吉林省白城四中2026屆高二數學第一學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數圖象如圖所示,則的解析式可以為A. B.C. D.2．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（）A.2 B.4C.8 D.93．如圖，、分別是橢圓的左頂點和上頂點，從橢圓上一點向軸作垂線，垂足為右焦點，且，點到右準線的距離為，則橢圓方程為（）A. B.C. D.4．在正三棱錐中，，且，M，N分別為BC，AD的中點，則直線AM和CN夾角的余弦值為（）A. B.C. D.5．等差數列的通項公式，數列，其前項和為，則等于（）A. B.C. D.6．函數在其定義域內可導，的圖象如圖所示，則導函數的圖象為A. B.C. D.7．下列各式正確的是（）A. B.C. D.8．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點，E為AD的中點，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.9．在等比數列中,，,則等于A. B.C. D.或10．《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種共十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個節(jié)氣的日影長之和為25.5尺，且前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則立春的日影長為（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺11．設為數列的前n項和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.512．已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則的值為（）A. B.C.4 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設Sn是等差數列{an}的前n項和，若數列{an}滿足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，則＋B－C的最小值為________14．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，M的準線為l且與x軸相交于點B，A為M上的一點，直線AO與直線l相交于C點，若，，則M的標準方程為______________.15．方程的曲線的一條對稱軸是_______，的取值范圍是______.16．已知數列滿足，，若，則_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的一個焦點是，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線交于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，求的取值范圍.18．（12分）如圖，在棱長為3的正方體中，分別是上的點且（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值19．（12分）已知橢圓的焦距為，點在橢圓上.過點的直線l交橢圓于A，B兩點.（1）求該橢圓的方程；（2）若點P為直線上的動點，記直線PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數列.20．（12分）已知圓.（1）過點作圓的切線，求切線的方程；（2）若直線過點且被圓截得的弦長為2，求直線的方程.21．（12分）總書記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山．”新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產業(yè)發(fā)展的方向．工業(yè)部表示，到2025年中國的汽車總銷量將達到3500萬輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一．江蘇某新能源公司年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺16200元，第一年每臺設備的維修保養(yǎng)費用為1100元，以后每年增加400元，每臺充電樁每年可給公司收益8100元（1）每臺充電樁第幾年開始獲利？（2）每臺充電樁在第幾年時，年平均利潤最大22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點，點，分別在棱，上，，.（1）求點到直線的距離（2）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用排除法：對于B,令得,,即有兩個零點，不符合題意；對于C,當時，，當且僅當時等號成立，即函數在區(qū)間上存在最大值，不符合題意；對于D,的定義域為，不符合題意；本題選擇A選項.點睛：函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項2、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因為，所以，即，因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：C.【點睛】本題考查垂直直線的性質，考查利用基本不等式求最值，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.3、A【解析】設橢圓方程為，設該橢圓的焦距為，則，求出點的坐標，根據可得出，可得出，，結合已知條件求得的值，可得出、的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】設橢圓方程為，設該橢圓的焦距為，則，由圖可知，點第一象限，將代入橢圓方程得，得，所以，點，易知點、，，，因為，則，得，可得，則，點到右準線的距離為為，則，，因此，橢圓的方程為.