【備考期末】呼和浩特市中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)和幾何綜合專題一、二次函數(shù)壓軸題1．如圖，拋物線（）交直線：于點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，且過點(diǎn)，連接，.（1）求此拋物線的表達(dá)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在拋物線上，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.2．綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接CM，將線段MC繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MD，連接CD、BD．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t＞0），請(qǐng)解答下列問題：（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)與直線l的表達(dá)式；（2）①請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含t的式子表示），并求點(diǎn)D落在直線l上時(shí)t的值；②求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中線段CD長(zhǎng)度的最小值．3．小明在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中遇到這樣一個(gè)函數(shù)：y＝[x]，若x≥0時(shí)，[x]＝x2﹣1；若x＜0時(shí)，x＝﹣x+1．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)該函數(shù)進(jìn)行了探究．（1）下列關(guān)于該函數(shù)圖像的性質(zhì)正確的是；（填序號(hào)）①y隨x的增大而增大；②該函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；③當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)有最小值為﹣1；④該函數(shù)圖像不經(jīng)過第三象限．（2）①在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出該函數(shù)圖像；②若關(guān)于x的方程2x+c＝[x]有兩個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖像，直接寫出c的取值范圍是；（3）若點(diǎn)（a，b）在函數(shù)y＝x﹣3圖像上，且﹣＜[a]≤2，則b的取值范圍是．4．已知拋物線有最低點(diǎn)為F．（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)E（-1，3）時(shí)，①求拋物線的解析式；②點(diǎn)M是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線，與直線交于點(diǎn)N，求線段長(zhǎng)度的最大值；（2）將拋物線G向右平移m個(gè)單位得到拋物線．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x之間存在一個(gè)函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）記（2）所求的函數(shù)為H，拋物線G與函數(shù)H的交點(diǎn)為P，請(qǐng)結(jié)合圖象求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．5．綜合與探究如圖1，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和直線BC的表達(dá)式；（2）如圖2，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，依次連接BM，，，NB，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，求點(diǎn)M坐標(biāo)；（3）如圖3，點(diǎn)P是拋物線第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過P作x軸的平行線分別交直線BC和y軸于點(diǎn)Q和點(diǎn)E，連接交直線BC于點(diǎn)D，連接，PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△的面積為，△PBD的面積為，求的最大值．6．如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．連接．（1）求拋物線的解析式；（2）求的值；（3）①在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為________；②連接，在①的條件下，把沿軸平移（限定點(diǎn)在射線上），并使拋物線與的邊始終有兩個(gè)交點(diǎn)，探究點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是多少？7．綜合與探究如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)Q是線段PD的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M是直線BC上一點(diǎn)，N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以P，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．8．定義：如果一條直線把一個(gè)封閉的平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條中分線．如三角形的中線所在的直線是三角形的一條中分線．（1）按上述定義，分別作出圖1，圖2的一條中分線．（2）如圖3，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．①求m的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；②探究在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以A，C，D，P為頂點(diǎn)的平行四邊形的一條中分線經(jīng)過點(diǎn)O．若存在，求出中分線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．已知拋物線（n為正整數(shù)，且）與x軸的交點(diǎn)為和．當(dāng)時(shí)，第1條拋物線與x軸的交點(diǎn)為和，其他以此類推．（1）求的值及拋物線的解析式．