2.1.2兩條直線平行和垂直的判定

人教A版（2019）選擇性必修一學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)直線的斜率判定兩條直線平行或垂直，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點）2.根據(jù)兩條直線平行或垂直來解決實際問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計算能力（難點）1新課導(dǎo)入為了在平面直角坐標(biāo)系中用代數(shù)方法表示直線，我們從確定直線位置的幾何要素出發(fā)，引入直線的傾斜角，再利用傾斜角與直線上點的坐標(biāo)關(guān)系引入直線的斜率，從數(shù)的角度刻畫了直線相對于x軸的傾斜程度，并導(dǎo)出了用直線上任意兩點的坐標(biāo)計算斜率的公式，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，下面，我們通過直線的斜率判斷兩條直線的位置關(guān)系.新課學(xué)習(xí)34平面中兩條直線有什么位置關(guān)系？相交、平行當(dāng)兩條直線l1與直線

l2平行時，它們的斜率k1與k2滿足什么關(guān)系？如圖，若

l1∥l2，則

l1與

l2的傾斜角

α1與

α2相等，由

α1＝α2，可得tanα1

＝tanα2

，即

k1＝k2.因此，xα1Oyα2l2l1若

l1∥l2，則

k1＝k2.反之，當(dāng)

k1＝k2時，tanα1

＝tanα2，由傾斜角的取值范圍及正切函數(shù)的單調(diào)性可知，α1＝α2，因此

l1∥l2.新課學(xué)習(xí)兩條直線平行的判定對于斜率分別為k1，k2的兩條直線l1，l2有：l1∥l2?k1＝k2.特殊情況：當(dāng)

α1＝α2＝90°時，直線的斜率不存在，此時

l1∥l2.注意：若無特別說明“兩條直線l1，l2

”指兩條不重合的直線.新課學(xué)習(xí)若兩直線l1，l2重合，它們的斜率仍然符合上述結(jié)論嗎？Oxyl2l1成立若直線l1，l2重合，則兩直線傾斜角相等；當(dāng)斜率存在時，仍有k1=k2；結(jié)論的應(yīng)用：用斜率證明三點共線時，常常用這個結(jié)論.新課學(xué)習(xí)例2：已知

A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－1，2)，試判斷直線

AB與

PQ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.如圖，由已知可得直線

BA的斜率

kBA＝

；

直線

PQ的斜率

kPQ＝

．

因為

kBA＝kPQ，所以直線

AB∥PQ．OxyA–2–1–4–32113–1BP2Q新課學(xué)習(xí)例3：已知四邊形ABCD的四個頂點分別為

A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.如圖，由已知可得AB邊所在直線的斜率

kAB＝

；

CD邊所在直線的斜率

kCD＝

；

BC邊所在直線的斜率

kBC＝

；

DA邊所在直線的斜率

kDA＝

；

xy1254O13–123ABCD新課學(xué)習(xí)例3：已知四邊形ABCD的四個頂點分別為

A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.因為

kAB＝kCD，

kBC＝kDA，所以直線

AB∥CD，BC∥DA．因此四邊形ABCD是平行四邊形.新課學(xué)習(xí)當(dāng)兩條直線相交時，它們的斜率是否相等呢？不相等當(dāng)兩條直線的斜率不相等時，這兩條直線有什么關(guān)系？相交我們知道，在相交的位置關(guān)系中，垂直是最特殊的情形.那么當(dāng)直線

l1，l2垂直時，它們的斜率除了不相等外，是否還有特殊的數(shù)量關(guān)系？新課學(xué)習(xí)設(shè)兩條直線

l1，l2的斜率分別為

k1，k2，則直線

l1，l2的方向向量分別是

a＝(1,k1)，b＝(1,k2)，于是l1⊥l2?a⊥b?a·b＝0?1×1＋k1k2＝0，即

k1k2＝－1.也就是說，l1⊥l2?k1k2＝－1.一個特殊情況：當(dāng)直線

l1或

l2的傾斜角為90°時，若

l1⊥l2，則另一條直線的傾斜角為0°；反之亦然.新課學(xué)習(xí)兩條直線垂直的判定如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果兩條直線的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直.即l1⊥l2?k1k2＝－1注意：“兩條直線的斜率之積等于－1”是“這兩條直線垂直”的充分不必要條件；因為兩條直線垂直時，除了斜率之積等于－1，還有可能一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0.新課學(xué)習(xí)例4：已知

A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，試判斷直線

AB與

PQ的位置關(guān)系．直線

AB的斜率

kAB＝

；

直線

PQ的斜率

kPQ＝

；

因為

kABkPQ＝

＝－1，

所以直線

AB⊥PQ．新課學(xué)習(xí)例5：已知

A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)三點，試判斷△ABC的形狀．分析：如圖，猜想

AB⊥BC，△ABC是直角三角形．邊

AB所在直線的斜率

kAB＝

；

邊

BC所在直線的斜率

kBC＝2；由

kABkBC＝－1，得

AB⊥BC，即∠ABC＝90°．所以

△ABC是直角三角形．xy