高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市房山區(qū)2026屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)，位于第四象限.故選：D.3.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，則，焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：C.4.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0.若成等比數(shù)列，則的公差為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，整理可得，因?yàn)?，，所以解?故選：A.5.若且，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，若，但，故A錯(cuò)誤；對于B，由于且，則，故，故B錯(cuò)誤；對于C，若，此時(shí)，不滿足，故C錯(cuò)誤；對于D，由于，故，因此，由于，故，D正確，故選：D.6.已知函數(shù)的定義域分別為集合，則“”是“曲線與無交點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：若，意味著兩個(gè)函數(shù)的定義域沒有公共部分.因?yàn)楹瘮?shù)的交點(diǎn)是在自變量取值相同的情況下，函數(shù)值也相同的點(diǎn)，而此時(shí)沒有共同的自變量取值，所以曲線必然無交點(diǎn)，充分性成立；必要性：若曲線無交點(diǎn)，有可能存在自變量在中，但，所以不能推出，必要性不成立.綜上，“”是“曲線與無交點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A.7.把圓向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圓的圓心為原點(diǎn)，原點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到，故得到.故選：C.8.若函數(shù)關(guān)于對稱，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】函數(shù)關(guān)于對稱，則其對稱軸滿足，為整數(shù)，將代入，得，解得，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值為3，因此，的最小值為3，所以B正確.故選：B.9.生物學(xué)家通過數(shù)學(xué)建模，得到恒溫動(dòng)物（如豚鼠、兔、小狗等）的脈搏率（單位：次/分鐘）和體重（單位：克）的關(guān)系模型為，其中為常數(shù)．已知一只體重為300克的豚鼠的脈搏率為300次/分鐘，若一只小狗的體重為克，那么該小狗的脈搏率最接近的是（）A.120次/分鐘 B.110次/分鐘C.100次/分鐘 D.90次/分鐘【答案】A【解析】由題意可知，，解得，若一只小狗的體重為克，則，即，，比較選項(xiàng)，，，所以最接近的脈搏率，故選：A.10.已知在等腰梯形中，，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則,則,，所以，故，故，由于，故，故，故選：C第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是______________．【答案】4【解析】拋物線的焦點(diǎn)是,準(zhǔn)線方程是,所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.故答案為：4.12.若，則_________；_________．【答案】①.②.【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則；令，則.故答案為：；.13.已知在中，．寫出滿足條件的一組角的值_________，_________．【答案】①.②.【解析】因?yàn)槭堑膬?nèi)角，所以則又因?yàn)椋裕曰颍ㄉ幔?，所以，所以可取，故答案為?(答案不唯一)14.羨除是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載的一種特殊五面體，其有三條相互平行且不全相等的棱，這三條棱在古算中被稱為“三廣”．《九章算術(shù)》中記載的羨除體積的計(jì)算方法簡潔而準(zhǔn)確，其術(shù)文曰：“并三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一．”現(xiàn)有羨除如圖所示，．底面為正方形，，其余棱長均為2，則該羨除的體積為_________．【答案】【解析】在平面中，過分別作的垂線，垂足分別為，連接，依題意，四邊形為等腰梯形，則，由，得，由正方形，得，而平面，則平面，平面，又平面，則，同理，，等腰底邊上的高，同理得平面，平面平面，幾何體是直三棱柱，所以該羨除的體積為.故答案為：.15.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中正確結(jié)論的序號是_________．【答案】①②③【解析】對于①，當(dāng)時(shí)，，令得，解得，故恰有1個(gè)零點(diǎn)，①正確；對于②，令得，故，令，故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出的圖象，如下：其中過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)過點(diǎn)的切線方程經(jīng)過點(diǎn)，，故過點(diǎn)的切線斜率為，故切線方程為，將代入得，即，令，，則，故在上單調(diào)遞增，其中，，故存在，使得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，此時(shí)，且有1個(gè)交點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)恰有1個(gè)零點(diǎn)，②正確；對于③，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)恰有3個(gè)零點(diǎn)，③正確；對于④，當(dāng)時(shí)，，不合要求，當(dāng)時(shí)，，設(shè)過點(diǎn)的切線方程經(jīng)過點(diǎn)，，故過點(diǎn)的切線斜率為，故切線方程為，將代入得，即，設(shè)，，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，，，故存在，使得，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有0個(gè)交點(diǎn)，又時(shí)，的增長速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長速度，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，故不存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在中，．