（2）拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（_______，_______）；以此類推，第條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（______，_______）；所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是_________．（3）探究以下結(jié)論：①是否存在拋物線，使得為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．②若直線與拋物線分別交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)有何規(guī)律？請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示．10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+3經(jīng)過A(1，0)、B(－3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．直線BC經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及對(duì)稱軸；（2）將△COB沿直線BC平移，得到△C1O1B1，請(qǐng)?zhí)骄吭谄揭频倪^程中是否存在點(diǎn)O1落在拋物線上的情形，若存在，求出點(diǎn)O1的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）如圖2，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連結(jié)AC，請(qǐng)?zhí)骄吭趻佄锞€上是否存在一點(diǎn)F，使直線EF∥AC，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．二、中考幾何壓軸題11．（教材呈現(xiàn)）下圖是華師版八年級(jí)下冊(cè)教材第89頁(yè)的部分內(nèi)容．例6：如圖18.2.12，G、H是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AG＝CH，E、F分別是邊AB和CD的中點(diǎn)．圖18.2.12求證：四邊形EHFG是平行四邊形．證明：連結(jié)EF交AC于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD．又∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴AE＝CF．又∵AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO．又∵∠AOE＝∠COF,∴．請(qǐng)補(bǔ)全上述問題的證明過程．（探究）如圖①，在中，E，O分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，D、F分別是線段AO、CO的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EF，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到，若四邊形DEFG的面積為8，則的面積為．（拓展）如圖②，GH是正方形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)．若正方形ABCD的面積為16，則四邊形EHFG的面積為．12．如圖1所示，邊長(zhǎng)為4的正方形與邊長(zhǎng)為的正方形的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)在對(duì)角線上．（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1所示，與的數(shù)量關(guān)系為________；（類比探究）如圖2所示，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，請(qǐng)問此時(shí)上述結(jié)論是否還成立？如成立寫出推理過程，如不成立，說明理由；（拓展延伸）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，有點(diǎn)、、在一條直線上，直接寫出此時(shí)線段的長(zhǎng)度為________13．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，，點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，連結(jié)、，交于．填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系是_________；②線段與的位置關(guān)系是_________．（2）拓展探究：如圖2，在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連結(jié)、，交于．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在中，，，，的平分線交于，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連結(jié)、、，與相交于，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，直接寫出的長(zhǎng)．14．（1）問題情境：如圖1，已知等腰直角中，，，是上的一點(diǎn)，且，過作于，取中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為_______（請(qǐng)直接寫出答案）小明采用如下的做法：延長(zhǎng)到，使，連接，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是的中位線……請(qǐng)你根據(jù)小明的思路完成上面填空；（2）遷移應(yīng)用：將圖1中的繞點(diǎn)作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，試探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)．15．折紙是一種許多人熟悉的活動(dòng)．近些年，經(jīng)過許多人的努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙的一邊三等分的精確折法，下面探討其中的一種折法：（綜合與實(shí)踐）操作一：如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片ABCD展開，得到折痕MN；操作二：如圖2，將正方形紙片ABCD的右上角沿MC折疊，得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D′；操作三：如圖3，將正方形紙片ABCD的左上角沿MD′折疊再展開，折痕MD′與邊AB交于點(diǎn)P；（問題解決）請(qǐng)?jiān)趫D3中解決下列問題：（1）求證：BP＝D′P；（2）AP：BP＝；（拓展探究）（3）在圖3的基礎(chǔ)上，將正方形紙片ABCD的左下角沿CD′折疊再展開，折痕CD′與邊AB交于點(diǎn)Q．