第51頁（共51頁）2025年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學二模試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知集合A＝{x|x2+x＜0}，集合B＝{x|2x≤1}，則集合A∪B＝（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，0]2．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）若拋物線C：x2＝my（m≠0）的焦點坐標為（0，﹣1），則拋物線C的準線方程為（）A．x＝2 B．x＝1 C．y＝2 D．y＝13．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知a=A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知(x2+1x)nA．7 B．8 C．9 D．105．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）＝|x|﹣|x﹣2|+1，則對任意實數(shù)x，有（）A．f（1﹣x）＝2﹣f（1+x） B．f（﹣x）＝﹣f（x）﹣2 C．f（2﹣x）＝2+f（x） D．f（2+x）＝f（2﹣x）6．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）在矩形ABCD中，AB⊥AD，AD＝2，AB=2點E為線段AD的中點，BE與AC交于點F．設(shè)AF→=k1e1→+k2e2→（k1，k2∈R），其中A．k1=23，C．k1=137．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）設(shè)α∈R，則“sin2α=32”是“tanα=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）＝x﹣x3，曲線y＝f（x）在點P（t，f（t））（t∈（0，1））處的切線方程為y＝g（x），設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x），則（）A．當x＞0時，h（x）＞h（0） B．當x＜0時，h（x）＜h（0） C．當x＞0時，h（x）≤0 D．當x＜0時，h（x）≥09．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）金剛石是由碳元素組成的單質(zhì)，具有極高的硬度，在工業(yè)中有廣泛的應(yīng)用，如圖1所示，組成金剛石的每個碳原子都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度，可以認為4個碳原子分布在一個正四面體的4個頂點A，B，C，D處，中間的碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置（點E處），如圖2所示，設(shè)AB＝a，則E到平面ABD的距離為（）A．36a B．69a C．610．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）設(shè)無窮數(shù)列{an}的前n項和為Sn，定義σkA．當an＝1時，σ2025B．當an=(-1)C．當an=1n(n+1)時，則σD．當an=二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）（2025?朝陽區(qū)二模）若復數(shù)z滿足z?i＝2+i，則|z|＝．12．（5分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2＝﹣8，a5+a6＝8，則a3+a4＝；設(shè)Sn為{an}的前n項和，則使Sn＞0的n的最小值為．13．（5分）（2025?朝陽區(qū)二模）在△ABC中，a+c=25，且tanB＝2，則sinB＝；△ABC面積的最大值為14．（5分）（2025?茂名模擬）若直線y=13x與雙曲線C：y2-x15．（5分）（2025?朝陽區(qū)二模）設(shè)a＞0，過原點O的直線（不與x軸重合）與圓A：x2+（y﹣a）2＝a2交于點P與直線y＝2a交于點Q．過點P作x軸的平行線，過點Q作x軸的垂線，這兩條直線交于點M（x，y），稱y為x的箕舌線函數(shù)，記作y＝f（x），給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；②若x1＜x2，則f（x1）＞f（x2）；③設(shè)函數(shù)h（x）＝xf（x），則h（x）的最大值為2a2；④設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）+x2，則g（x）的最小值為2a．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(x)=f(x-φ)(0＜φ＜π2)，再從條件①條件①：g（x）在區(qū)間[-π條件②：g（x）的最大值為2條件③：g（x）為偶函數(shù)．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．17．（14分）（2025?朝陽區(qū)二模）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC⊥側(cè)面ACC1A1，側(cè)面ACC1A1是邊長為4的菱形，∠A1AC＝120°，BC1＝5，AB＝3．（Ⅰ）求證：側(cè)面ABB1A1為矩形；（Ⅱ）求直線A1B與平面BCC1B1所成角的正弦值．18．（13分）（2025?朝陽區(qū)二模）某電商平臺為了解用戶對配送服務(wù)的滿意度，分別從A地區(qū)和B地區(qū)隨機抽取了500名和100名用戶進行問卷評分調(diào)查，將評分數(shù)據(jù)按[40，50），[50，60），…，[90，100]分組整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從A地區(qū)抽取的500名用戶中隨機抽取一名，求該用戶評分不低于60分的概率；（Ⅱ）從B地區(qū)評分為[80，100]的樣本中隨機抽取兩名，記評分不低于90分的用戶人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)，假設(shè)同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，設(shè)A地區(qū)評分的平均值估計為μ1，A、B兩地區(qū)評分的平均值估計為μ，比較μ1與μ的大小關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）19．（15分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)直線y＝kx+2（k＜0）與橢圓E交于不同的兩點A，B，直線y＝x與直線AB交于點N，若∠AON＝∠BON（O是坐標原點），求k的值．20．（15分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知函數(shù)f(（Ⅰ）若a＝0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，1）上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（Ⅲ）若f（x）存在極值點x0，且f（x0）＝1，求a的值．21．（15分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知{an}是無窮正整數(shù)數(shù)列，且對任意的n≥3，an+1＝card{k|ak＝an，k∈{1，2，?，n}}，其中cardS表示有窮集合S的元素個數(shù)．（Ⅰ）若a1＝2，a2＝3，a4＝2，求a5的所有可能取值；（Ⅱ）求證：數(shù)列{an}中存在等于1的項；（Ⅲ）求證：存在t∈N*，使得集合{k∈N*|ak＝t}為無窮集合．