（1）求的值；（2）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按照第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】解：（1）在中，由，得，由及正弦定理，得，所以.（2）選擇條件①：，由余弦定理，得，而，解得，所以的面積為.條件②：，由正弦定理得，由（1）得，由余弦定理，得，而，解得，所以的面積為.17.如圖，在多面體中，四邊形為矩形，四邊形為梯形，，，，，為線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面平面，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明：因?yàn)?，，M為AD中點(diǎn)，所以，，所以四邊形MDEF是平行四邊形，進(jìn)一步可得，因?yàn)槠矫鍮FM，平面BFM，所以平面BFM．（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面ADEF，且，即，所以平面ABCD，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以，因此可以建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AF所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，已知，，M為AD中點(diǎn)，則各點(diǎn)坐標(biāo)為：，，，，，，所以，，，設(shè)平面BFM的法向量為，則，即，令，則，，所以，設(shè)CE與平面BFM所成角為，根據(jù)直線與平面所成角的向量公式，可得，其中，，，所以，綜上，與平面所成角的正弦值為．18.為提高生產(chǎn)效率，某工廠開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人采用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人采用第二種生產(chǎn)方式．兩組工人完成任務(wù)的工作時(shí)間（單位：）如下：生產(chǎn)方式工作時(shí)間（單位：）第一種6872767779828383848586878788899090919192第二種6565666869707172727374757676788184848593假設(shè)每個(gè)工人完成工作所需時(shí)間相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．（1）從第一組工人中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間小于80分鐘的概率；（2）從第一組和第二組工人中各隨機(jī)抽取1人，記這兩人中完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間小于80分鐘的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)該采用哪種生產(chǎn)方式？說明你的理由．【答案】解：（1）第一組工人中工作時(shí)間小于80分鐘的有5人，所以從第一組工人中隨機(jī)抽取1人，該工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間小于80分鐘的概率為.（2）第一組和第二組工人中完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間小于80分鐘的人數(shù)分別為5人和15人，的所有可能取值為0，1，2，，，，故的分布列如下：012的數(shù)學(xué)期望.（3）應(yīng)該采用第二種生產(chǎn)方式，理由如下：①由所給數(shù)據(jù)可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少82min，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多78min，因此應(yīng)該采用第二種生產(chǎn)方式；②由所給數(shù)據(jù)可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為（min），用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為（min），因此應(yīng)該采用第二種生產(chǎn)方式.19.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由．【答案】解：（1）由頂點(diǎn)為可知，又離心率為，即，可得，因此，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，，如下圖所示：聯(lián)立，整理可得，顯然，即，可得；且，則直線與直線的斜率分別為；即可得所以可得，所以；解得或；當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)直線恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線為，恒過，與點(diǎn)重合，不合題意；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程可得，不妨取，則，解得，即直線為，恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，不合題意；綜上可知，直線過定點(diǎn).20.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為．（1）若時(shí)，切線與軸平行，求的值；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍；（3）過點(diǎn)的直線與垂直，當(dāng)都與軸相交時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是．當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】解：（1）已知，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，切線與軸平行，即，解得.（2）由（1）知，令，解得或.若在處取得極大值，則左側(cè)，右側(cè).因?yàn)楹愠闪?，令，則當(dāng)時(shí)，開口向上，要使左側(cè)，右側(cè)，則，當(dāng)時(shí)，只有唯一解，在此處取極小值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，開口向下，要使左側(cè)，右側(cè)，則需滿足，因?yàn)?，故，所以顯然不成立.綜上，若在處取得極大值，需滿足，即.（3）當(dāng)時(shí)，，.由題知過的切線都與軸相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，則的斜率存在且不為0.所以切線的斜率，垂直于的切線的斜率.所以，.所以因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.21.