高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期兩校聯(lián)考期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，且對于平面外一點(diǎn)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，且，所以，解得.故選：D.2．直線的傾斜角為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】，，設(shè)傾斜角為，，，，，.故選：A.3．已知點(diǎn)A，B分別是直線與直線上的點(diǎn)，則的最小值為（

）A．0 B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知直線，所以當(dāng)，且時(shí)，有最小值，其最小值為平行直線與的距離，直線的方程可化為，所以故選：C.4．在正方體中，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)正方體棱長為2，取中點(diǎn)E,BC中點(diǎn)F連接,,,四邊形為平行四邊形，.,,四邊形為平行四邊形，.為與所成角.在中，,.與所成角的余弦值為.故選：D.

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，，，，M為PB的中點(diǎn)，若PC上存在一點(diǎn)N使得平面平面AMN，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，由，所以，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，如圖所示，由平面，平面，所以，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，由，為的中點(diǎn)，且，所以，又由，所以，所以.故選：B.6．已知向量，，若與共線，則（

）A．12 B．9 C． D．【答案】C【解析】由向量，共線，故存在，使得，即，解得，，所以．故選：C．7．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262—公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)，若圓上不存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】設(shè)點(diǎn)．若，則，整理得．所以點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，半徑的圓．圓是以為圓心，r為半徑的圓，由題意可得或．又，所以或，解得或或．又，所以或，即的取值范圍是．故選：C．8．已知正方體的棱長為2，為正方體內(nèi)一點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，知點(diǎn)在四邊形內(nèi)，設(shè)的中點(diǎn)為，則．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．又因?yàn)?，，，平面，所以平面，平面，所以，則，所以點(diǎn)在以為圓心，的半圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡長度為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分.9．如圖，在正三棱柱中，側(cè)棱長為3，，空間中一點(diǎn)滿足，則（

）

A．若，則三棱錐的體積為定值B．若，則點(diǎn)的軌跡長度為3C．若，則的最小值為D．若，則點(diǎn)到的距離的最小值為【答案】ACD【解析】

對A，若，分別作棱，的中點(diǎn)，，連接，則在線段上，易知平面，故點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；若，分別作，的中點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡為線段，易知，故B錯(cuò)誤；若，則，，三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在線段上，易求點(diǎn)到的距離為，故的最小值為，故C正確；若，則點(diǎn)在線段上，易證，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，，所以，所以，所以點(diǎn)到的距離，所以當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD.10．在中，記角的對邊分別為，則（

）A．若，，，則解此三角形有兩解B．若為銳角三角形，則C．的充要條件為D．若，則為等腰直角三角形【答案】ABC【解析】對于A，由余弦定理得：，即，解得：或，此三角形有兩解，A正確；對于B，為銳角三角形，，，，，，，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，由正弦定理知：，充分性成立；當(dāng)時(shí)，由正弦定理知：，，必要性成立；的充要條件是，C正確；對于D，，由正弦定理可得：，，，或，或，即為等腰三角形或直角三角形，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．直線與圓相切，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由，可得，知其圓心為，半徑為，依題意，圓心到直線的距離為，解得或.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知直線：，直線：，若，則.【答案】2【解析】由直線：與直線：平行，得，解得，所以.故答案為：2.13．已知長方體中，，，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為．【答案】【解析】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、、依次為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，2，，，0，，，0，，，4，，從而，0，，，2，0），，4，0），設(shè)平面的法向量為，，，由可得，令，所以點(diǎn)到平面的距離為：．故答案為：．14.．如圖，在直三棱柱中，，，是線段的中點(diǎn)，在內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則的最小值是.【答案】【解析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)A關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，，則，．設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以，所以A與到平面的距離，即

