2025-2026學(xué)年炮車中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）A.或 B.C.或 D.2．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標系中，橢圓的面積為，兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標準方程是（）A. B.C. D.3．已知命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件；命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.4．如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小張在D處觀測，測得A，B分別在D處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）海里.A. B.C. D.105．【2018江西撫州市高三八校聯(lián)考】已知雙曲線(，)與拋物線有相同的焦點，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線交于點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，中點，，則（）A.B.C.D.7．橢圓的左右焦點分別為，是上一點，軸，，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.8．橢圓的長軸長是（）A.3 B.6C.9 D.49．已知數(shù)列{}滿足，且，若，則＝（）A.－8 B.－11C.8 D.1110．已知拋物線：的焦點為F，準線l上有兩點A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標準方程是（）A. B.C.或 D.11．已知直線方程為，則其傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°12．在等比數(shù)列中，，則的公比為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標系中，點到x軸的距離為___________.14．北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊．已知每層圈數(shù)相同，共有9圈，則下層比上層多______塊石板15．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則______16．已知點在拋物線上，那么點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）奮發(fā)學(xué)習(xí)小組共有3名學(xué)生，在某次探究活動中，他們每人上交了1份作業(yè)，現(xiàn)各自從這3份作業(yè)中隨機地取出了一份作業(yè).（1）每個學(xué)生恰好取到自己作業(yè)的概率是多少？（2）每個學(xué)生不都取到自己作業(yè)的概率是多少？（3）每個學(xué)生取到的都不是自己作業(yè)的概率是多少？18．（12分）已知函數(shù)，其中為實數(shù).（1）若函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行，求函數(shù)的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.19．（12分）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在上無零點，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知拋物線：，直線過定點.（1）若與僅有一個公共點，求直線的方程；（2）若與交于A，B兩點，直線OA，OB（其中О為坐標原點）的斜率分別為，，試探究在，，，中，運算結(jié)果是否有為定值的？并說明理由.21．（12分）已知橢圓：的四個頂點組成的四邊形的面積為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的下頂點為，如圖所示，點為直線上的一個動點，過橢圓的右焦點的直線垂直于，且與交于，兩點，與交于點，四邊形和的面積分別為，，求的最大值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由一元二次不等式的解集可得且，確定a、b、c間的數(shù)量關(guān)系，再求的解集.【詳解】由題意知：且，得，從而可化為，等價于，解得或.故選：A.2、A【解析】由橢圓的面積為和兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，得到求解.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標準方程是.故選：A3、C【解析】先判斷命題p,q的真假，從而判斷的真假，再根據(jù)“或”“且”命題的真假判斷方法，可得答案.【詳解】當(dāng)時，表示圓，故命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件是假命題，命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件為真命題，則是真命題，是假命題，故是假命題，是假命題，是真命題，是假命題，故選：C4、C【解析】分別在和中，求得的長度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因為，所以，在中，由余弦定理可得，所以.故選：C.5、C【解析】由題意可知，拋物線的焦點坐標為，準線方程為，由在拋物線的準線上，則，則，則焦點坐標為，所以，則，解得，雙曲線的漸近線方程是，將代入漸近線的方程，即，則雙曲線的離心率為，故選C.6、D【解析】根據(jù)空間向量線性運算的幾何意義進行求解即可.【詳解】，故選：D7、A【解析】在中結(jié)合已知條件，用焦距2c表示、，再利用橢圓定義計算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，因是上一點，軸，，在中，，，由橢圓定義知，則，所以橢圓的離心率等于.故選：A8、B【解析】根據(jù)橢圓方程有，即可確定長軸長.【詳解】由橢圓方程知：，故長軸長為6.故選：B9、C【解析】利用遞推關(guān)系，結(jié)合取值，求得即可.【詳解】因為，且，，故可得，解得（舍）,；同理求得，，.故選：C.10、C【解析】分或（）兩種情況討論，由面積列方程即可求解【詳解】由題意得，當(dāng)時，，解得；當(dāng)或時，，解得，所以拋物線的方程是或.故選：C.11、D【解析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設(shè)，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D12、D【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)把方程都變成和有關(guān)的式子后進行求解.【詳解】由等比數(shù)列的等比中項性質(zhì)可得，又，所以，因，所以，所以,故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由空間直角坐標系中點到軸的距離為計算可得【詳解】解：空間直角坐標系中，點到軸的距離為故答案為：14、1458【解析】首先由條件可得第圈的石板為，且為等差數(shù)列，利用基本量求和，即可求解.