故選：A.4、B【解析】由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【詳解】因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，所以,因為M，N分別為BC，AD的中點，所以，所以，設直線AM和CN所成的角為，則,所以直線AM和CN夾角的余弦值為，故選：B5、D【解析】根據裂項求和法求得，再計算即可.【詳解】解：由題意得====所以.故選：D6、D【解析】分析：根據函數單調性、極值與導數的關系即可得到結論.詳解：觀察函數圖象，從左到右單調性先單調遞增，然后單調遞減，最后單調遞增.對應的導數符號為正，負，正.,選項D的圖象正確.故選D.點睛：本題主要考查函數圖象的識別和判斷，函數單調性與導數符號的對應關系是解題關鍵.7、C【解析】利用導數的四則運算即可求解.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：C8、B【解析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量【詳解】因為是的中點，是的中點，，故選：B9、D【解析】∵為等比數列，∴，又∴為的兩個不等實根，∴∴或∴故選D10、B【解析】設影長依次成等差數列，公差為，根據題意結合等差數列的通項公式及前項和公式求出首項和公差，即可得出答案.【詳解】解：設影長依次成等差數列，公差為，則，前9項之和，即，解得，所以立春的日影長為.故選：B.11、B【解析】由已知條件可得數列為首項為2，公差為2的等差數列，然后根據結合等差數列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數列為首項為2，公差為2的等差數列，因為，所以，化簡得，，解得或（舍去），故選：B12、A【解析】由，可得，再計算即可求解.【詳解】由題意可知，所以，即.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】因為{an}為等差數列，設公差為d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0對任意正整數n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.14、【解析】先利用相似關系計算，求得直線OA的方程，再聯(lián)立方程求得，利用拋物線定義根據即得p值，即得結果.【詳解】因為，，所以，則，如圖，，故，解得，所以，直線OA的斜率為，OA的方程，聯(lián)立直線OA與拋物線方程，解得，所以，故，則拋物線標準方程為.故答案為：.15、①.x軸或直線②.【解析】根據給定條件分析方程的性質即可求得對稱軸及x的取值范圍作答.【詳解】方程中，因，則曲線關于x軸對稱，又，解得，此時曲線與都關于直線對稱，曲線的對稱軸是x軸或直線，的取值范圍是.故答案為：x軸或直線；16、【解析】由遞推式，結合依次求出、即可.【詳解】由，可得：，又，可得：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由條件可得，，然后可得答案；（2）設直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后算出中點的坐標，然后可得線段的垂直平分線方程，然后可得，然后可求出答案.【小問1詳解】因為橢圓的一個焦點是，且離心率所以，，所以所以橢圓的方程為【小問2詳解】顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為，聯(lián)立可得，所以所以中點的縱坐標為，橫坐標為所以線段的垂直平分線方程為令，可得當時，當時，，因為，所以綜上：18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系后得到相關向量，再運用數量積證明；（2）求出相關平面的法向量，再運用夾角公式計算即可.【小問1詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系：，，，，，∴，故.【小問2詳解】，，，設平面的一個法向量為，由，令，則，取平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為，易知：為銳角，故，即平面與平面夾角的余弦值為.19、（1）;（2）證明見解析.【解析】（1）根據焦點坐標及橢圓上的點，利用橢圓的定義求出a，再由關系求b，即可得解；（2）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，利用斜率公式計算出，根據等差中項計算，即可證明成等差數列.【小問1詳解】∵橢圓的焦距，橢圓的兩焦點坐標分別為，又點在橢圓上，，即.該橢圓方程為.【小問2詳解】設.當直線l的斜率為0時，其方程為，代入，可得.不妨取，則，成等差數列.當直線l的斜率不為0時，設其方程為，由，消去x得.即，成等差數列，綜上可得，，成等差數列.20、（1）；（2）或.【解析】（1）根據直線與圓相切，求得切線的斜率，利用點斜式即可寫出切線方程；（2）利用弦長公式，結合已知條件求得直線的斜率，即可求得直線方程.【小問1詳解】圓，圓心，半徑，又點的坐標滿足圓方程，故可得點在圓上，則切線斜率滿足，又，故滿足題意的切線斜率，則過點的切線方程為，即.【小問2詳解】直線過點，若斜率不存在，此時直線的方程為，將其代入可得或，故直線截圓所得弦長為滿足題意；若斜率存在時，設直線方程為，則圓心到直線的距離，由弦長公式可得：，解得，也即，解得，則此時直線的方程為：.綜上所述，直線的方程為或.21、（1）公司從第3年開始獲利；（2）第9年時每臺充電樁年平均利潤最大3600元【解析】（1）判斷已知條件是等差數列，然后求解利潤的表達式，推出表達式求解n即可（2）利用基本不等式求解最大值即可【詳解】（1）每年的維修保養(yǎng)費用是以1100為首項，400為公差的等差數列，設第n年時累計利潤為f（n），f（n）=8100n-[1100+1500+…+（400n+700）]-16200=8100n-n（200n+900）-16200=-200n2+7200n-16200=-200（n2-36n+81），開始獲利即f（n）＞0，∴-200（n2-36n+81）＞0，即n2-36n+81＜0，解得，所以公司從第3年開始獲利；（2）每臺充電樁年平均利潤為當且僅當，即n=9時，等號成立即在第9年時每臺充電樁年平均利潤最大3600元【點睛】本題考查數列與函數的實際應用，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題22、（1）；（2）.【解析】（1）