2025年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學二模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ADDBABBCCD一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知集合A＝{x|x2+x＜0}，集合B＝{x|2x≤1}，則集合A∪B＝（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，0]【考點】指、對數(shù)不等式的解法；求集合的并集．【專題】整體思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】A【分析】首先，求解集合A，B中關(guān)于x的不等式，然后求解A，B的并集．【解答】解：對于集合A，x2+x＜0，所以﹣1＜x＜0．所以集合A＝{x|﹣1＜x＜0}．對于集合B，2x≤1，解得x≤0．所以集合B＝{x|x≤0}．所以A∪B＝{x|x≤0}．故選：A．【點評】本題主要考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）若拋物線C：x2＝my（m≠0）的焦點坐標為（0，﹣1），則拋物線C的準線方程為（）A．x＝2 B．x＝1 C．y＝2 D．y＝1【考點】求拋物線的準線方程；拋物線的標準方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】D【分析】由拋物線方程及焦點坐標直接求出準線方程．【解答】解：因為拋物線的焦點坐標為（0，﹣1），所以拋物線準線方程為y＝1．故選：D．【點評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知a=A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考點】對數(shù)值大小的比較．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可．【解答】解：a=log0.50.2＞log0.50.25=2＞綜上，b＜c＜a，故選：D．【點評】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知(x2+1x)nA．7 B．8 C．9 D．10【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】B【分析】由Tk+1=【解答】解：(x2+故第4項和第6項的系數(shù)相等就是第4項和第6項的二項式系數(shù)相等，即Cn3=Cn故選：B．【點評】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，為基礎(chǔ)題．5．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）＝|x|﹣|x﹣2|+1，則對任意實數(shù)x，有（）A．f（1﹣x）＝2﹣f（1+x） B．f（﹣x）＝﹣f（x）﹣2 C．f（2﹣x）＝2+f（x） D．f（2+x）＝f（2﹣x）【考點】函數(shù)恒成立問題．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解．【答案】A【分析】寫出分段函數(shù)，作出圖象，由圖象得出對稱性判斷AB；取特殊值判斷CD．【解答】解：因為f（x）＝|x|﹣|x﹣2|+1=-作出函數(shù)圖象，如圖所示：因為f（1﹣x）＝|1﹣x|﹣|1﹣x﹣2|+1＝|x﹣1|﹣|x+1|+1，2﹣f（1+x）＝2﹣|x+1|+|x+1﹣2|﹣1＝|x﹣1|﹣|x+1|+1＝f（1﹣x），故A正確；圖象不關(guān)于點（0，﹣1）對稱，故B錯誤；當x＝1時，f（2﹣1）＝1≠2+f（1）＝3，故C錯誤；令x＝﹣1，則f（2﹣1）＝1≠f（3）＝3，故D錯誤．故選：A．【點評】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．6．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）在矩形ABCD中，AB⊥AD，AD＝2，AB=2點E為線段AD的中點，BE與AC交于點F．設(shè)AF→=k1e1→+k2e2→（k1，k2∈R），其中A．k1=23，C．k1=13【考點】平面向量的基本定理．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解．【答案】B【分析】利用向量加法運算和共線運算，可用e1→，【解答】解：如圖，因為AD=2，AB=2所以AD→在矩形ABCD中，因為點E為線段AD的中點，所以AFFC則有AF→則AF→又因為AF→=k故選：B．【點評】本題主要考查平面向量基本定理，屬于中檔題．7．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）設(shè)α∈R，則“sin2α=32”是“tanα=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】求二倍角的三角函數(shù)值；充分條件必要條件的判斷．【專題】函數(shù)思想；綜合法；簡易邏輯；邏輯思維；運算求解．【答案】B【分析】由已知結(jié)合三角函數(shù)值的求法及充分必要條件的判定得答案．【解答】解：α∈R，由sin2α=32，得2α=π3+2kπ或2α即α=π6+kπ或α=π3+kπ，k∈Z由tanα=3，可得sin2α=∴α∈R，則“sin2α=32”是“tanα=故選：B．【點評】本題考查充分必要條件的判定，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．8．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）＝x﹣x3，曲線y＝f（x）在點P（t，f（t））（t∈（0，1））處的切線方程為y＝g（x），設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x），則（）A．當x＞0時，h（x）＞h（0） B．當x＜0時，h（x）＜h（0） C．當x＞0時，h（x）≤0 D．當x＜0時，h（x）≥0【考點】利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；利用導數(shù)求解曲線在某點上的切線方程．【專題】函數(shù)思想；定義法；導數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維．【答案】C【分析】利用導數(shù)的幾何意義，求得曲線的切線方g（x）＝t﹣t3+（1﹣3t2）（x﹣t），根據(jù)題意，得到h（x）＝﹣x3+3t2x﹣2t3，求得h′（x）＝﹣3（x+t）（x﹣t），求得函數(shù)h（x）的單調(diào)性與最值，結(jié)合選項，即可求解．【解答】解：由函數(shù)f（x）＝x﹣x3，可得f'（x）＝1﹣3x2，得f'（t）＝1﹣3t2，f（t）＝t﹣t3，所以曲線y＝f（x）在點P（t，f（t））處的切線方程為：g（x）＝f（t）+f'（t）（x﹣t）＝t﹣t3+（1﹣3t2）（x﹣t），又由h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x﹣x3）﹣[t﹣t3+（1﹣3t2）（x﹣t）]＝﹣x3+3t2x﹣2t3，因為h（g）＝f（x）﹣g（x）＝﹣x3+3t2x﹣2t3＝﹣（x﹣t）2（x+2t），其中0＜t＜1，若x＞0時，h'（x）＝﹣3x2+3t2＝﹣3（x+t）（x﹣t），其中0＜t＜1，當x∈（0，t）時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當x∈（t，+∞）時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，所以h(x)max=h(t)=-又由h（0）＝﹣2t3，且h（2t）＝﹣4t3＜h（0），即h（x）＞h（0）不恒成立，所以C正確，A不正確；若x＜0時，h′（x）＝﹣3（x+t）（x﹣t），其中0＜t＜1，當x∈（﹣∞，﹣t）時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，當x∈（﹣t，0）時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，所以h(所以h（x）≥0不恒成立，又由h（0）＝﹣2t3，h（﹣3t）＝16t3，此時h（﹣3t）＞h（0），所以h（x）＜h（0）不恒成立，所以B、D均不正確．