內(nèi)蒙古開來中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列1，6，15，28，45，…中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出米，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第11個六邊形數(shù)為（）A.153 B.190C.231 D.2762．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20493．如圖，P是橢圓第一象限上一點，A，B，C是橢圓與坐標(biāo)軸的交點，O為坐標(biāo)原點，過A作AN平行于直線BP交y軸于N，直線CP交x軸于M，直線BP交x軸于E.現(xiàn)有下列三個式子：①；②；③.其中為定值的所有編號是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③4．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開口越小 B.越小，雙曲線開口越大C.越大，雙曲線開口越大 D.越小，雙曲線開口越大5．已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．命題“存在，”的否定是（）A.存在， B.存在，C.對任意， D.對任意，7．已知為等差數(shù)列，為公差，若成等比數(shù)列，且，則數(shù)列的前項和為（）A. B.C. D.8．如圖，在三棱柱中，為的中點，若，，，則下列向量與相等的是（）A. B.C. D.9．已知直線交圓于A，B兩點，若點滿足，則直線l被圓C截得線段的長是（）A.3 B.2C. D.410．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A. B.C. D.與相交但不垂直11．已知圓和橢圓．直線與圓交于、兩點，與橢圓交于、兩點．若時，的取值范圍是，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.12．設(shè)命題，則為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題的否定是____________________.14．與圓外切于原點，且被y軸截得的弦長為8的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________15．根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線的焦點發(fā)出的光線經(jīng)該拋物線反射后與對稱軸平行，一條平行于對稱軸的光線經(jīng)該拋物線反射后會經(jīng)過拋物線的焦點.如圖所示，從沿直線發(fā)出的光線經(jīng)拋物線兩次反射后，回到光源接收器，則該光線經(jīng)過的路程為___________.16．如圖是用斜二測畫法畫出水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記是等差數(shù)列的前項和，若.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的的最小值.18．（12分）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，A1C的中點，AD=AA1=2，AB=（1）求證：EF∥平面ADD1A1；（2）求平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值；（3）在線段A1D1上是否存在點M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由19．（12分）已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點，且，證明：直線過定點.20．（12分）已知圓，圓.（1）試判斷圓C與圓M的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若過點的直線l與圓C相切，求直線l的方程.21．（12分）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值.22．（10分）已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①若恒成立，求的最小值；②證明：，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時聯(lián)系相關(guān)知識,如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列的各項為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：C2、B【解析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因為數(shù)列的前n項和為滿足，所以當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，即所以，解得或，因為，所以.所以，，所以當(dāng)時，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以故選：B3、D【解析】根據(jù)斜率的公式，可以得到的值是定值，然后結(jié)合已知逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，所以有，，因此，所以有，，，，，，故，，.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：利用斜率公式得到之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.4、C【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結(jié)合離心率對雙曲線開口大小的影響即可得解.【詳解】解：對于A，越大，雙曲線開口越大，故A錯誤；對于B，越小，雙曲線開口越小，故B錯誤；對于C，由，越大，則越大，雙曲線開口越大，故C正確；對于D，越小，則越小，雙曲線開口越小，故D錯誤.故選：C.5、B【解析】根據(jù)曲線方程，結(jié)合充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】由，若，則表示一個圓，充分性不成立；而表示一個橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B6、D【解析】特稱命題的否定：將存在改任意并否定原結(jié)論，即可知正確答案.【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，知：原命題的否定為：對任意，.故選：D7、C【解析】先利用已知條件得到，解出公差，得到通項公式，再代入數(shù)列，利用裂項相消法求和即可.【詳解】因為成等比數(shù)列，，故，即，故，解得或（舍去），故，即，故的前項和為：.故選：C.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一個數(shù)列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可以用倒序相加法（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數(shù)列的前項和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.8、A【解析】利用空間向量基本定理求解即可【詳解】由于M是的中點，所以故選：A9、B【解析】由題設(shè)知為圓的圓心且A、B在圓上，根據(jù)已知及向量數(shù)量積的定義求的大小，進而判斷△的形狀，即可得直線l被圓C截得線段的長.