第22章一元二次方程22．2一元二次方程的解法*5.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系A(chǔ)返回1．[教材P36習(xí)題T11(2)]已知關(guān)于x的一元二次方程x2－5x＋2m＝0有一個(gè)根為－2，則另一個(gè)根為(

)A．7

B．3

C．－7

D．－32．[教材P35練習(xí)T2]方程x2＋3x－6＝0與x2－6x＋10＝0的所有實(shí)數(shù)根的乘積等于(

)A．－60B．3C．－6D．10【點(diǎn)撥】【答案】C易得方程x2＋3x－6＝0的兩根之積等于－6，方程x2－6x＋10＝0沒有實(shí)數(shù)根，∴兩方程的所有實(shí)數(shù)根的乘積等于－6，故選C.返回3．關(guān)于x的方程(x－1)(x＋2)－p2＝0(p為常數(shù))的根的情況，下列結(jié)論中正確的是(

)A．兩個(gè)正根B．兩個(gè)負(fù)根C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根D．無(wú)實(shí)數(shù)根【點(diǎn)撥】【答案】C化簡(jiǎn)關(guān)于x的方程(x－1)(x＋2)－p2＝0(p為常數(shù))，得x2＋x－2－p2＝0，∴Δ＝1＋8＋4p2＝9＋4p2>0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得方程的兩個(gè)根的積為－2－p2<0，∴方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根異號(hào)．返回4．返回[2025揭陽(yáng)期中]小明和小紅一起做作業(yè)，在解一個(gè)一元二次方程時(shí)，小明在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，得到兩個(gè)根分別是2和5；小紅在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，得到兩個(gè)根分別是2和6，則此方程正確的解可以為(

)A．x1＝x2＝2B．x1＝5，x2＝6C．x1＝3，x2＝4

D．此方程無(wú)解C5．返回若一元二次方程x2－4x－3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是a，b，則一次函數(shù)y＝abx＋a＋b的圖象一定不經(jīng)過(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限C6．返回已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(x1－x2)2＋3x1x2的值是________．147．[2024內(nèi)江]已知關(guān)于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p為常數(shù))有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2.(1)填空：x1＋x2＝________，x1x2＝________；p1(3)已知x12＋x22＝2p＋1，求p的值．【解】∵

x12＋x22＝2p＋1，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1，∴p2－2＝2p＋1，解得p1＝3，p2＝－1.∵該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ>0.當(dāng)p＝3時(shí)，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0；當(dāng)

p＝－1時(shí)，Δ＝p2－4＝－3＜0.∴p＝3.返回8．【點(diǎn)撥】【答案】B返回9．【點(diǎn)撥】【答案】A返回10．10x2＋3x－1＝0【點(diǎn)撥】返回11．已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，且m≠n.若a≥3，則代數(shù)式(m－1)2＋(n－1)2的最小值是________．3【點(diǎn)撥】由題意知，m2＋1＝am，n2＋1＝an，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝am＋an－2m－2n＝a(m＋n)－2(m＋n)＝(a－2)(m＋n)．∵實(shí)數(shù)m，n滿足m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，且m≠n，∴m，n可看作關(guān)于x的一元二次方程x2－ax＋1＝0的兩根，∴m＋n＝a，∴(m－1)2＋(n－1)2＝a(a－2)＝a2－2a＝(a－1)2－1.∵a≥3，∴當(dāng)a＝3時(shí)，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，最小值為(3－1)2－1＝3.返回12．已知△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2－2(n－1)x＋n2－2n＝0的兩個(gè)根，第三邊BC的長(zhǎng)是10.當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為________．32或28【點(diǎn)撥】∵Δ＝[－2(n－1)]2－4(n2－2n)＝4＞0，∴無(wú)論x取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即AB≠AC.∵第三邊BC的長(zhǎng)是10，∴當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，AB＝BC＝10或AC＝BC＝10，∴x＝10為一元二次方程的一個(gè)根，∴100－20(n－1)＋n2－2n＝0，解得n＝12或n＝10.設(shè)等腰三角形ABC的底邊長(zhǎng)為m.①當(dāng)n＝12時(shí)，方程為x2－22x＋120＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得m＋10＝22，∴m＝12，∴△ABC的周長(zhǎng)為10＋10＋12＝32；②當(dāng)n＝10時(shí)，方程為x2－18x＋80＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得10＋m＝18，解得m＝8，∴△ABC的周長(zhǎng)為10＋10＋8＝28.綜上，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為32或28.返回13．[2024遂寧]已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0.(1)求證：無(wú)論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；【解】∵Δ＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋4m＋4－4m＋4＝m2＋8>0，∴無(wú)論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝9，求m的值．∵方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，∴x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1.∵x12＋x22－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9，∴(m＋2)2－3(m－1)＝9.整理，得m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1.∴m的值為－2或1.返回14．返回15．請(qǐng)先說明μ＋2α＝1，再直接(不必書寫過程)寫一個(gè)三次方程且使得該三次方程的三個(gè)根分別為－α＋β＋γ，α－β＋γ，α＋β－γ.【解】由根與系數(shù)的關(guān)系，可得α＋β＋γ＝1，αβ＋αγ＋βγ＝－3，αβγ＝10，∴μ＋2α＝(－α＋β＋γ)＋2α＝α＋β＋γ＝1.新方程為x3－x2－13x－93＝0.【點(diǎn)撥】由題意可設(shè)新方程為x3＋mx2＋nx＋p＝0，∵α＋β＋γ＝1，∴新的三次方程的三個(gè)根分別可化為1－2α，1－2β，1－2γ，∴(1－2α)＋(1－2β)＋(1－2γ)＝－m，(1－2α)(1－2β)＋(1－2α)(1－2γ)＋(1－2β)(1－2γ)＝n，(1－2α)(1－2β)(1－2γ)＝p，∴m＝－[3－2(α＋β＋γ)]＝－(3－2)＝－1