故選：C．【點評】本題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．9．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）金剛石是由碳元素組成的單質(zhì)，具有極高的硬度，在工業(yè)中有廣泛的應(yīng)用，如圖1所示，組成金剛石的每個碳原子都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度，可以認為4個碳原子分布在一個正四面體的4個頂點A，B，C，D處，中間的碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置（點E處），如圖2所示，設(shè)AB＝a，則E到平面ABD的距離為（）A．36a B．69a C．6【考點】空間中點到平面的距離．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得E到到平面ABD的距離為棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑，從而根據(jù)結(jié)論即可得解．【解答】解：設(shè)棱長為a的正四面體的外接球半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，則根據(jù)結(jié)論可得R=64a，根據(jù)題意可得E到到平面ABD的距離為棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑，故所求為612故選：C．【點評】本題考查正四面體的外接球與內(nèi)切球的結(jié)論的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．10．（4分）（2025?朝陽區(qū)二模）設(shè)無窮數(shù)列{an}的前n項和為Sn，定義σkA．當an＝1時，σ2025B．當an=(-1)C．當an=1n(n+1)時，則σD．當an=【考點】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；運算求解；新定義類．【答案】D【分析】根據(jù)選項不同的通項公式，求出Sn與σk，逐一驗證即可．【解答】解：無窮數(shù)列{an}的前n項和為Sn，定義σk對于A選項：當an＝1時，SnS2025=2025，σ2025=對于B選項：當an=(-1)n-1時，Sn在故S2025=1，σ2025=對于C選項：an可得Sn＝a1+a2+a3+...+an＝1-12+12-13+13又nn所以σkσ2025＜S2025，故C不正確；對于D選項：當an=(σ2025-S故選：D．【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的新定義、等差數(shù)列的求和公式，以及是的裂項相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）（2025?朝陽區(qū)二模）若復數(shù)z滿足z?i＝2+i，則|z|＝5．【考點】復數(shù)的除法運算；復數(shù)的模．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；運算求解．【答案】5．【分析】根據(jù)復數(shù)的除法可求得z＝1﹣2i，結(jié)合模長公式運算求解．【解答】解：由題意可知，z=所以由復數(shù)模的公式可知，|z故答案為：5．【點評】本題主要考查復數(shù)模公式，以及復數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2＝﹣8，a5+a6＝8，則a3+a4＝0；設(shè)Sn為{an}的前n項和，則使Sn＞0的n的最小值為7．【考點】等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項公式．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】0；7．【分析】根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，設(shè)其公差為d，由等差數(shù)列的性質(zhì)分析可得第一空答案，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式分析求出d的值，進而可得Sn的表達式，解不等式Sn＞0可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，設(shè)其公差為d，若a1+a2＝﹣8，a5+a6＝8，則a1+a5+a2+a6＝2（a3+a4）＝0，即a3+a4＝0，同時，a5+a6﹣（a1+a2）＝8d＝16，則d＝2，即a4﹣a3＝2，故a4＝1，a1＝a4﹣3d＝﹣5，則Sn＝na1+n(n-1)d若Sn＞0，即n2﹣6n＞0，解可得n＞6或n＜0，由于n≥1且n∈N，則n≥7，即n的最小值為7．故答案為：0；7．【點評】本題考查等差數(shù)列前n項和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）（2025?朝陽區(qū)二模）在△ABC中，a+c=25，且tanB＝2，則sinB＝255；△ABC【考點】解三角形；求兩角和與差的三角函數(shù)值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】255；【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由tanB＝2，設(shè)sinB＝2k，cosB＝k（k＞0），代入sin2B+cos2B＝1，得（2k）2+k2＝1，解得k=55，故sin面積S=12acsinB=55ac得25≥2ac，即ac≤5（當a=故答案為：255；【點評】本題考查了解三角形，屬于中檔題．14．（5分）（2025?茂名模擬）若直線y=13x與雙曲線C：y2-x【考點】直線與雙曲線的綜合；求雙曲線的離心率．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維．【答案】3．【分析】根據(jù)直線與雙曲線沒有公共點求出b的范圍，進而求出離心率的范圍，在該范圍內(nèi)取一個值即可．【解答】解：雙曲線C：y2-x根據(jù)題知：13≤1b，由于b＞0，所以0因此e=因此離心率的一個取值可以為3．故答案為：3．【點評】本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．15．（5分）（2025?朝陽區(qū)二模）設(shè)a＞0，過原點O的直線（不與x軸重合）與圓A：x2+（y﹣a）2＝a2交于點P與直線y＝2a交于點Q．過點P作x軸的平行線，過點Q作x軸的垂線，這兩條直線交于點M（x，y），稱y為x的箕舌線函數(shù)，記作y＝f（x），給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；②若x1＜x2，則f（x1）＞f（x2）；③設(shè)函數(shù)h（x）＝xf（x），則h（x）的最大值為2a2；④設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）+x2，則g（x）的最小值為2a．