第十三章三角形培優(yōu)訓(xùn)練人教版（2024）數(shù)學(xué)八年級上冊1．

如圖，在△ABC中，點D在邊BC上．(1)若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度數(shù)；解：(1)∵∠1＝∠2＝35°，∴∠3＝∠1＋∠2＝70°.∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠3＝70°.∵∠DAC＋∠3＋∠4＝180°，∴∠DAC＝180°－∠3－∠4＝180°－70°－70°＝40°.(2)若AB2－AC2－6AC－9＝0，AD為△ABC

的中線，△ABD的周長與△ACD的周長之比為5∶4，求△ACD的周長．(2)∵AB2－AC2－6AC－9＝0，∴AB2＝AC2＋6AC＋9＝(AC＋3)2.∴AB＝AC＋3.∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD.∵△ABD的周長與△ACD的周長之比為5∶4，解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABD＝AB·DE，S△ACD＝AC·DF.∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝6，AB＝AC＝4，2.如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在邊BC上，且DE⊥AB，DF⊥AC.若AB＝4，△ABC的面積為6，求DE＋DF的值．∴S△ABC＝AB·DE＋AC·DF＝×4·DE＋×4·DF＝×4·(DE＋DF)

＝6.解得DE＋DF＝3.∴(AB＋AD＋BD)∶(AC＋AD＋CD)＝5∶4.∴AD＋CD＝4AB－5AC.∴AD＋CD＝4(AC＋3)－5AC＝12－AC.∴AD＋CD＋AC＝12.∴△ACD的周長為12.3．

如圖，在△ABC中，AC⊥BC，F(xiàn)是邊AC上的點，連接BF，作EF∥BC且交AB于點E，過點E作DE⊥EF，交BF于點D.求證：∠1＋∠2＝180°.下面是證明過程，請在橫線上填上適當(dāng)?shù)耐评斫Y(jié)論或推理依據(jù)．證明：∵AC⊥BC(已知)，∴∠C＝90°(垂直的定義).∵EF∥BC(已知)，∴∠AFE＝_____＝90°(________________________).∵DE⊥EF(已知)，∴∠DEF＝90°(垂直的定義).∴∠AFE＝∠DEF(等式的基本事實).∴_____∥_____(_________________________).∴∠2＝∠EDF(_________________________).又∵∠EDF＋∠1＝180°(鄰補角互補)，∴∠1＋∠2＝180°(等量代換).∠C兩直線平行，同位角相等ACDE內(nèi)錯角相等，兩直線平行兩直線平行，內(nèi)錯角相等4．如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α＋β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙互余三角形”．(1)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分線．求證：△ABD是“奇妙互余三角形”．(1)證明：∵∠C＝90°，∴∠ABC＋∠A＝90°.∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABC＝2∠ABD.∴2∠ABD＋∠A＝90°.∴△ABD是“奇妙互余三角形”．(2)關(guān)于“奇妙互余三角形”，有下列結(jié)論：①在△ABC中，若∠A＝130°，∠B＝40°，∠C＝10°，則△ABC是“奇妙互余三角形”；②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90°，∠A＝60°，則∠B＝20°；③“奇妙互余三角形”一定是鈍角三角形．其中，結(jié)論正確的有______．(填序號)(3)在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝52°，P是射線CB上的一點，且△ABP是“奇妙互余三角形”，請直接寫出∠APB的度數(shù)．①③(3)解：①如圖1，當(dāng)點P在線段BC上時，圖1∵∠C＝90°，∠ABC＝52°，△ABP是“奇妙互余三角形”，∴2∠PAB＋52°＝90°.∴∠PAB＝19°.∴∠APB＝180°－52°－19°＝109°；②如圖2，當(dāng)點P在CB的延長線上，△ABP是“奇妙互余三角形”，2∠APB＋∠BAP＝90°時，圖2∵∠ABC＝52°，∴∠BAP＝52°－∠APB.∵2∠APB＋∠BAP＝90°，∴2∠APB＋(52°－∠APB)＝90°.∴∠APB＝38°；③如圖3，當(dāng)點P在CB的延長線上，△ABP是“奇妙互余三角形”，∠APB＋2∠BAP＝90°時，圖3∵∠ABC＝52°，∴∠BAP＝52°－∠APB.∵∠APB＋2∠BAP＝90°，∴∠APB＋2(52°－∠APB)＝90°.∴∠APB＝14°.綜上所述，∠APB的度數(shù)為109°或38°或14°.5.如圖，點A在B處的北偏東40°方向，點C在B處的北偏東85°方向，點A在C處的北偏西55°方向，求∠BCA及∠BAC的度數(shù)．∴∠DBC＋∠BCE＝180°.∴∠BCE＝180°－∠DBC＝180°－85°

