1.探索并證明角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.2.區(qū)別角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理并靈活運(yùn)用.重點(diǎn)難點(diǎn)你還記得上節(jié)課所學(xué)的角平分線的性質(zhì)定理嗎？角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.反過來，交換這個(gè)性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論，得到的命題還成立嗎?也就是說，到角兩邊距離相等的點(diǎn)一定在角的平分線上嗎?證明：∵PE⊥OB，PD⊥OA，∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，

PE=PD，PO=PO，

∴Rt△PEO≌Rt△PDO(HL).

∴∠AOC=∠BOC.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.探究

如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐歸納總結(jié)角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.角的平分線的判定：符號(hào)語言：∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐從上面兩個(gè)結(jié)論可以看出，角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；反過來，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.所以在角的內(nèi)部，角的平分線(頂點(diǎn)除外)可以看成到角兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合.角的平分線的性質(zhì)及判定的關(guān)系：特別提醒：角的平分線的性質(zhì)是證兩條線段相等的依據(jù)，角的平分線的判定是證兩角相等的依據(jù)，在應(yīng)用時(shí)不要混淆.溫馨提示A

B

C

P

N

M

例

如圖，△ABC的角平分線

BM，CN相交于點(diǎn)

P.求證：(1)點(diǎn)

P到三邊

AB，BC，CA

的距離相等;分析：由已知可得點(diǎn)P到邊AB，BC的距離相等，點(diǎn)P到邊BC，CA的距離相等，由此可得點(diǎn)P到三邊的距離相等.(2)△ABC的三條角平分線交于一點(diǎn).D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明：過點(diǎn)

P作

PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分別為

D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC

的角平分線，點(diǎn)

P

在

BM

上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)

P到三邊

AB，BC，CA的距離相等.例

如圖，△ABC的角平分線

BM，CN相交于點(diǎn)

P.求證：(1)點(diǎn)

P到三邊

AB，BC，CA

的距離相等;分析：要證△ABC的三條角平分線交于一點(diǎn)，只要證點(diǎn)P也在∠A的平分線上.證明：由(1)得，點(diǎn)P到邊AB，CA的距離相等，∴點(diǎn)P在∠A的平分線上.∴△ABC的三條角平分線交于一點(diǎn).例

如圖，△ABC的角平分線

BM，CN相交于點(diǎn)

P.求證：(2)△ABC的三條角平分線交于一點(diǎn).D

E

F

A

B

C

P

N

M

變式

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)且到△ABC三邊的距離相等，若∠BOC＝108°，則∠OCB的度數(shù)為(

B

)BA.22.5°

B.27°C.30°D.35°歸納總結(jié)三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

1.如圖，BM是∠ABC內(nèi)部的一條射線，已知MP⊥AB于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，添加下列條件，一定可以判定BM平分∠ABC的是()A.BP=QMB.MP=MQC.∠PBM=∠BMQD.BM=2PMACQPBMB2.三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是()A.三條高線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)ABCC3.如圖，D是△ABC的三條內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，已知AB：BC：AC=4：3：5，則S△ABD：S△BCD：S△ACD=___________.ADCB4∶3∶5分析：過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，HFE

根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DH=DE=DF，再根據(jù)三角形的面積求出即可.4.如圖，點(diǎn)B，C分別在∠A的兩邊上，D是∠A內(nèi)一點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且AB=AC，DE=DF，求證：BD=CD.證明：如圖，連接AD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD=CD.ABEDCFAB=AC∠BAD=∠CADAD=AD5.如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC.求證：AM是∠DAB的平分線.∵DM平分∠ADC，∠C=∠DNM=90°，∴MN=MC(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)，N證明：過點(diǎn)M作MN⊥AD于N，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴MC=MB，

∴MC=MB