其中所有正確結(jié)論的序號是①③．【考點】函數(shù)的最值．【專題】應(yīng)用題；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】①③．【分析】設(shè)Q（x0，2a），聯(lián)立直線OQ和圓的方程，求出P點縱坐標即可得出f（x）解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可判斷①，對f（x）求導，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，可判斷②，對于③，分x≤0，x＞0，再利用基本不等式，即可求解；對于④，根據(jù)條件得g(x)=8a3x2+4a2+x2【解答】解：圓x2+（y﹣a）2＝a2的圓心（0，a）在y軸上，設(shè)圓A與y的另一個交點為B，設(shè)Q（x0，2a），當點Q不與點B重合時，直線OQ的方程為y=2ax0所以P點縱坐標為yP=8當點Q與點B重合時，點M的縱坐標也滿足y=8a對任意的x∈R，x2+4a2＞0，所以f(x)=對于命題①，因為f(-所以f（x）是偶函數(shù)，故①正確；對于命題②，因為f'(當x＜0時，f（x）＞0，即f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當x1，x∈（0，+∞）時，若x1＜x2，則f（x1）＜f（x2），所以②錯誤，對于命題③，h(x)=xf(x)=8a3xx2+4當x＞0時，h(x)=且僅當x=4a2x，即x＝2a對于命題④，g(x)=f(x)+x2=8a3x易知y=t+8a若8a3≥4a2即當a∈(0，12]時，g（x故答案為：①③．【點評】本題考查函數(shù)的最值，屬于難題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(x)=f(x-φ)(0＜φ＜π2)，再從條件①條件①：g（x）在區(qū)間[-π條件②：g（x）的最大值為2條件③：g（x）為偶函數(shù)．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】（Ⅰ）T＝π，增區(qū)間為[-3（Ⅱ）若選擇①，g（x）max=2，g（x）min=-62；若選擇②，則不存在符合條件的g若選擇③，g（x）max=2，g（x）min=-【分析】（Ⅰ）由三角恒等變換公式化簡得f（x）=2sin（2x+π4），然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x（Ⅱ）選條件①：g（x）在區(qū)間[-π4，π4]上單調(diào)遞增，根據(jù)g(x)=2sin(2x-2選條件②：g（x）的最大值為2，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知滿足條件的φ不止一個，此種情況不符合題意；選條件③：g（x）為偶函數(shù)，根據(jù)g（x）為偶函數(shù)，列式算出φ=3π8，此時g（x）=-2cos2【解答】解：（Ⅰ）由題意得f(x)=sin2x+cos2由-π2+2所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-3（Ⅱ）選條件①：g（x）在區(qū)間[-π由題意得g(根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論可知g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-3若g（x）在區(qū)間[-π4，π4結(jié)合0＜φ＜π2當0≤x≤2當2x=π2，即x=π4時，g（x）有最大值2；當2x=選條件②：g（x）的最大值為2，結(jié)合g(可知對任意φ∈（0，π2）都滿足條件，故g（x）不選條件③：g（x）為偶函數(shù)，根據(jù)g(x)=2sin(2x-2結(jié)合0＜φ＜π2當0≤x≤2當2x＝0時，即x＝0時，g（x）有最小值-2；當2x＝π時，即2時，g（x）有最大值2【點評】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．17．（14分）（2025?朝陽區(qū)二模）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC⊥側(cè)面ACC1A1，側(cè)面ACC1A1是邊長為4的菱形，∠A1AC＝120°，BC1＝5，AB＝3．（Ⅰ）求證：側(cè)面ABB1A1為矩形；（Ⅱ）求直線A1B與平面BCC1B1所成角的正弦值．【考點】空間向量法求解直線與平面所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運算求解．【答案】（Ⅰ）證明見解析．（Ⅱ）67【分析】（Ⅰ）設(shè)A1C1中點為D，連接AD，由面面垂直的性質(zhì)定理得到AD⊥底面ABC，再由AB⊥AC1，AD⊥AB得到AB⊥平面ACC1A1，從而證得AB⊥AA1即可；（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角余弦值求解線面角正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）證明：連接AC1，因為四邊形ACC1A1為菱形，且∠A1AC＝120°，所以ΔACC1為正三角形，從而AC1＝4．因為AB2+AC1設(shè)A1C1中點為D，連接AD，則AD⊥A1C1，又AC∥A1C1，所以AD⊥AC，因為底面ABC⊥側(cè)面ACC1A1，底面ABC∩側(cè)面CC1A1＝AC，AD?側(cè)面ACC1A1，所以AD⊥底面ABC，而AB?平面ABC，所以AD⊥AB，又AB⊥AC1，AC1∩AD＝A，AD?平面ACC1A1，AC1?平面ACC1A1，所以AB⊥平面ACC1A1，而AA1?平面ACC1A1．所以AB⊥AA1，又因為側(cè)面ABB1A1為平行四邊形，所以側(cè)面ABB1A1為矩形．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB⊥平面ACC1A1，所以AB⊥AC，所以AB，AC，AD兩兩垂直，如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，則A1(-2，23，0)，B（0，0，3），C（4所以A1B→=(2，設(shè)平面BCC1B1的法向量為n→則n→?C令x＝3，則z＝4，y=所以n→設(shè)直線A1B與平面BCC1B1所成角為θ，所以sinθ=|因此，直線A1B與平面BCC1B1所成角的正弦值為67【點評】本題考查線面位置關(guān)系的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（13分）（2025?朝陽區(qū)二模）某電商平臺為了解用戶對配送服務(wù)的滿意度，分別從A地區(qū)和B地區(qū)隨機抽取了500名和100名用戶進行問卷評分調(diào)查，將評分數(shù)據(jù)按[40，50），[50，60），…，[90，100]分組整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從A地區(qū)抽取的500名用戶中隨機抽取一名，求該用戶評分不低于60分的概率；（Ⅱ）從B地區(qū)評分為[80，100]的樣本中隨機抽取兩名，記評分不低于90分的用戶人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)，假設(shè)同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，設(shè)A地區(qū)評分的平均值估計為μ1，A、B兩地區(qū)評分的平均值估計為μ，比較μ1與μ的大小關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）；頻率分布直方圖的應(yīng)用；離散型隨機變量及其分布列．