專題4.1平面向量的概念及線性運算【六大題型】【新高考專用】1、平面向量的概念及線性運算平面向量是高考的熱點內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，平面向量的概念、平面向量的線性運算是高考的熱點內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時也會與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等.【知識點1平行向量有關(guān)概念的歸納】1．平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量與的關(guān)系：是與同方向的單位向量.【知識點2平面向量線性運算問題的解題策略】1．平面向量線性運算問題的求解思路：(1)解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化；(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2．向量線性運算的含參問題的解題策略：與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.3．利用共線向量定理解題的策略：(1)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A,B,C三點共線共線.(3)若與不共線且，則.(4)(λ,μ為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.【方法技巧與總結(jié)】1．中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則.2．(λ,μ為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.3．解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.【題型1平面向量的基本概念】【例1】（24-25高二上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）下列量中是向量的為（

）A．體積 B．距離C．拉力 D．質(zhì)量【解題思路】由向量的定義即可判斷【解答過程】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向故選:C.【變式1-1】（23-24高一下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．若a=b，則a=b C．若a=b，則a∥b D．若a∥b,b∥c，則a【解題思路】根據(jù)向量的概念逐一判斷.【解答過程】對于A：若a=b，則對于B：向量不能比較大小，B錯誤；對于C：若a=b，則對于D：若a∥b,b∥c，如果b為零向量，則不能推出故選：C.【變式1-2】（23-24高一下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（

）A．向量可以比較大小 B．向量的?？梢员容^大小C．速度是向量，位移是數(shù)量 D．零向量是沒有方向的【解題思路】根據(jù)向量的相關(guān)概念直接判斷即可.【解答過程】向量不可以比較大小，但向量的模是數(shù)量，可以比較大小，A錯誤，B正確；速度和位移都有方向和大小，是向量，C錯誤；零向量方向任意，D錯誤.故選：B.【變式1-3】（23-24高一·全國·假期作業(yè)）已知向量a如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．也可以用MN表示 B．方向是由M指向N C．起點是M D．終點是M【解題思路】根據(jù)向量的幾何表示，直接進行判斷即可.【解答過程】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確．故選D．【題型2向量的幾何表示與向量的?！俊纠?】（2024·福建南平·模擬預(yù)測）已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足AB+BC=2AM，則A．12 B．1 C．22 【解題思路】根據(jù)幾何關(guān)系求解.【解答過程】如圖，AB+BC=AC=2AM，所以故選：C.【變式2-1】（23-24高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）如果一架飛機向西飛行150km，再向南飛行350km，記飛機飛行的路程為s，位移為a，則（A．s>a B．s=a C．s<a D．s【解題思路】根據(jù)題意，作圖，結(jié)合向量的幾何意義，可得答案.【解答過程】由題意，作圖如下：則該飛機由A先飛到B，再飛到C，則AB=150km，BC=350km，則飛機飛行的路程為s=500km，a所以s>a故選：A.【變式2-2】（23-24高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點O為圓心，C為半圓上一點，且∠OCB=30°，AB=2，則AC等于（

A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】根據(jù)OC=OB，可得【解答過程】如圖，連接AC，由OC=OB，得因為C為半圓上的點，所以∠ACB=90°，所以AC=故選：A.【變式2-3】（23-24高一下·上海·課后作業(yè)）若a是任一非零向量，b是單位向量，下列各式：①|(zhì)a|>|b|；②a//b；③|aA．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④【解題思路】根據(jù)向量模的概念可判斷①；利用向量共線的定義可判斷②；利用向量模的概念可判斷③、④；根據(jù)單位向量的概念可判斷⑤.【解答過程】①｜a｜＞｜b｜不正確，a是任一非零向量，模長是任意的，故不正確；②a∥b，則a與b為共線向量，故不正確；③|a④｜b｜=1，故正確；⑤aa是單位向量，b故選：D.【題型3向量加、減法的幾何意義】【例3】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）在△OMN中，ON?MN+A．0 B．2MO C．2OM【解題思路】根據(jù)平面向量的加減法運算計算即可.【解答過程】ON?故選：A.【變式3-1】（2024·寧夏石嘴山·二模）如圖，已知△ABC中，D是AB邊上一點，若DB=12AD，3CD

A．?2 B．2 C．?1 D．3【解題思路】根據(jù)平面向量加減法運算求解即可.【解答過程】連接CD，如圖所示：

因為DB=所以CD=所以3CD=CA故選：B.【變式3-2】（2024·浙江·二模）設(shè)M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，則MA+2MB+2A．AB B．CD C．2AB D．【解題思路】根據(jù)平行四邊形對角線平分及向量加減法計算可得.【解答過程】M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，則MA=?所以MA+2故選：A.【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方形ABCD中，M是BC的中點．若AC=m，AM=n，則A．4m?3nC．3m?4n【解題思路】作圖，根據(jù)圖像和向量的關(guān)系，得到BC=2(AC?AM)=2m?2【解答過程】如圖，AC=m，AM=n∵AC?AM∵AC=AB+BC∴BD=故選：C.【題型4向量的線性運算】【例4】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知向量a,b，則2aA．a(chǎn)+b C．3a+b【解題思路】直接由向量的線性運算即可求解.【解答過程】由題意2a故選：D.【變式4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在△ABC中，NA+NC=A．NM=?13C．NM=?13【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運算法則，準(zhǔn)確化簡、運算，即可求解.【解答過程】在△ABC中，因為NA+NC=0，所以又因為BM=2MC，所以M為線段BC的靠近所以NM=故選：D．【變式4-2】（24-25高二上·北京朝陽·階段練習(xí)）12a+2A．?52aC．?52a【解題思路】根據(jù)向量的加減法即可得到答案.【解答過程】12故選：C.【變式4-3】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）在△ABC中，點D在邊BC上，且BD=13BC，E為AD的中點，則ACA．2AB+6AE B．6AB+2AE【解題思路】由BC=3【解答過程】如圖所示：

