高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省六校聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得到，所以，又，所以，故選：C.2.命題，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】因?yàn)槊}，，所以其否定為：，.故選：A.3.設(shè)集合.，那么“且”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)且成立時(shí)，根據(jù)集合的交集定義可知：，當(dāng)成立時(shí)，根據(jù)集合的交集定義可知：且，故“且”是“”的充分必要條件，故選：C.4.設(shè)，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，不成立，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，不成立，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋刹坏仁叫再|(zhì)知，故D正確.故選：D.5.已知，設(shè)：，：.若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)集合，集合，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以是的真子集，則，解得.故選：C.6.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值等于（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】，據(jù)此結(jié)合題意分類討論：當(dāng)時(shí)，，由得，解得，舍去；當(dāng)時(shí)，，由得，解得，滿足題意.故選：A．7.19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了一個(gè)有趣的函數(shù)若函數(shù)，則下列實(shí)數(shù)中不屬于函數(shù)值域的是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】，因?yàn)椋蔄正確；因?yàn)?，?dāng)是有理數(shù)時(shí)，即，即，與有理數(shù)矛盾，當(dāng)是無理數(shù)時(shí)，即，即，與無理數(shù)矛盾，所以在有理數(shù)和無理數(shù)范圍內(nèi)均無解，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故C正確；因?yàn)?，故D正確.故選：B.8.用表示非空集合中的元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，若，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合.則（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】，要使，則或.當(dāng)時(shí)，，滿足.當(dāng)時(shí)，首先有兩個(gè)不同的解或，其次，對于，，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，滿足.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，滿足.當(dāng)，即時(shí)，無解，不符合題意.當(dāng)，即或時(shí)，的解為或，不是的解，由，解得，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，不符合題意.綜上所述，.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9.已知函數(shù)，若的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，則，故B正確；可知相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向下，所以，所以A錯(cuò)誤；由二次不等式可知的解集為，則，，所以C錯(cuò)誤，D正確；故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A. B.若，則的值是或C.的值域?yàn)?D.的解集為【答案】AC【解析】對A：因?yàn)?，則，故A正確；對B：當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），故B錯(cuò)誤；對C：當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，因此的值域?yàn)?，故C正確；對D：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以的解集為；故D錯(cuò)誤故選：AC.11.若正實(shí)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A.有最大值B.有最小值C.有最大值為D.的最小值為【答案】ABD【解析】對于A，由正實(shí)數(shù)滿足，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，正確；對于C，，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，不是，錯(cuò)誤；對于D，，又，由，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，正確；故選：ABD.三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)12.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為_______.【答案】【解析】，，，當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)，即時(shí)，滿足條件；當(dāng)，即時(shí)，滿足條件.故集合為.故答案為：.13.已知，則的最小值為__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，由，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)取等號，所以有.所以當(dāng)時(shí)，有最小值，故答案為：.14.定義在上的函數(shù)滿足：，，則______.【答案】【解析】由題意令有：，令有：，又，所以，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，全集．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，集合，或，，解不等式得，，或或．（2），，若，，解得；若，，解得，又，，解得，時(shí)，，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：．16.給定函數(shù)，，．（1）在圖一的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象；（2）觀察圖象，直接寫出不等式的解；（3），用表示，中的較大者，記.例如，當(dāng)時(shí)，.請?jiān)趫D二中畫出函數(shù)的圖象并求其解析式.解：（1）畫出函數(shù)，的圖象如圖：（2）觀察圖象，可得不等式的解為或.（3）結(jié)合（1）可用圖象法表示如圖：由可得或，故.17.已知函數(shù)（1）若不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求關(guān)于的不等式的解集.解：（1）因即的解集為R，則，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）不等式即，整理得：，分解因式可得：，因，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式為，則其解集為；當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為.18.據(jù)了解，某企業(yè)研發(fā)部原有100名技術(shù)人員，年人均投入50萬元，現(xiàn)將這100名技術(shù)人員分成兩部分：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬元.（1）要使這名研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)x最多為多少人；（2）若技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，必須要求研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入，求正整數(shù)m的最大值.解：（1）由題可得：，化簡后可得：，結(jié)合，可得.故調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)x最多為65人；（2）由（1），研發(fā)人員的年總投入為：，技術(shù)人員的年總投入為：.由題可得：，化簡后可得：，為使恒成立，則，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，則.結(jié)合為正整數(shù)，可得正整數(shù)m的最大值為5.19.柯西不等式在數(shù)學(xué)中有廣泛應(yīng)用，其二階形式如下：對任意實(shí)數(shù)，有當(dāng)時(shí)，等號成立．柯西不等式的三階形式為對任意實(shí)數(shù)，有當(dāng)時(shí)，等號成立.