【專題】應(yīng)用題；整體思想；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】（I）0.8；（II）分布列見解析；期望為23（III）μ1＞μ．【分析】（I）根據(jù)頻率分布直方圖計算概率即可；（II）應(yīng)用超幾何分布計算概率，再寫出分布列，最后計算數(shù)學期望即可；（III）根據(jù)頻率分布直方圖的特征得出平均值關(guān)系即可．【解答】解：（I）設(shè)事件M：從A地區(qū)抽取的500名用戶中隨機抽取一名，該用戶評分不低于．由頻率分布直方圖可知A地區(qū)抽取的500名用戶中評分不低于的人數(shù)為500×（0.025+0.035+0.015+0.005）×10＝400，所以P(（II）由頻率分布直方圖可知B地區(qū)評分為[80，100]的樣本用戶共有100×（0.01+0.005）×10＝15人，其中評分不低于的人數(shù)為5人．由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2．P(P(P(所以X的分布列為：X012P371021221則X的數(shù)學期望EX=0×（III）由于B地區(qū)的平均分估計值低于A地區(qū)，合并后的平均值將更接近樣本量較大的A地區(qū)，但B地區(qū)的較高評分仍會使整體平均值略有下降，因此，A地區(qū)的平均值估計μ1大于兩地區(qū)合并后的平均值估計μ．即：μ1＞μ．【點評】本題考查離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望），屬于中檔題．19．（15分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)直線y＝kx+2（k＜0）與橢圓E交于不同的兩點A，B，直線y＝x與直線AB交于點N，若∠AON＝∠BON（O是坐標原點），求k的值．【考點】直線與橢圓的綜合．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運算求解．【答案】（Ⅰ）x2（Ⅱ）k=-【分析】（Ⅰ）由橢圓的幾何性質(zhì)易得結(jié)果；（Ⅱ）聯(lián)立直線和橢圓方程，由Δ＞0及k＜0可得k＜-12，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由韋達定理得x1+x2，x1x2，由傾斜角的概念可得直線OB的傾斜角α和直線OA的傾斜角β滿足α+β=π2，從而直線OA和OB的斜率kOA和kOB滿足kOA?kOB＝1，代入x1+x【解答】解：（Ⅰ）由題意得b=32所以橢圓E的方程為x2（Ⅱ）由題，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組y=kx+2x24+y23=1，化簡得（3+4則Δ＝256k2﹣4（3+4k2）×4＞0，解得：k2又k＜0，所以k＜故x1+x不妨設(shè)點A在點B的上方，因為∠AON＝∠BON，又∠AON此時，直線OB的傾斜角為α=π4-∠BON所以α+由題可知直線OA和OB的斜率都存在，分別設(shè)為kOA和kOB，則kOA?kOB＝1，因為kOA=y所以y1x1?y2x2=1，即x由x1x2＝（kx1+2）（kx2+2）得（1﹣k2）x1x2＝2k（x1+x2）+4，所以(1-k解得k2=2所以k=-【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．20．（15分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知函數(shù)f(（Ⅰ）若a＝0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，1）上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（Ⅲ）若f（x）存在極值點x0，且f（x0）＝1，求a的值．【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導數(shù)的綜合應(yīng)用；運算求解．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[0，1）；（Ⅲ）a＝1．【分析】（Ⅰ）求導，利用導函數(shù)的符號判斷f（x）在[1，+∞）的單調(diào)性進而求最大值即可；（Ⅱ）求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義按a的不同取值范圍分類討論求解即可；（Ⅲ）由極值點的概念可得f'(x0)=0f(x0)=1，消去a得ex0-1(1-x0lnx0)-1=0（*），令h（x）＝ex﹣1（1﹣xlnx）﹣1，利用導數(shù)可得h（x）≤0，當且僅當【解答】解：（Ⅰ）若a＝0，則f(x)=當x≥1時，f′（x）＜0，所以f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）的最大值為f（1）＝1．（2）f（x）的定義域為（0，+∞），當a＝0時，易知f(x)=1e當a＞0時，f'(x)=則g'(x)=-a(x+1)x2，當x∈（0，1）時，g′（x）＜0①若g（1）＝a﹣1≥0，即a≥1時，當x∈（0，1）時，g（x）≥0，即f′（x）≥0，此時f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，不符合題意；②若g（1）＝a﹣1＜0，即0＜a＜1時，g（a）＝﹣alna＞0，所以存在唯一的t∈（a，1）使得g（t）＝0，當x∈（t，1）時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此時f（x）在（t，1）上單調(diào)遞減，符合題意；綜上，a的取值范圍為[0，1）．（Ⅲ）若f（x）存在極值點x0，且f（x0）＝1，則f'(x0所以1ex0-1設(shè)函數(shù)h（x）＝ex﹣1（1﹣xlnx）﹣1，h′（x）＝ex﹣1（1﹣xlnx）+ex﹣1（﹣lnx﹣1）＝﹣ex﹣1（x+1）lnx，當x∈（0，1）時，h′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以當x＝1時，h（x）取得最大值h（1），又h（1）＝0，所以h（x）≤0，當且僅當x＝1時取等號，又（*）等價于h（x0）＝0，所以x0＝1，所以a=經(jīng)檢驗，當a＝1時，f（x）存在極大值點1且f（1）＝1，符合題意，所以a＝1．【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題．21．（15分）（2025?朝陽區(qū)二模）已知{an}是無窮正整數(shù)數(shù)列，且對任意的n≥3，an+1＝card{k|ak＝an，k∈{1，2，?，n}}，其中cardS表示有窮集合S的元素個數(shù)．（Ⅰ）若a1＝2，a2＝3，a4＝2，求a5的所有可能取值；（Ⅱ）求證：數(shù)列{an}中存在等于1的項；（Ⅲ）求證：存在t∈N*，使得集合{k∈N*|ak＝t}為無窮集合．【考點】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；邏輯思維；新定義類．【答案】（Ⅰ）2，3；（Ⅱ）證明見解答；（Ⅲ）證明見解答．【分析】（Ⅰ）先根據(jù)已知條件確定a3的值，然后再確定a5的值；（Ⅱ）利用反證法，結(jié)合分類討論進行證明；（Ⅲ）采用反證法進行證明．【解答】解：（Ⅰ）因為a4＝2，則a1，a2，a3中與a3相等的數(shù)有且僅有2個，除去a3本身，a1，a2中與a3相等的數(shù)有且只有1個，所以a3＝a1＝2或a3＝a2＝3．當a3＝2時，a5＝3；當a3＝3時，a5＝2，所以a5的所有可能取值為2，3．（Ⅱ）證明：假設(shè){an}中不存在等于1的項，則ai≥2，i∈N*，又a4≤3，所以a4∈{2，3}，當a4＝3時，由a5≥2，則存在i∈{1，2，3}，使得ai＝a4＝3，所以a1＝a2＝a3＝3，a5＝4，a6＝1，與假設(shè)矛盾．