高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省九師聯(lián)盟2025-2026學年高二上學期10月質量檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.已知點是點在坐標平面內的射影，則（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】因為是點在坐標平面內的射影，所以，，所以，故選：B.3.下列命題錯誤的是（）A.零向量不能作為直線的一個方向向量B.若向量是平面的一個法向量，則也是平面的一個法向量C.在長方體中，是底面的一個法向量D.單位向量都是相等向量【答案】D【解析】由直線的方向向量規(guī)定為一個非零向量，所以不能作為直線的一個方向向量，故A正確；向量是平面的一個法向量,則共線向量也是平面的一個法向量，故B正確；在長方體中，因為側棱與底面垂直，所以是底面的一個法向量，故C正確；單位向量模相等，但方向不一定相同，故不一定是相等向量，故D錯誤.故選：D.4.若平面，的法向量分別為，，則平面與的位置關系是（）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.無法確定【答案】C【解析】平面，的法向量分別為，，則不平行，則平面，不平行，又，則平面，不垂直，故平面與相交但不垂直.故選：C.5.已知平面經(jīng)過點，為平面的一個法向量，點是平面內異于點的任意一點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為是平面的一個法向量，所以，故，即，故選：B.6.如圖1，正方形中，，，是的中點.將沿折疊到的位置，使得平面平面（如圖2），則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，如圖，由題意可知，，又平面平面，是交線，平面，所以平面，又平面，所以，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，，由，，知為的中點，則，,,，設平面的一個法向量，則，令，則，即，設直線與平面所成角為，則，故選：C.7.已知空間向量，，共面，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】由共面可知，存在實數(shù)使得，即，所以，解得.故選：A.8.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點是四邊形內部的一點，且平面與平面的夾角為，則點的軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，則.由平面與平面的夾角為，知點在以為端點的一條線段上，設直線與軸的交點為，平面的一個法向量為，設平面的法向量為，，則取，故平面的一個法向量為.又由平面與平面的夾角為，得，解得，所以點的軌跡的長度為.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，，則下列說法正確的是（）A.向量，夾角為B.C.若是坐標原點，且，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為D.向量在向量上的投影向量為【答案】AC【解析】選項A：計算數(shù)量積：，模長：，，夾角余弦：，因此

，故選項A正確；選項B：計算：，，模長：，故選項B錯誤；選項C：以，為鄰邊的平行四邊形的面積，故選項C正確；選項D：向量在向量上的投影向量為：，，，代入得：，故選項D錯誤.故選：AC.10.如圖，在平行六面體中，與相交于點，記，，，為的重心，則（）A. B.C D.【答案】BC【解析】由，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.故選：BC.11.如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，的中點，點是正方形內部任意一點（包括邊界），則（）A.的長度的最大值為B.若平面，則點為的一個三等分點C.平面截正方體所得截面的周長為D.直線與平面所成角的正弦值最大為【答案】ABD【解析】A：建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，當時，長度的最大值為，此時點與點重合，故本選項正確；B：，設平面的法向量為，，，所以有，可取，當平面時，則有，則有，即，，，顯然，所以點為的一個三等分點，因此本選項正確；C：如上圖所示：截面是五邊形，顯然，由平面幾何知識可知，因為，所以，得，同理，可得，于是，，，，所以平面截正方體所得截面的周長為，因此本選項說法不正確；D：由上可知平面的法向量為，，直線與平面所成角的正弦值為，因為，所以有，當且僅當時取等號，于是有，當且僅當時取等號，所以直線與平面所成角的正弦值最大為，因此本選項說法正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.