2025年多元函數(shù)微分真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(1,1)處可微，且f(1,1)=1,?f/?x(1,1)=2,?f/?y(1,1)=3，則f(1.1,1.2)的近似值為？A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8答案：B2.函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在點(diǎn)(0,0)處的梯度為？A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.(0,1)答案：A3.設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)連續(xù)？A.是B.否答案：A4.函數(shù)f(x,y)=x^3-3xy^2在點(diǎn)(1,1)處的Hessian矩陣為？A.\(\begin{pmatrix}6&-6\\-6&6\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}6&6\\6&6\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&-6\\-6&0\end{pmatrix}\)答案：A5.設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微，且f(0,0)=0,?f/?x(0,0)=1,?f/?y(0,0)=2，則lim_{(x,y)→(0,0)}\(\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\)的值為？A.1B.2C.3D.不存在答案：A6.函數(shù)f(x,y)=x^2y+y^3在點(diǎn)(1,1)處的全微分為？A.df=2xydx+(x^2+3y^2)dyB.df=2xdx+3ydyC.df=x^2dx+y^3dyD.df=(2xy+3y^2)dx+(x^2+2y)dy答案：A7.設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)可積？A.是B.否答案：A8.函數(shù)f(x,y)=sin(x+y)在點(diǎn)(0,0)處的梯度為？A.(1,1)B.(cos(x+y),cos(x+y))C.(cos(0),cos(0))D.(0,0)答案：B9.設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(1,1)處可微，且f(1,1)=1,?f/?x(1,1)=1,?f/?y(1,1)=1，則f(1.1,1.1)的近似值為？A.1.2B.1.1C.1.3D.1.4答案：A10.函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在點(diǎn)(1,1)處的方向?qū)?shù)在方向向量(1,1)上的值為？A.2B.3C.4D.5答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處可微？A.f(x,y)=x^2+y^2B.f(x,y)=|x|+|y|C.f(x,y)=x^3yD.f(x,y)=sin(x^2+y^2)答案：ACD2.下列哪些函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù)？A.f(x,y)=\(\frac{1}{x^2+y^2}\)B.f(x,y)=x^2+y^2C.f(x,y)=|x|+|y|D.f(x,y)=sin(x+y)答案：BCD3.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(1,1)處梯度不為零？A.f(x,y)=x^2+y^2B.f(x,y)=x^3-3xy^2C.f(x,y)=sin(x+y)D.f(x,y)=x^2y+y^3答案：BCD4.下列哪些函數(shù)在區(qū)域D上可積？A.f(x,y)=x^2+y^2B.f(x,y)=|x|+|y|C.f(x,y)=\(\frac{1}{x^2+y^2}\)D.f(x,y)=sin(x+y)答案：ABD5.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處全微分存在？A.f(x,y)=x^2+y^2B.f(x,y)=|x|+|y|C.f(x,y)=x^3yD.f(x,y)=sin(x^2+y^2)答案：ACD6.下列哪些函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù)且可微？A.f(x,y)=x^2+y^2B.f(x,y)=|x|+|y|C.f(x,y)=x^3yD.f(x,y)=sin(x^2+y^2)答案：ACD7.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(1,1)處梯度為零？A.f(x,y)=x^2+y^2B.f(x,y)=x^3-3xy^2C.f(x,y)=sin(x+y)D.f(x,y)=x^2y+y^3答案：AB8.下列哪些函數(shù)在區(qū)域D上可積？A.f(x,y)=x^2+y^2B.f(x,y)=|x|+|y|C.f(x,y)=\(\frac{1}{x^2+y^2}\)D.f(x,y)=sin(x+y)答案：ABD9.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處全微分存在？A.f(x,y)=x^2+y^2B.f(x,y)=|x|+|y|C.f(x,y)=x^3yD.f(x,y)=sin(x^2+y^2)答案：ACD10.下列哪些函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù)且可微？A.f(x,y)=x^2+y^2B.f(x,y)=|x|+|y|C.f(x,y)=x^3yD.f(x,y)=sin(x^2+y^2)答案：ACD三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微，則f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)。A.是B.否答案：A2.函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)可積。A.是B.否答案：A3.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(1,1)處梯度不為零，則f(x,y)在點(diǎn)(1,1)處不可微。A.是B.否答案：B4.函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上可積。A.是B.否答案：A5.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處全微分存在，則f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微。A.是B.否答案：A6.函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上可積，則f(x,y)在D上連續(xù)。A.是B.否答案：B7.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(1,1)處梯度為零，則f(x,y)在點(diǎn)(1,1)處不可微。A.是B.否答案：B8.函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)且可微，則f(x,y)在D上可積。A.是B.否答案：A9.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處全微分存在，則f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)。A.是B.否答案：A10.函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)且可微，則f(x,y)在D上可積。A.是B.否答案：A四、簡答題（每題5分，共4題）1.什么是多元函數(shù)的梯度？梯度有什么性質(zhì)？答案：多元函數(shù)的梯度是一個(gè)向量，表示函數(shù)在某一點(diǎn)處變化最快的方向和變化率。梯度的性質(zhì)包括：梯度方向是函數(shù)值增加最快的方向，梯度的模長表示函數(shù)值在該方向上的變化率。2.什么是多元函數(shù)的全微分？全微分有什么用途？答案：多元函數(shù)的全微分是函數(shù)在某一點(diǎn)處沿各個(gè)方向的變化率的線性組合。全微分可以用來近似計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化，以及用來判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處是否可微。3.什么是多元函數(shù)的Hessian矩陣？Hessian矩陣有什么用途？答案：多元函數(shù)的Hessian矩陣是一個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，表示函數(shù)在某一點(diǎn)處二階變化率的信息。Hessian矩陣可以用來判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處是否是極值點(diǎn)，以及用來計(jì)算函數(shù)的泰勒展開。4.什么是多元函數(shù)的方向?qū)?shù)？方向?qū)?shù)有什么用途？答案：多元函數(shù)的方向?qū)?shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處沿某一方向的變化率。方向?qū)?shù)可以用來判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處沿某一方向是否增加或減少，以及用來計(jì)算函數(shù)的切平面方程。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論多元函數(shù)的可微性與連續(xù)性之間的關(guān)系。答案：多元函數(shù)的可微性比連續(xù)性更強(qiáng)。如果函數(shù)在某一點(diǎn)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)處一定連續(xù)。但是，函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)并不一定可微。例如，函數(shù)f(x,y)=|x|+|y|在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)，但不可微。2.討論多元函數(shù)的梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系。答案：多元函數(shù)的梯度是一個(gè)向量，表示函數(shù)在某一點(diǎn)處變化最快的方向和變化率。方向?qū)?shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處沿某一方向的變化率。梯度方向是方向?qū)?shù)最大的方向，梯度模長表示方向?qū)?shù)的最大值。3.討論多元函數(shù)的Hessian矩陣與極值點(diǎn)之間的關(guān)系。答案：多元函數(shù)的Hessian矩陣是一個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，可以用來判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處是否是極值點(diǎn)。如果Hessian矩陣在某一點(diǎn)處正