＝95°.∴∠BCA＝95°－55°＝40°.又∵∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝85°－40°＝45°，∴∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠BCA)＝180°－(45°＋40°)

＝95°.解：如圖，∵BD∥CE，解：(1)依題意，得∠ABD＝∠A＋∠ACB，∠ABD＝∠P＋∠ACB.∴∠P＋∠ACB＝(∠A＋∠ACB)

＝∠A＋∠ACB.∴∠P＝∠A＝20°.6.如圖，在△ABC中，∠ACB的平分線與△ABC的外角平分線相交于點P.(1)若∠A＝40°，求∠P的度數(shù)；(2)請寫出∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解：(2)∠P＝∠A.理由同(1).7.我們定義：在一個三角形中，若一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的4倍，則這樣的三角形稱之為“和諧三角形”．例如：三個內(nèi)角分別為105°，60°，15°的三角形是“和諧三角形”．【概念理解】如圖1，∠MON＝60°，點A在邊OM上，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交線段OB于點C(點C不與點O，B重合).(1)∠ABO的度數(shù)為______，△AOB______(填“是”或“不是”)“和諧三角形”；(2)若∠ACB＝84°，試說明：△AOC是“和諧三角形”.30°不是解：(2)∵∠ACB是△AOC的一個外角，∴∠ACB＝∠O＋∠OAC.又∵∠O＝60°，∠ACB＝84°，∴∠OAC＝24°，∠ACO＝180°－∠ACB＝96°.∴∠ACO＝4∠OAC.∴△AOC是“和諧三角形”．【應(yīng)用拓展】(3)如圖2，點D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點E，在DC上取點F，使∠EFC＋∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B.若△BCD是“和諧三角形”，請直接寫出∠B的度數(shù)．(3)∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°,∴∠EFC＝∠ADC.∴AD∥EF.∴∠DEF＝∠ADE.又∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE.∴DE∥BC.∴∠CDE＝∠BCD.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.∴∠B＝∠BCD.∵△BCD是“和諧三角形”，∴∠BDC＝4∠B或∠B＝4∠BDC.∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，∴∠B＝30°或∠B＝80°.8．

【初步認(rèn)識】(1)如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.若∠A＝100°，則∠P＝_________；如圖2，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，則∠A與∠M的數(shù)量關(guān)系是_____________．140°∠A＝2∠M解：(1)依題意，得∠ABP＝∠CBP＝∠ABC，∠ACP＝∠BCP＝∠ACB，∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝80°，∴∠P＝180°－(∠CBP＋∠BCP)

＝180°－

(∠ABC＋∠ACB)＝140°.依題意，得∠CBM＝∠ABM＝∠ABC，∠DCM＝∠ACM＝∠ACD，∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠DCM＝∠M＋∠CBM，∴2∠DCM＝∠A＋2∠CBM＝2(∠M＋∠CBM)，整理，得∠A＝2∠M.故答案分別為140°，∠A＝2∠M.【性質(zhì)探索】(2)如圖3，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB.請?zhí)剿鳌螦與∠N之間的數(shù)量關(guān)系．(2)∵BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB，∴∠CBN＝∠EBN＝∠CBE，∠BCN＝∠FCN＝∠BCF.∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠CBE＋∠BCF＝180°－∠ABC＋180°－∠ACB＝360°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°＋∠A.∴∠N＝180°－(∠CBN＋∠BCN)＝180°－

(∠CBE＋∠BCF)＝90°－ ∠A，即∠N＝90°－∠A.【拓展應(yīng)用】(3)如圖4，P是△ABC兩內(nèi)角平分線的交點，N是△ABC兩外角平分線的交點，延長BP，NC相交于點M.在△BMN中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，請直接寫出∠A的度數(shù)．(3)依題意，得∠NBM＝∠CBN＋∠CBP＝∠CBE＋∠ABC＝90°，由(1)(2)，得∠N＝90°－∠A，∠A＝2∠M，∴當(dāng)在△BMN中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍時，有四種情