已知數(shù)列，集合，序列，T，其中．對數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)分別換為，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第，，項(xiàng)分別換為，，，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；…；以此類推，得到…，簡記為；（1）給定數(shù)列0，1，0，1，0，1，0和序列，寫出；（2）給定數(shù)列0，0，0，0，0，0，0，請寫出一個(gè)序列，使得為1，1，1，1，1，1，1，并求的最小值；（3）若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列的各項(xiàng)均為0，證明：存在序列，使得的各項(xiàng)均為1，并求的最小值．【答案】（1）解：，，，即.（2）解：記，引理：對于每項(xiàng)是0或1的數(shù)列，每作一次變換，的奇偶性發(fā)生改變.證明：由于其它項(xiàng)不變，因此只需證明，與的奇偶性不同.即證為奇數(shù)，由于等于1或.通過枚舉易知，證畢.推論:與的奇偶性相同由于且，所以至少進(jìn)行3次變換.定義即可.故的最小值為3.（3）證明：當(dāng)時(shí)，顯然最小值為.當(dāng)時(shí)，由(2)中引理可知為偶數(shù)，但顯然不成立.故.定義，故的最小值為4.當(dāng)時(shí)，由（2）中引理可知為奇數(shù)，但顯然不成立，故，定義，故的最小值為3.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)或時(shí)，的最小值為.（i）當(dāng)或7時(shí)，前面已證的最小值為3.（ii）假設(shè)或時(shí)，成立.即存在，當(dāng)或時(shí)，一方面，，則.，則.另一方面，由引理可知與奇偶性相同，與奇偶性相同.即，故.現(xiàn)定義，由歸納假設(shè)，先作次T變換可得，則最后作一次變換，即可滿足題意，即的最小值為.綜上所述:.北京市房山區(qū)2026屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)，位于第四象限.故選：D.3.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，則，焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：C.4.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0.若成等比數(shù)列，則的公差為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，整理可得，因?yàn)?，，所以解?故選：A.5.若且，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，若，但，故A錯(cuò)誤；對于B，由于且，則，故，故B錯(cuò)誤；對于C，若，此時(shí)，不滿足，故C錯(cuò)誤；對于D，由于，故，因此，由于，故，D正確，故選：D.6.已知函數(shù)的定義域分別為集合，則“”是“曲線與無交點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：若，意味著兩個(gè)函數(shù)的定義域沒有公共部分.因?yàn)楹瘮?shù)的交點(diǎn)是在自變量取值相同的情況下，函數(shù)值也相同的點(diǎn)，而此時(shí)沒有共同的自變量取值，所以曲線必然無交點(diǎn)，充分性成立；必要性：若曲線無交點(diǎn)，有可能存在自變量在中，但，所以不能推出，必要性不成立.綜上，“”是“曲線與無交點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A.7.把圓向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圓的圓心為原點(diǎn)，原點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到，故得到.故選：C.8.若函數(shù)關(guān)于對稱，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】函數(shù)關(guān)于對稱，則其對稱軸滿足，為整數(shù)，將代入，得，解得，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值為3，因此，的最小值為3，所以B正確.故選：B.9.生物學(xué)家通過數(shù)學(xué)建模，得到恒溫動(dòng)物（如豚鼠、兔、小狗等）的脈搏率（單位：次/分鐘）和體重（單位：克）的關(guān)系模型為，其中為常數(shù)．已知一只體重為300克的豚鼠的脈搏率為300次/分鐘，若一只小狗的體重為克，那么該小狗的脈搏率最接近的是（）A.120次/分鐘 B.110次/分鐘C.100次/分鐘 D.90次/分鐘【答案】A【解析】由題意可知，，解得，若一只小狗的體重為克，則，即，，比較選項(xiàng)，，，所以最接近的脈搏率，故選：A.10.已知在等腰梯形中，，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則,則,，所以，故，故，由于，故，故，故選：C第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是______________．【答案】4【解析】拋物線的焦點(diǎn)是,準(zhǔn)線方程是,所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.故答案為：4.12.若，則_________；_________．【答案】①.②.【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則；令，則.故答案為：；.13.已知在中，．寫出滿足條件的一組角的值_________，_________．【答案】①.②.【解析】因?yàn)槭堑膬?nèi)角，所以則又因?yàn)椋?，所以或（舍），所以，所以可取，故答案為?(答案不唯一)14.羨除是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載的一種特殊五面體，其有三條相互平行且不全相等的棱，這三條棱在古算中被稱為“三廣”．《九章算術(shù)》中記載的羨除體積的計(jì)算方法簡潔而準(zhǔn)確，其術(shù)文曰：“并三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一．”現(xiàn)有羨除如圖所示，．底面為正方形，，其余棱長均為2，則該羨除的體積為_________．【答案】【解析】在平面中，過分別作的垂線，垂足分別為，連接，依題意，四邊形為等腰梯形，則，由，得，由正方形，得，而平面，則平面，平面，又平面，則，同理，，等腰底邊上的高，同理得平面，平面平面，幾何體是直三棱柱，所以該羨除的體積為.故答案為：.15.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中正確結(jié)論的序號是_________．