再將正方形紙片ABCD過點(diǎn)D′折疊，使點(diǎn)A落在AD邊上，點(diǎn)B落在BC邊上，然后再將正方形紙片ABCD展開，折痕EF與邊AD交于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，如圖4．試探究：點(diǎn)Q與點(diǎn)E分別是邊AB，AD的幾等分點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．16．問題發(fā)現(xiàn)：（1）正方形ABCD和正方形AEFG如圖①放置，AB＝4，AE＝2.5，則＝___________．問題探究：（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，∠BPC＝135°，求AP長(zhǎng)的最小值．問題拓展：（3）如圖③，在四邊形ABCD中，連接對(duì)角線AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，則對(duì)角線BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．（1）問題提出：如圖①，在矩形中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，垂足為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，．可知的形狀為______；（2）深人探究：如圖②，將在平面內(nèi)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷的形狀是否變化，并說明理由；（提示：延長(zhǎng)到，使；延長(zhǎng)到，使，連接，，，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明）（3）拓展延伸：如果，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．18．（問題呈現(xiàn)）下面是華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁(yè)的第1題，請(qǐng)結(jié)合圖①完成這道題的證明．如圖①，點(diǎn)是正方形的邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．求證：．（拓展探究）如圖②，在中，，，，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且．（1）直接寫出四邊形的面積．（2）若，則四邊形的周長(zhǎng)為________．19．（閱讀理解）定義：如果四邊形的某條對(duì)角線平分一組對(duì)角，那么把這條對(duì)角線叫“協(xié)和線”，該四邊形叫做“協(xié)和四邊形”．（深入探究）（1）如圖1，在四邊形中，，，請(qǐng)說明：四邊形是“協(xié)和四邊形”．（嘗試應(yīng)用）（2）如圖2，四邊形是“協(xié)和四邊形”，為“協(xié)和線”，，，若點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，連接，，．求：①與的面積的比；②的正弦值．（拓展應(yīng)用）（3）如圖3，在菱形中，，，點(diǎn)、分別在邊和上，點(diǎn)、分別在邊和上，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，若四邊形，都是“協(xié)和四邊形”，“協(xié)和線”分別是、，求的最小值．20．（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1所示，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接、，的值為______；（類比探究）（2）如圖2所示，在（1）的條件下，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則的值會(huì)發(fā)生改變嗎？說明你的理由；（拓展延伸）（3）如圖3所示，在鈍角中，，，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，，連接．將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，連接，則______（請(qǐng)用含有，的式子表示）．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、二次函數(shù)壓軸題1．A解析：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）存在，，；（3）或或.【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把A、B、C三點(diǎn)代入解析式求解即可求的解析式，然后把解析式化為頂點(diǎn)式可求得結(jié)果.（2）先求出BC所在直線的解析式，設(shè)出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形可分類討論，分為AQ=AC,AC=CQ,AQ=CQ三種情況.（3）分兩種情況討論，一是F在拋物線上方，過點(diǎn)作軸，可得FH=4，設(shè)，可得，求出n代入即可；二是F在拋物線下方，可得，求出n的值即可，最后的結(jié)果綜合兩個(gè)結(jié)果即可.【詳解】解：（1）∵當(dāng)時(shí)，,∴;∴，;二次函數(shù)過點(diǎn)、，設(shè);∵過點(diǎn),∴;∴;∴;∵,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）存在.設(shè)過、,;設(shè)解得：;∴;設(shè)、;在中，解得;①當(dāng)時(shí);;解得：（不合題意舍去），;∴;②當(dāng)時(shí);;解得：，（不合題意舍去）;∴;③當(dāng)時(shí);;解得：（不合題意舍去）;∴，;（3）當(dāng)在拋物線上方時(shí)，，時(shí);過點(diǎn)作軸，與全等;則;設(shè);則;解得；，；或;當(dāng)在拋物線下方時(shí)，;（不合題意舍去），;∴;∴或或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確分析題目條件，利用了等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.2．A解析：（1）A（﹣3，0），y＝﹣x+；（2）①點(diǎn)D落在直線l上時(shí)，t＝6﹣2；②CD的最小值為．【分析】（1）解方程求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的表達(dá)式；（2）①分點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)兩種情況，DN⊥x軸于N，證明△MCO≌△DMN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出t；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短解答．