①．又，所以，即

②．由①②得，由可得，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故答案為.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．直線與直線相交于點(diǎn)P，直線l經(jīng)過點(diǎn)P.(1)若直線，求直線l的方程；(2)若直線l在坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程.解：（1）聯(lián)立得即.因?yàn)椋环猎O(shè)直線l的方程為，將點(diǎn)代入，得，所以直線l的方程為.（2）當(dāng)直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線l的方程是，即；當(dāng)直線l不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為，將點(diǎn)代入，得，所以直線l的方程為，即.綜上所述，直線l的方程是或.16．在中，角，，的對邊分別是，，，.(1)求；(2)若，，是邊上一點(diǎn)，且__________，求的長.在①平分；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到題干中的橫線位置，并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1），，，，，，，，，，即（2）若選①，則，如圖，設(shè)，則，即，解得，所以.若選②，則為中點(diǎn)，如圖，所以，則，所以，即.若選③，如圖，由余弦定理可得，即，，因?yàn)?，設(shè)，則在和中，，即，解得，即.17．如圖，四棱錐中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)若是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小.（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，為的中點(diǎn)，，所以.在中，由余弦定理得，因?yàn)椋?，?因?yàn)椋?，所?又因?yàn)槠矫妫云矫?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：由（1）得兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，于是.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得.設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得，故直線與平面所成的角為.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，并且圓心在軸上，圓與軸正半軸的交點(diǎn)為.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為圓的動(dòng)弦，且不經(jīng)過點(diǎn)，記、分別為弦、的斜率.（i）若，求面積的最大值；（ii）若，請判斷動(dòng)弦是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知可得：，解得：，，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）由（1）知，因?yàn)?，所以，從而直線經(jīng)過圓心，是直角三角形，且，設(shè)，，則，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.（ii）由已知得：直線的斜率必存在，設(shè)直線的方程為，，，由，消去得：，當(dāng)時(shí)，，，（※）又，即，代入（※）得：，即，解得：，或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線的方程為，過定點(diǎn)（舍去），當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線的方程為，過定點(diǎn)，故當(dāng)，動(dòng)弦過定點(diǎn).19．球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科．如圖，球O的半徑為R．A，B，C為球面上三點(diǎn)，設(shè)表示以O(shè)為圓心且過A，B的圓，表示以O(shè)為圓心且過B，C的圓，表示以O(shè)為圓心且過A，C的圓，由圓的劣弧圍成的曲面（陰影部分）叫做球面三角形，若設(shè)二面角分別為，則球面三角形的面積為（R為球半徑）．已知．(1)若平面，平面，平面兩兩垂直，求球面三角形的面積；(2)若平面三角形為直角三角形，，．則：①求證：；②延長與球O交于點(diǎn)D．若直線與平面所成的角分別為，S為中點(diǎn)，T為中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值以及此時(shí)平面截球O的截面面積．（1）解：若平面兩兩垂直，有，所以球面三角形面積為．（2）①證明：由余弦定理有：，且，消掉，可得；②解：由是球的直徑，則，且，平面，所以平面，且平面，則，且，平面，可得平面，由直線與平面所成的角分別為，所以，由于，則，由，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為x，y軸，過點(diǎn)C作的平行線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，則設(shè)平面法向量，則，取，則，可得，設(shè)平面法向量，則，取，則，可得，要使取最小值時(shí)，則取最大值，因?yàn)椋?，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等，則取最大值，為最小值，此時(shí)點(diǎn)，可得，設(shè)平面中的法向量，則，取，則，可得，,可得球心O到平面距離為，設(shè)平面截球O圓的半徑為r，則，所以截面圓面積為．廣東省2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期兩校聯(lián)考期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，且對于平面外一點(diǎn)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，且，所以，解得.故選：D.2．直線的傾斜角為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】，，設(shè)傾斜角為，，，，，.故選：A.3．已知點(diǎn)A，B分別是直線與直線上的點(diǎn)，則的最小值為（

）A．0 B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知直線，所以當(dāng)，且時(shí)，有最小值，其最小值為平行直線與的距離，直線的方程可化為，所以故選：C.4．在正方體中，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)正方體棱長為2，取中點(diǎn)E,BC中點(diǎn)F連接,,,四邊形為平行四邊形，.,,四邊形為平行四邊形，.為與所成角.在中，,.與所成角的余弦值為.故選：D.