當a4＝2時，由a5≥2，則存在i∈{1，2，3}，使得ai＝a4＝2，且a1，a2中有且只有一項與a3相等．①若a1，a2，a3中有兩項為2，一項為3，則a5＝3，a6＝2，a7＝4，a8＝1，與假設(shè)矛盾．②若a1，a2，a3中有兩項為2，一項為m（m≥4），則a5＝3，a6＝1，與假設(shè)矛盾．③若a1，a2，a3中有一項為2，兩項為3，則a5＝2，a6＝3，a7＝3，a8＝4，a9＝1，與假設(shè)矛盾．④若a1，a2，a3中有一項為2，兩項為k（k≥4），則a5＝2，a6＝3，a7＝1，矛盾．綜上，假設(shè)不成立，所以{an}中存在等于1的項．（Ⅲ）證明：假設(shè)?t∈N*，{k∈N*|ak＝t}均為有限集合，當t＝1時，max{k∈N*|ak＝1}＝k0，則當n＞k0時，an≥2（*），令M＝max{ai|i∈{1，2，?，k0}}，下證當n＞k0時，an≤M．否則假設(shè)n0=min{n所以當n＞k0時，2≤an≤M，因為已知數(shù)列{an}是無窮正整數(shù)數(shù)列，所以存在l?{2，3，…，M}，使得集合{n∈N*|ak＝l}為無窮集合，矛盾，所以假設(shè)錯誤，所以存在t∈N*，使得集合{k∈N*|ak＝t}為無窮集合．【點評】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查新定義問題，考查邏輯推理能力，屬于難題．

考點卡片1．求集合的并集【知識點的認識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運算性質(zhì)：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．【解題方法點撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，記為A∪B．元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命題方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝{解：依題意，A={x∈所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．2．充分條件必要條件的判斷【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．3．指、對數(shù)不等式的解法【知識點的認識】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）．步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的討論．（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則．（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解．（4）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（6）含絕對值不等式①應(yīng)用分類討論思想去絕對值；②應(yīng)用數(shù)形思想；③應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化．注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：4．函數(shù)的最值【知識點的認識】函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點或最低點的縱坐標，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點的值，然后進行比較可得．【解題方法點撥】①基本不等式法：如當x＞0時，求2x+8x的最小值，有2x+8x②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導法：通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求出極值，再結(jié)合端點的值最后進行比較．【命題方向】本知識點是?？键c，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．本知識點未來將仍然以復合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導法等．5．函數(shù)恒成立問題【知識點的認識】函數(shù)恒成立問題是指在定義域或某一限定范圍內(nèi)，函數(shù)滿足某一條件（如恒大于0等），此時，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適當?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過程．【解題方法點撥】﹣分析函數(shù)的定義域和形式，找出使函數(shù)恒成立的條件．﹣利用恒成立條件，確定函數(shù)的行為．一般恒成立問題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量【命題方向】題目包括判斷函數(shù)恒成立條件及應(yīng)用題，考查學生對函數(shù)恒成立問題的理解和應(yīng)用能力．關(guān)于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴?x∈R，m＜1x∵x2+x+1＝（x+12）2∴0＜1∴m≤0．6．對數(shù)值大小的比較【知識點的認識】1、若兩對數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較．2、若兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進行比較3、若兩對數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進行比較．（畫圖的方法：在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）7．正弦函數(shù)的單調(diào)性【知識點的認識】三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．8．求兩角和與差的三角函數(shù)值【知識點的認識】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解題方法點撥】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβcos（α±β）＝cosαcosβ?sinαsinβtan(﹣將具體角度值代入公式，求解三角函數(shù)值．﹣驗證計算結(jié)果的正確性．【命題方向】常見題型包括利用和差公式求解三角函數(shù)值，結(jié)合具體角度進行計算．若α為銳角，sinα=45，則解：若α為銳角，sinα=45，則cossin(α+π3)=19．求二倍角的三角函數(shù)值【知識點的認識】二倍角的正弦其實屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α=2【解題方法點撥】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣將具體角度值代入公式，求解二倍角的三角函數(shù)值．﹣驗證計算結(jié)果的正確性．【命題方向】常見題型包括利用二倍角公式求解三角函數(shù)值，結(jié)合具體角度進行計算．已知tanα2=22，則解：因為tanα所以tanα=故答案為：2210．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【知識點的認識】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：sinαcosα=tan2．誘導公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=211．