因為BC=3BD，所以得AC=3得AC=3×2得AC=?2故選：C.【題型5根據(jù)向量線性運算求參數(shù)】【例5】（2024·山東·模擬預(yù)測）在正六邊形ABCDEF中，CH=2HD，若AH=xAB+yA．83 B．3 C．103 【解題思路】根據(jù)向量的線性運算法則和運算律求解即可.【解答過程】AH=AB所以x=2,y=53，所以故選：D.【變式5-1】（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，M是邊BC的中點，P是AM上一點，且BP=23BA+m

A．16 B．13 C．12【解題思路】設(shè)AP=λ【解答過程】設(shè)AP=λAM，因為M是邊BC的中點，所以所以AM=BP=又BP=23BA+m故選：A．【變式5-2】（2024·廣西·模擬預(yù)測）在△ABC中，AB=4AD，CE=2ED.若A．λ+μ=5 B．λ?μ=1 C．λμ=6 D．λ【解題思路】將向量AE，CD看作基底，利用向量的加減法法則以及數(shù)乘的運算法則，得到BC=【解答過程】依題意，AB=4所以BC=又因為CE=2所以BC=?CD所以λ=?3，μ=?2，所以λ+μ=?5，λ?μ=?1，λμ=6，λμ故選：C．【變式5-3】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，M為BC的靠近點C的三等分點，AC與MD相交于點P，若AP=xAB+yAD，則A．23 B．916 C．34【解題思路】利用平行分線段成比例得到APPC【解答過程】因為平行四邊形ABCD中，M為BC的靠近點C的三等分點，AC與MD相交于點P，所以APPC所以AP=34所以x=y=34，故選：B.【題型6向量共線定理及其應(yīng)用】【例6】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量e1，e2是平面上兩個不共線的單位向量，且AB=e1+2eA．A、B、C三點共線 B．A、B、D三點共線C．A、C、D三點共線 D．B、C、D三點共線【解題思路】根據(jù)向量a,b共線則【解答過程】對A，因為AB=e1+2e2，BC=?3e1+2e對B，因為AB=e1+2e2，DA=3e1?6e對C，因為AC=AB+BC=?2e1+4e2，對D，因為BC=?3e1+2e2，BD=?DA?AB=故選：C.【變式6-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知a，b是兩個不共線的向量，命題甲：向量ta+b與a?2bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用向量共線定理即可判斷.【解答過程】對于命題甲，可設(shè)ta+b則t=λ1=?2λ，所以t=λ=?對于命題乙，t=?12時，ta+b故甲是乙的充要條件.故選：C.【變式6-2】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知點A,B,C是直線l上相異的三點，O為直線l外一點，且2OA=3OB+λOCA．?1 B．1 C．?12 【解題思路】化簡得OA=【解答過程】2OA=3OB因為點A,B,C是直線l上相異的三點，則點A,B,C三點共線，則32+λ故選：A.【變式6-3】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知向量a,b不共線，AB=λa+b,AC=A．5 B．4 C．3 D．2【解題思路】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解.【解答過程】因為A,B,C三點共線，所以存在實數(shù)k，使AB→=kAC又向量a,b不共線，所以由λ>0,μ>0，所以λ+4μ≥24λμ當(dāng)且僅當(dāng)λ=4μ=2時，取等號，即λ+4μ的最小值為4.故選：B.1．（2022·全國·高考真題）已知向量a,b滿足|a|=1,|bA．?2 B．?1 C．1 D．2【解題思路】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【解答過程】解：∵|a又∵|∴9=1?4a∴a故選：C.2．（2023·全國·高考真題）已知向量a,b,c滿足a=b=1,A．?45 B．?25 C．【解題思路】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【解答過程】因為a+b+即a2+b2+2如圖,設(shè)OA=由題知,OA=OB=1,OC=2AB邊上的高OD=2所以CD=CO+OD=2tan∠ACD=cos=2×3故選:D.3．（2023·全國·高考真題）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為BC的中點，若PO=2，則PA?A．1+22 C．1+2 D．【解題思路】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得PA?PD=12?22【解答過程】如圖所示，OA=1,OP=由勾股定理可得PA

當(dāng)點A,D位于直線PO異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)∠OPC=則：PA?PD=1×====0≤α<π4∴當(dāng)2α?π4=?π4

當(dāng)點A,D位于直線PO同側(cè)時，設(shè)∠OPCα,0則：PA?PD=1×====10≤α<π4∴當(dāng)2α+π4=π2綜上可得，PA?PD的最大值為故選：A.4．（2024·北京·高考真題）設(shè)a，b是向量，則“a+b·a?b=0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知a+b?【解答過程】因為a+b?a?可知a+b?若a=b或a=?b，可得若a+b?a?b=0例如a=1,0,b=0,1，滿足綜上所述，“a+b?a?故選：B.5．（2024·全國·高考真題）已知向量a,b滿足a=1,a+2b=2A．12 B．22 C．3【解題思路】由b?2a⊥b得b2【解答過程】因為b?2a⊥b，所以又因為a=1,所以1