【詳解】（1）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣x+=0，解得x1＝1，x2＝﹣3，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A（﹣3，0），B（1，0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，即C（0，），設(shè)直線l的表達(dá)式為y＝kx+b，將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，解得，，則直線l的表達(dá)式為y＝﹣x+；（2）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，由題意可知，AM＝t，OM＝3﹣t，MC⊥MD，則∠DMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，∴∠MCO＝∠DMN，在△MCO與△DMN中，，∴△MCO≌△DMN（AAS），∴MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，∴D（t﹣3+，t﹣3）；同理，如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D（﹣3+t+，t﹣3）將D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線BC的解析式y(tǒng)＝﹣x+得，t﹣3＝﹣×（﹣3+t+）+，t＝6﹣2，即點(diǎn)D落在直線l上時(shí)，t＝6﹣2；②∵△COD是等腰直角三角形，∴CM＝MD，∴線段CM最小時(shí)，線段CD長(zhǎng)度的最小，∵M(jìn)在AB上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM最短，CD最短，即CM＝CO＝，根據(jù)勾股定理得，CD的最小值為．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)特點(diǎn).3．（1）③④；（2）①見解析；②或；（3）或【分析】（1）畫出圖象，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．（2）①根據(jù)題意列表、描點(diǎn)、連線即可．②將看成是一次函數(shù)，此函數(shù)與軸的交點(diǎn)是，因此要與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則需要分情況討論．當(dāng)時(shí)，滿足兩個(gè)交點(diǎn)的要求；當(dāng)時(shí)，與圖像沒有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可以有兩個(gè)交點(diǎn)，此種情況要代入，根據(jù)根的判別式求出的范圍即可．（3）因?yàn)?，所以根?jù)分段函數(shù)的圖像，求解取值在到2之間的自變量的范圍，分情況討論即可．再根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則，即，代入到的取值范圍中求解即可．【詳解】解：（1）畫出圖象，根據(jù)圖象可知，①當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故錯(cuò)誤；②該函數(shù)圖象關(guān)于軸不對(duì)稱，故錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，正確；④該函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限，正確；故答案為：③④．（2）①在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象，②關(guān)于的方程有兩個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，可以看成是和有兩個(gè)交點(diǎn)．是一次函數(shù)，與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，滿足兩個(gè)交點(diǎn)的條件．若將向下平移與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則．方程為，即．△，，．故答案為：或．（3），當(dāng)時(shí)，，，解出．當(dāng)時(shí)，，，解出．或．點(diǎn)在函數(shù)圖象上，，，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查的是分段函數(shù)，用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．4．E解析：（1）①；②2；（2）；（3）【分析】（1）①把點(diǎn)E（-1，3）代入求出m的值即可；②先求出直線EF的解析式，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，得到MN的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）寫出拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)平移規(guī)律即可得到的頂點(diǎn)式，進(jìn)而得到的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即，消去，得到與的函數(shù)關(guān)系式，再由即可求得的取值范圍；（3）求出拋物線怛過點(diǎn)A（2，-3），函數(shù)H的圖象恒過點(diǎn)B（2，-4），從圖象可知兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)P應(yīng)在A，B之間，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)在A，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間，從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)E（-1，3）∴∴∴拋物線的解析式為：②如圖，∵點(diǎn)F為拋物線的最低點(diǎn)，∴∴設(shè)直線EF的解析式為：把E（-1，3），F(xiàn)（1，-5）代入得，解得，∴直線EF的解析式為：設(shè)，則∴∵∴當(dāng)時(shí)，MN有最大值，最大值為2；（2）∵拋物線∴平移后的拋物線∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為∴∴∴∵∴∴∴與的函數(shù)關(guān)系式為：（3）如圖，函數(shù)的圖象為射線，時(shí)，；時(shí)，∴函數(shù)H的圖象恒過點(diǎn)（2，-4）∵拋物線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴拋物線G恒過點(diǎn)A（2，-3）由圖象可知，若拋物線G與函數(shù)H的圖象有交點(diǎn)P，則有∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想等知識(shí)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．