【詳解】∵點為圓的圓心且A、B在圓上，又，∴，∴，又，∴，故△為等邊三角形，∴直線l被圓C截得線段的長是2故選：B10、B【解析】通過判斷直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系，可得結(jié)論【詳解】因為，，所以，所以∥，因為直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，故選：B11、C【解析】由題設(shè)，根據(jù)圓與橢圓的對稱性，假設(shè)在第一象限可得，結(jié)合已知有，進而求橢圓的離心率.【詳解】由題設(shè)，圓與橢圓的如下圖示：又時，的取值范圍是，結(jié)合圓與橢圓的對稱性，不妨假設(shè)在第一象限，∴從0逐漸增大至無窮大時，，故，∴故選：C.12、D【解析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義判斷.【詳解】因為命題是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識寫出正確答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，要注意否定結(jié)論，所以命題否定是：故答案為：14、；【解析】設(shè)所求圓的圓心為，根據(jù)兩圓外切于原點可知兩圓心與原點共線，再根據(jù)弦長列出方程組求出即可.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，因為圓的圓心為，與原點連線的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點，，①所以所求圓的半徑滿足，又被y軸截得的弦長為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：15、12【解析】求出，利用拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離可得答案.【詳解】由得，設(shè)，，由拋物線性質(zhì)，與軸的交點即為拋物線的焦點，，，，所以，所以該光線經(jīng)過的路程為12.故答案為：12.16、【解析】根據(jù)直觀圖和平面圖的關(guān)系可求出，進而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）4【解析】（1）根據(jù)題意得，解方程得，進而得通項公式；（2）由題知，進而解不等式得或，再根據(jù)即可得答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得=0,由題意知，，解得，所以d=2所以.小問2詳解】解：由（1）可得，由可得，即，解得或，因為，所以，正整數(shù)的最小值為.18、（1）證明見解析；（2）；（3）不存在；理由見解析【解析】（1）連接AD1，A1D，交于點O，所以點O是A1D的中點，連接FO，根據(jù)判定定理證明四邊形AEFO是平行四邊形，進而得到線面平行；（2）建立坐標(biāo)系，求出兩個面的法向量，求得兩個法向量的夾角的余弦值，進而得到二面角的夾角的余弦值；（3）假設(shè)在線段A1D1上存在一點M，使得BM⊥平面EFD，設(shè)出點M的坐標(biāo)，由第二問得到平面EFD的一個法向量，判斷出和該法向量不平行，故不存在滿足題意的點M.【詳解】（1）證明：連接AD1，A1D，交于點O，所以點O是A1D的中點，連接FO因為F是A1C的中點，所以O(shè)F∥CD，OF=CD因AE∥CD，AE=CD，所以O(shè)F∥AE，OF=AE所以四邊形AEFO是平行四邊形所以EF∥AO因為EF?平面ADD1A1，AO?平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1（2）以點A為坐標(biāo)原點，直線AB，AD，AA1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為點E，F(xiàn)分別是AB，A1C的中點，AD=AA1=2，AB=，所以B(，0，0)，D(0，2，0)，E，F(xiàn)所以=，=(0，1，1)設(shè)平面EFD的法向量為，則即令y=1，則z=-1，x=2所以，由題知，平面DEC的一個法向量為m=(0，0，1)，所以cos<，>==所以平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值是（3）假設(shè)在線段A1D1上存在一點M，使得BM⊥平面EFD設(shè)點M的坐標(biāo)為(0，t，2)(0≤t≤2)，則=(，t，2)因為平面EFD的一個法向量為，而與不平行，所以在線段A1D1上不存在點M，使得BM⊥平面EFD19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由離心率、過點和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，表示出兩點坐標(biāo)，由兩點連線斜率公式表示出，整理可得直線為；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，代入中整理可得，由此可得直線所過定點；綜合兩種情況可得直線過定點.【詳解】（1）橢圓過點，即，；，又，，橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為，則，則，，解得：，直線方程為；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得：，設(shè)，則，（*），則，將*式代入化簡可得：，即，整理得：，代入直線方程得：，即，聯(lián)立方程組，解得：，，直線恒過定點；綜上所述：直線恒過定點.【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.20、（1）圓C與圓M相交，理由見解析（2）或【解析】（1）利用圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷結(jié)果；（2）討論，當(dāng)直線l的斜率不存在時則方程為，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑計算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】把圓M的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓心為，半徑.圓C的圓心為，半徑，因為，所以圓C與圓M相交，【小問2詳解】①當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為到圓心C距離為2，滿足題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，由題意得，解得，故直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.21、（1）（2），【解析】（1）由，計算出公差，再寫出通項公式即可.（2）直接用公式寫出，配方后求出最小值.【小問1詳解】設(shè)公差為，由得，從而，即又，【小問2詳解】由（1）的結(jié)論，，，