點關于軸對稱的點的坐標為______.【答案】【解析】根據(jù)空間直角坐標系的定義，可得點關于軸對稱的點的坐標為.故答案為：.13.在空間直角坐標系中，軸上一點到點和的距離相等，則點的坐標為______.【答案】【解析】設，因為，所以，解得，故點的坐標為.故答案為：.14.如圖，在四棱錐中，，，，，，在棱上，若，，，四點共面，則______.【答案】【解析】由題知，設，則，又，且，因為，，，四點共面，所以，即，又因為，則，即，所以，所以，所以，所以，解得，故，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量（其中，為實數(shù)）是直線的方向向量，向量是平面的法向量.（1）若，求的最小值；（2）若，求，的值.解：（1）由向量是直線的方向向量，向量是平面的法向量，若，則，可得，所以，則，當時，取得最小值，最小值為.（2）若，可得，所以，可得，由，代入可得.16.已知是空間的一個基底，向量.（1）證明：是空間的另一個基底；（2）用基底表示向量．（1）證明：由是空間的一個基底，得不共面，假設向量共面，則必存在唯一的實數(shù)對，使得，即，則共面，與不共面矛盾，因此不共面，所以是空間的另一個基底.（2）解：用基底表示向量，則，又，因此，解得，所以.17.如圖，在平行六面體中，，且，.（1）分別求，的長；（2）證明：.（1）解：因為，且，，故，又，故，由于，所以，（2）證明：，所以．18.如圖，在四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，⊥底面，，為的中點，.（1）證明：平面；（2）當時，求的中點到平面的距離；（3）當直線與平面所成的角為時，求的值.（1）證明：是邊長為的正方形，，又平面，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，為的中點，，取的中點，則，所以，，，平面，平面.//平面.（2）解：，設平面的一個法向量為，則令，則，得.當時，為的中點，.設的中點為，則，.點到平面的距離．故的中點到平面的距離.（3）解：，，，由（2）知平面一個法向量.設直線與平面所成的角為，則.即，解得或（舍去），故當時，直線與平面所成的角為.19.如圖，在四棱錐中，底面為長方形，，為的中點，，，.（1）證明：平面；（2）點為底面所在平面內的任意一點（在長方形外，和均為銳角），且.（i）若平面和平面的夾角為，求的最大值；（ii）請判斷是否存在點，使得五棱錐存在外接球，若存在，求出外接球的半徑；若不存在，請說明理由.（1）證明：因為，所以，所以，故．又平面，所以平面．又平面，所以．因為，所以，所以，即．又平面，所以平面．（2）解：如圖，取的中點，連接，則．以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則．設，由，得．又在長方形外，和均為銳角，所以．可化為，兩邊平方后，整理得，故，整理可得．（i）解：設平面的法向量為，由，得取，得，故平面的一個法向量為．設平面的法向量為．得取，得，故平面的一個法向量為．則．令，則，所以．由函數(shù)單調遞增，得當時，取最大值，最大值為．（ii）解：設和交于點，則．若五棱錐存在外接球，則球心在過點且垂直于平面的直線上，設球心，必有．，解得，，則．又，所以，解得或，由題知，且，即，但都不在這個范圍內，故不存在點，使得五棱錐存在外接球．

河南省九師聯(lián)盟2025-2026學年高二上學期10月質量檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.已知點是點在坐標平面內的射影，則（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】因為是點在坐標平面內的射影，所以，，所以，故選：B.3.下列命題錯誤的是（）A.零向量不能作為直線的一個方向向量B.若向量是平面的一個法向量，則也是平面的一個法向量C.在長方體中，是底面的一個法向量D.單位向量都是相等向量【答案】D【解析】由直線的方向向量規(guī)定為一個非零向量，所以不能作為直線的一個方向向量，故A正確；向量是平面的一個法向量,則共線向量也是平面的一個法向量，故B正確；在長方體中，因為側棱與底面垂直，所以是底面的一個法向量，故C正確；單位向量模相等，但方向不一定相同，故不一定是相等向量，故D錯誤.故選：D.4.若平面，的法向量分別為，，則平面與的位置關系是（）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.無法確定【答案】C【解析】平面，的法向量分別為，，則不平行，則平面，不平行，又，則平面，不垂直，故平面與相交但不垂直.故選：C.5.已知平面經(jīng)過點，為平面的一個法向量，點是平面內異于點的任意一點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為是平面的一個法向量，所以，故，即，故選：B.6.如圖1，正方形中，，，是的中點.