【詳解】設(shè)第圈的石板為，由條件可知數(shù)列是等差數(shù)列，且上層的第一圈為，且，所以，上層的石板數(shù)為，下層的石板數(shù)為.所以下層比上層多塊石板.故答案為：145815、2【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的加法法則，對求導(dǎo)，再求即可.【詳解】由題設(shè)，，所以.故答案為：16、【解析】由拋物線定義可得，由此可知當(dāng)為與拋物線的交點時，取得最小值，進而求得點坐標.【詳解】由題意得：拋物線焦點為，準線為作，垂直于準線，如下圖所示：由拋物線定義知：（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號）即的最小值為，此時為與拋物線的交點故答案為【點睛】本題考查拋物線線上的點到焦點的距離與到定點距離之和最小的相關(guān)問題的求解，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用拋物線定義確定最值取得的位置.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】(1)根據(jù)列舉法列出所有的可能基本事件，進而得出每個學(xué)生恰好拿到自己作業(yè)的概率；(2)利用對立事件的概念即可求得結(jié)果；(3)結(jié)合(1)即可得出每個學(xué)生拿的都不是自己作業(yè)的事件數(shù).【小問1詳解】設(shè)這三個學(xué)生分別為A、B、C，A的作業(yè)為a，B的作業(yè)為b，C的作業(yè)為c，則基本事件為：，則基本事件總數(shù)為6，設(shè)每個學(xué)生恰好拿到自己作業(yè)為事件E，事件E包含的事件數(shù)為l，所以；小問2詳解】設(shè)每個學(xué)生不都拿到自己作業(yè)為事件F，因為事件F的對立事件為E，所以；【小問3詳解】設(shè)每個學(xué)生拿的都不是自己作業(yè)為事件G，事件G包含的事件數(shù)為2，.18、（1）（2），【解析】（1）根據(jù)平行關(guān)系得到切線斜率，進而得到導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，列出方程，求出，進而得到函數(shù)解析式；（2）先由求出，再利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性和最值.【小問1詳解】，.由題意得：，解得：.，【小問2詳解】，則，解得，，，當(dāng)，解得：，即函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，解得：或，即函數(shù)分別在，遞增.又，，，，，.19、（1）；（2）見解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)在處取極值可得，可求得，驗證可知滿足題意；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，利用點斜式可求得切線方程；（2）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到的單調(diào)性；（3）根據(jù)在上無零點可知在上的最大值和最小值符號一致；分別在，兩種情況下根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最大值和最小值，利用符號一致構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：在處取極值，解得：則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增為極小值點，滿足題意函數(shù)當(dāng)時，由得：在處的切線方程為：，即：（2）由題意知：函數(shù)的定義域為，①當(dāng)時若，恒成立，恒成立在內(nèi)單調(diào)遞減②當(dāng)時由，得：；由得：在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增（3）①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減在上無零點，且②當(dāng)時（i）若，即，則在上單調(diào)遞增由，知符合題意（ii）若，即，則在上單調(diào)遞減在上無零點，且（iii）若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，符合題意綜上所述，實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用問題，涉及到導(dǎo)數(shù)幾何意義、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)區(qū)間內(nèi)零點個數(shù)求解參數(shù)范圍問題.本題的關(guān)鍵是能夠通過分類討論的方式，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性以及最值.20、（1）或或（2）為定值，而，，均不為定值【解析】（1）過拋物線外一定點的直線恰好與該拋物線只有一個交點，則分兩類分別討論，一是直線與拋物線的對稱軸平行，二是直線與拋物線相切；（2）聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，根據(jù)韋達定理，分別表示出，，，為直線斜率的形式，便可得出結(jié)果.【小問1詳解】過點的直線與拋物線僅有一個公共點，則該直線可能與拋物線的對稱軸平行，也可能與拋物線相切，下面分兩種情況討論：當(dāng)直線可能與拋物線的對稱軸平行時，則有：當(dāng)直線與拋物線相切時，由于點在軸上方，且在拋物線外，則存在兩條直線與拋物線相切：易知：是其中一條直線另一條直線與拋物線上方相切時，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：則有：解得：故此時的直線的方程為：綜上，直線的方程為：或或【小問2詳解】若與交于A，B兩點，分別設(shè)其坐標為，，且由（1）可知直線要與拋物線有兩個交點，則直線的斜率存在且不為，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：，即有：根據(jù)韋達定理可得：，則有：，下面分別說明各項是否為定值：，故運算結(jié)果為定值；，故運算結(jié)果不為定值；，故運算結(jié)果不為定值；，故運算結(jié)果不為定值.綜上，可得：為定值，而，，均不為定值21、（1）（2）【解析】（1）因為在橢圓上，所以，又因為橢圓四個頂點組成的四邊形的面積為，所以，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）可知，設(shè)，則當(dāng)時，，所以，直線的方程為，即，由得，則，，，又，所以，由，得，所以，所以，當(dāng)，直線，，，，，所以當(dāng)時，.點睛：在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結(jié)論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解