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，，，，M為PB的中點(diǎn)，若PC上存在一點(diǎn)N使得平面平面AMN，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，由，所以，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，如圖所示，由平面，平面，所以，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，由，為的中點(diǎn)，且，所以，又由，所以，所以.故選：B.6．已知向量，，若與共線，則（

）A．12 B．9 C． D．【答案】C【解析】由向量，共線，故存在，使得，即，解得，，所以．故選：C．7．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262—公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)，若圓上不存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】設(shè)點(diǎn)．若，則，整理得．所以點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，半徑的圓．圓是以為圓心，r為半徑的圓，由題意可得或．又，所以或，解得或或．又，所以或，即的取值范圍是．故選：C．8．已知正方體的棱長為2，為正方體內(nèi)一點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，知點(diǎn)在四邊形內(nèi)，設(shè)的中點(diǎn)為，則．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．又因?yàn)椋?，，平面，所以平面，平面，所以，則，所以點(diǎn)在以為圓心，的半圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡長度為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分.9．如圖，在正三棱柱中，側(cè)棱長為3，，空間中一點(diǎn)滿足，則（

）

A．若，則三棱錐的體積為定值B．若，則點(diǎn)的軌跡長度為3C．若，則的最小值為D．若，則點(diǎn)到的距離的最小值為【答案】ACD【解析】

對A，若，分別作棱，的中點(diǎn)，，連接，則在線段上，易知平面，故點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；若，分別作，的中點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡為線段，易知，故B錯(cuò)誤；若，則，，三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在線段上，易求點(diǎn)到的距離為，故的最小值為，故C正確；若，則點(diǎn)在線段上，易證，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，，所以，所以，所以點(diǎn)到的距離，所以當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD.10．在中，記角的對邊分別為，則（

）A．若，，，則解此三角形有兩解B．若為銳角三角形，則C．的充要條件為D．若，則為等腰直角三角形【答案】ABC【解析】對于A，由余弦定理得：，即，解得：或，此三角形有兩解，A正確；對于B，為銳角三角形，，，，，，，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，由正弦定理知：，充分性成立；當(dāng)時(shí)，由正弦定理知：，，必要性成立；的充要條件是，C正確；對于D，，由正弦定理可得：，，，或，或，即為等腰三角形或直角三角形，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．直線與圓相切，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由，可得，知其圓心為，半徑為，依題意，圓心到直線的距離為，解得或.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知直線：，直線：，若，則.【答案】2【解析】由直線：與直線：平行，得，解得，所以.故答案為：2.13．已知長方體中，，，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為．【答案】【解析】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、、依次為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，2，，，0，，，0，，，4，，從而，0，，，2，0），，4，0），設(shè)平面的法向量為，，，由可得，令，所以點(diǎn)到平面的距離為：．故答案為：．14.．如圖，在直三棱柱中，，，是線段的中點(diǎn)，在內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則的最小值是.【答案】【解析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)A關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，，則，．設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以，所以A與到平面的距離，即

①．又，所以，即

②．由①②得，由可得，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故答案為.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．直線與直線相交于點(diǎn)P，直線l經(jīng)過點(diǎn)P.(1)若直線，求直線l的方程；(2)若直線l在坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程.解：（1）聯(lián)立得即.因?yàn)?，不妨設(shè)直線l的方程為，將點(diǎn)代入，得，所以直線l的方程為.（2）當(dāng)直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線l的方程是，即；當(dāng)直線l不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為，將點(diǎn)代入，得，所以直線l的方程為，即.綜上所述，直線l的方程是或.16．在中，角，，的對邊分別是，，，.(1)求；(2)若，，是邊上一點(diǎn)，且__________，求的長.在①平分；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到題干中的橫線位置，并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1），，，，，，，，，，即（2）若選①，則，如圖，設(shè)，則，即，解得，所以.若選②，則為中點(diǎn)，如圖，所以，則，所以，即.若選③，如圖，由余弦定理可得，即，，因?yàn)椋O(shè)，則在和中，，即，解得，即.17．如圖，四棱錐中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)若是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小.（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，為的中點(diǎn)，，所以.在中，由余弦定理得，因?yàn)椋?，?因?yàn)椋?，所?又因?yàn)槠矫妫云矫?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：由（1）得兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，于是.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得.設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得，故直線與平面所成的角為.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，并且圓心在軸上，圓與軸正半軸的交點(diǎn)為.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為圓的動(dòng)弦，且不經(jīng)過點(diǎn)，記、分別為弦、的斜率.（i）若，求面積的最大值；（ii）若，請判斷動(dòng)弦是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.解：（1）設(shè)圓