將沿折疊到的位置，使得平面平面（如圖2），則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，如圖，由題意可知，，又平面平面，是交線，平面，所以平面，又平面，所以，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，，由，，知為的中點，則，,,，設平面的一個法向量，則，令，則，即，設直線與平面所成角為，則，故選：C.7.已知空間向量，，共面，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】由共面可知，存在實數(shù)使得，即，所以，解得.故選：A.8.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點是四邊形內部的一點，且平面與平面的夾角為，則點的軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，則.由平面與平面的夾角為，知點在以為端點的一條線段上，設直線與軸的交點為，平面的一個法向量為，設平面的法向量為，，則取，故平面的一個法向量為.又由平面與平面的夾角為，得，解得，所以點的軌跡的長度為.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，，則下列說法正確的是（）A.向量，夾角為B.C.若是坐標原點，且，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為D.向量在向量上的投影向量為【答案】AC【解析】選項A：計算數(shù)量積：，模長：，，夾角余弦：，因此

，故選項A正確；選項B：計算：，，模長：，故選項B錯誤；選項C：以，為鄰邊的平行四邊形的面積，故選項C正確；選項D：向量在向量上的投影向量為：，，，代入得：，故選項D錯誤.故選：AC.10.如圖，在平行六面體中，與相交于點，記，，，為的重心，則（）A. B.C D.【答案】BC【解析】由，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.故選：BC.11.如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，的中點，點是正方形內部任意一點（包括邊界），則（）A.的長度的最大值為B.若平面，則點為的一個三等分點C.平面截正方體所得截面的周長為D.直線與平面所成角的正弦值最大為【答案】ABD【解析】A：建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，當時，長度的最大值為，此時點與點重合，故本選項正確；B：，設平面的法向量為，，，所以有，可取，當平面時，則有，則有，即，，，顯然，所以點為的一個三等分點，因此本選項正確；C：如上圖所示：截面是五邊形，顯然，由平面幾何知識可知，因為，所以，得，同理，可得，于是，，，，所以平面截正方體所得截面的周長為，因此本選項說法不正確；D：由上可知平面的法向量為，，直線與平面所成角的正弦值為，因為，所以有，當且僅當時取等號，于是有，當且僅當時取等號，所以直線與平面所成角的正弦值最大為，因此本選項說法正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.點關于軸對稱的點的坐標為______.【答案】【解析】根據(jù)空間直角坐標系的定義，可得點關于軸對稱的點的坐標為.故答案為：.13.在空間直角坐標系中，軸上一點到點和的距離相等，則點的坐標為______.【答案】【解析】設，因為，所以，解得，故點的坐標為.故答案為：.14.如圖，在四棱錐中，，，，，，在棱上，若，，，四點共面，則______.【答案】【解析】由題知，設，則，又，且，因為，，，四點共面，所以，即，又因為，則，即，所以，所以，所以，所以，解得，故，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量（其中，為實數(shù)）是直線的方向向量，向量是平面的法向量.（1）若，求的最小值；（2）若，求，的值.解：（1）由向量是直線的方向向量，向量是平面的法向量，若，則，可得，所以，則，當時，取得最小值，最小值為.（2）若，可得，所以，可得，由，代入可得.16.已知是空間的一個基底，向量.（1）證明：是空間的另一個基底；（2）用基底表示向量．（1）證明：由是空間的一個基底，得不共面，假設向量共面，則必存在唯一的實數(shù)對，使得，即，則共面，與不共面矛盾，因此不共面，所以是空間的另一個基底.（2）解：用基底表示向量，則，又，因此，解得，所以.17.如圖，在平行六面體中，，且，.（1）分別求，的長；（2）證明：.（1）解：因為，且，，故，又，故，由于，所以，（2）證明：，所以．18.如圖，在四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，⊥底面，，為的中點，.（1）證明：平面；（2）當時，求的中點到平面的距離；（3）當直線與平面所成的角為時，求的值.（1）證明：是邊長為的正方