等差數(shù)列的通項公式【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，已知等差數(shù)列的首項a1，公差d，那么第n項為an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m項為am，則第n項為an＝am+（n﹣m）d．【解題方法點撥】eg1：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2+1，求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷{an}是不是等差數(shù)列解：當n＝1時，a1＝S1＝12+1＝2，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an=2把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差數(shù)列考察了對概念的理解，除掉第一項這個數(shù)列是等差數(shù)列，但如果把首項放進去的話就不是等差數(shù)列，題中an的求法是數(shù)列當中常用到的方式，大家可以熟記一下．eg2：已知等差數(shù)列{an}的前三項分別為a﹣1，2a+1，a+7則這個數(shù)列的通項公式為解：∵等差數(shù)列{an}的前三項分別為a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴數(shù)列an是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．這個題很好的考察了的呢公差數(shù)列的一個重要性質(zhì)，即等差中項的特點，通過這個性質(zhì)然后解方程一樣求出首項和公差即可．【命題方向】求等差數(shù)列的通項公式是一種很常見的題型，這里面往往用的最多的就是等差中項的性質(zhì)，這也是學習或者復習時應(yīng)重點掌握的知識點．12．等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點撥】等差數(shù)列的前n項和具有許多重要性質(zhì)，如遞增性、遞減性、與通項公式的關(guān)系等．﹣性質(zhì)分析：分析等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)，如遞增性、遞減性等．﹣公式推導：根據(jù)等差數(shù)列的定義和前n項和公式，推導出數(shù)列的性質(zhì)．﹣綜合應(yīng)用：將前n項和的性質(zhì)與其他數(shù)列性質(zhì)結(jié)合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)分析數(shù)列的遞增性、遞減性，結(jié)合具體數(shù)列進行分析．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15，則Sn的最小值為_____．解：S3＝3a2＝﹣15，解得a2＝﹣5，故等差數(shù)列{an}的公差d＝a2﹣a1＝﹣5﹣（﹣7）＝2，∵a4＝a1+3d＝﹣1，a5＝a1+4d＝1，a3＝a2+d＝﹣5+2＝﹣3，∴當n＝4時，Sn取得最小值S4＝a1+a2+a3+a4＝﹣7﹣5﹣3﹣1＝﹣16．故答案為：﹣16．13．數(shù)列的求和【知識點的認識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項和公式：③幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項和，其中{an}為各項不為0（4）倒序相加法：推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求數(shù)列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即數(shù)列{bn}的前n項和Tn=n點評：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項求和法，這也是數(shù)列求和當中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點，大家要學會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．14．數(shù)列遞推式【知識點的認識】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系式：an=s在數(shù)列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點，要認真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子．（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點撥】數(shù)列的通項的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1n≥2s（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an（6）已知遞推關(guān)系求an，有時也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an=a（7）求通項公式，也可以由數(shù)列的前幾項進行歸納猜想，再利用數(shù)學歸納法進行證明．15．利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間【知識點的認識】1、導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導數(shù)求解多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計算導數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號，進而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點撥】若在某區(qū)間上有有限個點使f′（x）＝0，在其余的點恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對任意x∈R，f′（x）＞2，∴對任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B16．利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【知識點的認識】1、極值的定義：（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點；（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點．2、極值的性質(zhì)：（1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最?。唬?）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個；（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值；（4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點．3、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導數(shù)異號，則x0是f（x）的極值點，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左正右負”，則x0是f（x）的極大值點，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左負右正”，則x0是f（x）的極小值點，f（x0）是極小值．