（1）證明二階柯西不等式：（2）若求的最小值；（3）若，求的取值范圍．解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，．（2），，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，結(jié)合解得，的最小值為3．（3）根據(jù)柯西不等式①，①式可化為，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，，，在上單調(diào)遞增，，，時(shí)取最小值，此時(shí)，的取值范圍為：．浙江省六校聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得到，所以，又，所以，故選：C.2.命題，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】因?yàn)槊}，，所以其否定為：，.故選：A.3.設(shè)集合.，那么“且”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)且成立時(shí)，根據(jù)集合的交集定義可知：，當(dāng)成立時(shí)，根據(jù)集合的交集定義可知：且，故“且”是“”的充分必要條件，故選：C.4.設(shè)，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，不成立，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，不成立，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，由不等式性質(zhì)知，故D正確.故選：D.5.已知，設(shè)：，：.若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)集合，集合，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以是的真子集，則，解得.故選：C.6.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值等于（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】，據(jù)此結(jié)合題意分類討論：當(dāng)時(shí)，，由得，解得，舍去；當(dāng)時(shí)，，由得，解得，滿足題意.故選：A．7.19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了一個(gè)有趣的函數(shù)若函數(shù)，則下列實(shí)數(shù)中不屬于函數(shù)值域的是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】，因?yàn)?，故A正確；因?yàn)?，?dāng)是有理數(shù)時(shí)，即，即，與有理數(shù)矛盾，當(dāng)是無理數(shù)時(shí)，即，即，與無理數(shù)矛盾，所以在有理數(shù)和無理數(shù)范圍內(nèi)均無解，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故C正確；因?yàn)?，故D正確.故選：B.8.用表示非空集合中的元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，若，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合.則（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】，要使，則或.當(dāng)時(shí)，，滿足.當(dāng)時(shí)，首先有兩個(gè)不同的解或，其次，對于，，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，滿足.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，滿足.當(dāng)，即時(shí)，無解，不符合題意.當(dāng)，即或時(shí)，的解為或，不是的解，由，解得，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，不符合題意.綜上所述，.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9.已知函數(shù)，若的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋瑒t，故B正確；可知相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向下，所以，所以A錯(cuò)誤；由二次不等式可知的解集為，則，，所以C錯(cuò)誤，D正確；故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A. B.若，則的值是或C.的值域?yàn)?D.的解集為【答案】AC【解析】對A：因?yàn)?，則，故A正確；對B：當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），故B錯(cuò)誤；對C：當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，因此的值域?yàn)?，故C正確；對D：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以的解集為；故D錯(cuò)誤故選：AC.11.若正實(shí)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A.有最大值B.有最小值C.有最大值為D.的最小值為【答案】ABD【解析】對于A，由正實(shí)數(shù)滿足，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，正確；對于C，，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，不是，錯(cuò)誤；對于D，，又，由，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，正確；故選：ABD.三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)12.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為_______.【答案】【解析】，，，當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)，即時(shí)，滿足條件；當(dāng)，即時(shí)，滿足條件.故集合為.故答案為：.13.已知，則的最小值為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，由，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)取等號，所以有.所以當(dāng)時(shí)，有最小值，故答案為：.14.定義在上的函數(shù)滿足：，，則______.【答案】【解析】由題意令有：，令有：，又，所以，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，全集．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，集合，或，，解不等式得，，或或．（2），，若，，解得；若，，解得，又，，解得，時(shí)，，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：．16.給定函數(shù)，，．（1）在圖一的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象；（2）觀察圖象，直接寫出不等式的解；（3），用表示，中的較大者，記.例如，當(dāng)時(shí)，.請?jiān)趫D二中畫出函數(shù)的圖象并求其解析式.解：（1）畫出函數(shù)，的圖象如圖：（2）觀察圖象，可得不等式的解為或.（3）結(jié)合（1）可用圖象法表示如圖：由可得或，故.17.已知函數(shù)（1）若不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求關(guān)于的不等式的解集.解：（1）因即的解集為R，則，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）不等式即，整理得：，分解因式可得：，因，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式為，則其解集為；當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為.18.據(jù)了解，某企業(yè)研發(fā)部原有100名技術(shù)人員，年人均投入50萬元，現(xiàn)將這100名技術(shù)人員分成兩部分：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬元.（1）要使這名研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)x最多為多少人；（2）若技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，必須要求研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入，求正整數(shù)m的最大值.解：（1）由題可得：，化簡后可得：，結(jié)合，可得.故調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)x最多為65人；（2）由（1），研發(fā)人員的年總投入為：，技術(shù)人員的年總投