【答案】①②③【解析】對于①，當(dāng)時(shí)，，令得，解得，故恰有1個(gè)零點(diǎn)，①正確；對于②，令得，故，令，故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出的圖象，如下：其中過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)過點(diǎn)的切線方程經(jīng)過點(diǎn)，，故過點(diǎn)的切線斜率為，故切線方程為，將代入得，即，令，，則，故在上單調(diào)遞增，其中，，故存在，使得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，此時(shí)，且有1個(gè)交點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)恰有1個(gè)零點(diǎn)，②正確；對于③，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)恰有3個(gè)零點(diǎn)，③正確；對于④，當(dāng)時(shí)，，不合要求，當(dāng)時(shí)，，設(shè)過點(diǎn)的切線方程經(jīng)過點(diǎn)，，故過點(diǎn)的切線斜率為，故切線方程為，將代入得，即，設(shè)，，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，，，故存在，使得，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有0個(gè)交點(diǎn)，又時(shí)，的增長速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長速度，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，故不存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在中，．（1）求的值；（2）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按照第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】解：（1）在中，由，得，由及正弦定理，得，所以.（2）選擇條件①：，由余弦定理，得，而，解得，所以的面積為.條件②：，由正弦定理得，由（1）得，由余弦定理，得，而，解得，所以的面積為.17.如圖，在多面體中，四邊形為矩形，四邊形為梯形，，，，，為線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面平面，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明：因?yàn)椋?，M為AD中點(diǎn)，所以，，所以四邊形MDEF是平行四邊形，進(jìn)一步可得，因?yàn)槠矫鍮FM，平面BFM，所以平面BFM．（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面ADEF，且，即，所以平面ABCD，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以，因此可以建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AF所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，已知，，M為AD中點(diǎn)，則各點(diǎn)坐標(biāo)為：，，，，，，所以，，，設(shè)平面BFM的法向量為，則，即，令，則，，所以，設(shè)CE與平面BFM所成角為，根據(jù)直線與平面所成角的向量公式，可得，其中，，，所以，綜上，與平面所成角的正弦值為．18.為提高生產(chǎn)效率，某工廠開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人采用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人采用第二種生產(chǎn)方式．兩組工人完成任務(wù)的工作時(shí)間（單位：）如下：生產(chǎn)方式工作時(shí)間（單位：）第一種6872767779828383848586878788899090919192第二種6565666869707172727374757676788184848593假設(shè)每個(gè)工人完成工作所需時(shí)間相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．（1）從第一組工人中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間小于80分鐘的概率；（2）從第一組和第二組工人中各隨機(jī)抽取1人，記這兩人中完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間小于80分鐘的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)該采用哪種生產(chǎn)方式？說明你的理由．【答案】解：（1）第一組工人中工作時(shí)間小于80分鐘的有5人，所以從第一組工人中隨機(jī)抽取1人，該工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間小于80分鐘的概率為.（2）第一組和第二組工人中完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間小于80分鐘的人數(shù)分別為5人和15人，的所有可能取值為0，1，2，，，，故的分布列如下：012的數(shù)學(xué)期望.（3）應(yīng)該采用第二種生產(chǎn)方式，理由如下：①由所給數(shù)據(jù)可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少82min，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多78min，因此應(yīng)該采用第二種生產(chǎn)方式；②由所給數(shù)據(jù)可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為（min），用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為（min），因此應(yīng)該采用第二種生產(chǎn)方式.19.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由．【答案】解：（1）由頂點(diǎn)為可知，又離心率為，即，可得，因此，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，，如下圖所示：聯(lián)立，整理可得，顯然，即，可得；且，則直線與直線的斜率分別為；即可得所以可得，所以；解得或；當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)直線恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線為，恒過，與點(diǎn)重合，不合