函數(shù)收斂。此點(diǎn)希望注意！,恒有xn≤M（ii）若limf(x)=A，則彐M>0當(dāng)x:0<x-x<δ時(shí)，有f(x)≤Mx→∞（3）局部保號(hào)性f(x)>0(或f(x)<0)的一切x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)滿足：f(x)-A<ε,就稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)limf(x)=A，或f(x)→A（當(dāng)x→x0時(shí)）02：定義中0<xx表示x≠x，這說明當(dāng)x→x時(shí)，f(x)有無限與f有）的定義無關(guān)（可以無定義，即使有定義，與f(x)值也無關(guān)）。0f(x)<A+ε。即函數(shù)y=f(x)的圖形夾在直線limf(x)=A00δ時(shí)就稱A為f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的左[右]極限，記為limf(x)=A或f(x—0)=A。定理今2：limf(x)=A今limf(x)=limf(x)=A。3：若limf(x)=A，就稱y=A為y=f(x)的圖形的水平漸近線（若α在目前，常用當(dāng)x→0時(shí)，等價(jià)無窮小有：因?yàn)閛(.)不是一個(gè)量，而是高階無窮小的記號(hào)；2.等價(jià)無窮小具有傳遞性：即α~β,β~Y→α~Yx階，又無高低階可比較，因?yàn)閘imx不存在；x→0x24.用等價(jià)無窮小可以簡化極限的運(yùn)算，事實(shí)上，有：代換后的結(jié)果如果沒有在加減運(yùn)算中消掉的話，就可以用！例如：limx+sinx，若是將sinx換成x，x不會(huì)在加減運(yùn)算中被消去，因此這個(gè)是可以用x→0x再例如：limx?sinx這個(gè)極限如果將sinx換成x就不行了，因?yàn)檫@個(gè)x會(huì)在加減運(yùn)算中x→0x3【雖然這個(gè)方法成立，但是老師在改題的時(shí)候就不會(huì)想這么多，只要跟課上他講的不f(x)<ε成0立，就稱f(x)為當(dāng)x→x(x→+∞)時(shí)的無窮小，記為limf(x)=0(limf(x)=0)。0定理1：當(dāng)自變量在同一變化過程x→x（或x→∞)中時(shí)：0（i）具有極限的函數(shù)等于其極限與一個(gè)無窮小之和，即：A為f(x)的極限今f(x)-A為（ii）若一函數(shù)可表示為一常數(shù)與無窮小之和，那0時(shí)有f(x)>M則稱當(dāng)x→x(或x→∞)，f(x)無窮大量則(x→x)(x→x)若，則稱當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，f(x)與g(x)是同階無窮小。（2），則稱當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，f(x)與g(x)是等價(jià)無窮小，記作（3），則稱當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，f(x)是g(x)是高階無窮小，記作則稱當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，f(x)是α(x)是k階無窮小，,且,則。證明：先考慮，因?yàn)閤-[x]是有界函數(shù)，且當(dāng)x→∞時(shí)，→0，所例解：當(dāng)n→∞時(shí)，這是無窮多項(xiàng)相加，故不能用§1.6定理3，先變形：（ii）那么，數(shù)列xn的極限存在，且n>N時(shí)，有y-a<ε,即n第一個(gè)重要極限證明：作單位圓，如下圖：x（因?yàn)樗陨喜坏仁讲桓淖兎较颍┊?dāng)x改變符號(hào)時(shí)及1的值均不變，故對(duì)滿足的一切x→0x→0x→0x作為準(zhǔn)則Ⅱ的一個(gè)應(yīng)用，下面來證明極限是存在的。：，所以是有界的。nEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up7(1),n)n給定數(shù)列{x},{y},{z}nn給定函數(shù)f(x),g(x),h(x)，(x,r)（或x>X）時(shí)，有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)0則limf(x)=Axn≤M(或xn≥m)則EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up2147483646(l),n)xn存在若f(x)在點(diǎn)x的左側(cè)鄰域（或右側(cè)鄰域）單調(diào)有界，則lim00limf(x))存在x→0limf(x)f(x)（或(x→x0)EQ\*jc3\*hps55\o\al(\s\up6(l),x)0x→0v(x)→0y=f(x)在的某鄰域內(nèi)有定義，若limf(x)=f(x)，就稱函數(shù)0000y=f(x)在x0點(diǎn)處連續(xù)。f(x)在x點(diǎn)連續(xù)，不僅要求0f(x)在x0點(diǎn)有意義，EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up2147483645(l),x)0f(x)存在，而且要，-f(x)=f(x0-0)=f(x)，就稱f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù)。若，就稱f(x)在x點(diǎn)右連續(xù)。03：如果f(x)在區(qū)間I上的每一點(diǎn)處都連續(xù)，就稱f(x)在I上連續(xù)；并稱f(x)為I上的連續(xù)函數(shù)；若I包含端點(diǎn)，那么f(x)在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點(diǎn)連續(xù)是指左0x-x-x0<δf(x)-f(x0)<εf(x)x0下面再給出連續(xù)性定義的另一種形式：x→0相應(yīng)函數(shù)值差，f(x)-f(x0)稱為函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的增量，記為Δy，即或lim[f(x+Δx)一f(x)]=0，就稱f(x)在x點(diǎn)連續(xù)。定理：f(x)在x點(diǎn)連續(xù)今f(x)在x點(diǎn)既左連續(xù)，又右連續(xù)。歸納：(1)limf(x)=∞,x為無窮間斷點(diǎn)；(2)limf震蕩不存在，為震蕩間斷點(diǎn)；為可去間斷點(diǎn)；(4)limf≠limf，為跳躍間斷點(diǎn)。x如果f(x)在間斷點(diǎn)x0處的左右極限都存在，就稱x0為f(x)的第一類間斷點(diǎn)，顯然它包含(3)、(4)兩種情況；否則就稱為第二類間斷點(diǎn)。（1）函數(shù)連續(xù)的定義設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x0及其鄰域U(x)內(nèi)有定義，若或（ii或（ii）f(x)f(x)<ε.則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)0設(shè)y=f(x)在點(diǎn)(x0一δ,x0]內(nèi)有定義，若則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)，設(shè)y=f(x)在點(diǎn)[x0,x0+δ)內(nèi)有定義，若則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處右若函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)每點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)若函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)每點(diǎn)都連續(xù)，且limf(x)=f(a)，limf(x)=f(b)，則稱函數(shù)x→a+x→b-y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，記作f(x)∈C[a,b]（2）函數(shù)的間斷點(diǎn)設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x的某去心鄰域Uo(x)內(nèi)有定義0若函數(shù)y=f(x)：000x→x0x→xx設(shè)點(diǎn)x為y=f(x)的間斷點(diǎn)，0（1）limf(x)彐limf(x)≠f(x=00limf(x)，則稱點(diǎn)x0為y=f(x)的跳躍間斷點(diǎn)，