4、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值．【解題方法點撥】在理解極值概念時要注意以下幾點：（1）按定義，極值點x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導）．（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得．一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的，（5）可導函數(shù)的極值點必須是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，不可導的點也可能是極值點，也可能不是極值點．17．利用導數(shù)研究函數(shù)的最值【知識點的認識】1、函數(shù)的最大值和最小值觀察圖中一個定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f（x）不一定有最大值與最小值．如函數(shù)f（x）=1x在（0，（2）函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的．（3）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個2、用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟：由上面函數(shù)f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值．【解題方法點撥】在理解極值概念時要注意以下幾點：（1）按定義，極值點x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導）．（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得．一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的，（5）可導函數(shù)的極值點必須是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，不可導的點也可能是極值點，也可能不是極值點．18．利用導數(shù)求解曲線在某點上的切線方程【知識點的認識】曲線在某點上的切線方程可以通過該點的導數(shù)值和坐標求得．【解題方法點撥】﹣求導：計算函數(shù)的導數(shù)f'（x）．﹣切線方程：利用導數(shù)值作為切線的斜率，結(jié)合點的坐標，寫出切線方程．﹣公式：切線方程為y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是點的橫坐標．【命題方向】常見題型包括求解曲線在特定點的切線方程，分析函數(shù)的局部行為．曲線y=2xx2+1在點（2解：由題意得y'=則曲線在點（2，45）處的切線斜率k＝y(tǒng)'|x＝2=故曲線y=2xx2+1在（2，45）處的切線方程為y-45=-625（x故答案為：6x+25y﹣32＝0．19．平面向量的基本定理【知識點的認識】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對實數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．20．解三角形【知識點的認識】1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問題①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分別表示②S△ABC=12absinC=12bcsinA=③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC=abc⑤S△ABC=s(s-a)(s-b)(⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝πA2+B2=π2-C2，余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=a正弦定理asinA=R為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=a2R，sinB=b射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△=12aha=12bh②S△=12absinC=12acsinB③S△=④S△=s(s-a)(s-b)(⑤S△=12（a+b+c（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA=sinB＝2SsinC=21．復數(shù)的?！局R點的認識】1．復數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a+bi為實數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．2、復數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、復數(shù)的模：OZ→的長度叫做復數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=22．復數(shù)的除法運算【知識點的認識】復數(shù)除法涉及分子與分母的復數(shù)．對于復數(shù)z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法結(jié)果是z1【解題方法點撥】﹣化簡復數(shù)：將復數(shù)除法轉(zhuǎn)換為分數(shù)形式，乘以分母的共軛復數(shù)，化簡得到標準形式．﹣應(yīng)用：在實際問題中如何處理復數(shù)的除法及其應(yīng)用．【命題方向】﹣復數(shù)除法的計算：考查如何計算復數(shù)除法及其結(jié)果．﹣除法的實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用復數(shù)除法．i是虛數(shù)單位，2i1+解：2i1+i23．空間向量法求解直線與平面所成的角【知識點的認識】直線與平面所成角的求法：向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a→，平面的法向量為u→，直線與平面所成的角為θ，a→與u→的夾角為φ，則有sinθ＝|cos【解題方法點撥】﹣點積和模：計算向量的數(shù)量積和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函數(shù)計算角度．【命題方向】﹣向量法計算：考查如何使用空間向量法計算直線與平面之間的夾角．24．空間中點到平面的距離【知識點的認識】﹣點到平面的距離：點P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量為（A，B，C））的距離為：d=【解題方法點撥】﹣計算距離：代入點和平面的系數(shù)，使用公式計算距離．【命題方向】﹣距離計算：考查如何計算點到平面的距離．25．直線與橢圓的綜合【知識點的認識】直線與橢圓的位置判斷：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與橢圓相交?Δ＞0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ＜0；【解題方法點撥】（1）直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法①聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式來判斷；②借助直線和橢圓的幾何性質(zhì)來判斷．根據(jù)直線系方程抓住直線恒過定點的特征，將問題轉(zhuǎn)化為點和橢圓的