5．A解析：（1），y＝－x＋4；（2）M（1，－1）；（3）的最大值是4．【分析】（1）先求得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，即可求得的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得直線BC的表達(dá)式；（2）過M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，連接OM．證明△OMB≌△O，即可得∠MOB=．再求得∠MOB==45°；由此求得．再求得拋物線的對(duì)稱軸，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）過B作BI⊥PQ于I．易求，再求得PQ的最大值，即可求得的最大值．【詳解】（1）∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)y＝0時(shí)，，解，得；∴B（4，0）∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)C，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），．設(shè)BC的表達(dá)式為y＝kx＋b，將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得，解，得．直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋4；（2）過M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，連接OM．∵四邊形是菱形，∴BM=，∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∵OM=OM，∴△OMB≌△O，∴∠MOB=．∵∠BO＝90°，∴∠MOB==45°；∵M(jìn)H⊥y，．∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，．∴M（1，－1）．（3）過B作BI⊥PQ于I．∵PQ//x軸，∴∠IEO＝90°，∴四邊形EOBI是矩形．．，∵點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．∵PQ//x軸，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，將其代入y＝－x＋4，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為．∵點(diǎn)P是拋物線第一象限內(nèi)，∴點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)，．，∴當(dāng)m＝2時(shí)，PQ的最大值是2，∴的最大值是4．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，解決第（3）題時(shí)構(gòu)建二次函數(shù)模型是解決問題的關(guān)鍵．6．F解析：（1）；（2）；（3）①；②【分析】（1）由題可設(shè)拋物線解析式為，將N點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出a即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）過點(diǎn)作軸于，由題可設(shè)，故可求出PF的長(zhǎng)．在中，利用勾股定理可求出PE的長(zhǎng)，即發(fā)現(xiàn)，故．（3）①由題意易求，即．結(jié)合（2）即可列出關(guān)于m的方程，解出m即可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．②根據(jù)題意可知將沿y軸平移，使拋物線與△PEF的邊始終有兩個(gè)交點(diǎn)的極限條件為：向上平移，一直到點(diǎn)與點(diǎn)重合前和向下平移，一直到點(diǎn)與點(diǎn)重合前．根據(jù)平移規(guī)律結(jié)合①即可得出答案．【詳解】解：（1）由題可設(shè)拋物線解析式為，把代入，，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）如圖，過點(diǎn)作軸于，由題可設(shè)，∴∵在中，，即，∴，∴，即．（3）①由題意可知，∵，∴，∴．由（2）可知，．∴，解得：（舍）．故，即．②根據(jù)題意可知將沿y軸平移，使拋物線與△PEF的邊始終有兩個(gè)交點(diǎn)的條件為：向上平移，一直到點(diǎn)與點(diǎn)重合前和向下平移，一直到點(diǎn)與點(diǎn)重合前．Ⅰ當(dāng)沿y軸向上平移，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖，.∵,∴此時(shí)P點(diǎn)向上平移1個(gè)單位得到，即．∵點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，拋物線與△PEF的邊有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)拋物線與△PEF的邊有兩個(gè)交點(diǎn)，∴．Ⅱ當(dāng)沿y軸向下平移，且點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)，如圖，.∵，∴此時(shí)P點(diǎn)向下平移4個(gè)單位得到，即．∵點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)，拋物線與△PEF的邊只有一個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)拋物線與△PEF的邊只有一個(gè)交點(diǎn)，∴．綜上可知．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，勾股定理，兩點(diǎn)的距離公式以及含角的直角三角形的性質(zhì)．作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．7．B解析：（1）；（2）P（2，1）；（3），，，【分析】（1）求出點(diǎn)B，帶入求解即可；（2）設(shè)，，，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)列式計(jì)算即可；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)分類討論即可；【詳解】（1）令，解得：，∴，令，則，∴，把，代入中，∴，∴，，∴；（2）設(shè)，，，∵Q為PD中點(diǎn)，∴，∴，∴，（舍），∴；（3）①如圖，由題意可得：為菱形的邊，為菱形的對(duì)角線，由（2）可得：，，設(shè)，，由可得：整理得：解得：檢驗(yàn)：不合題意舍去，取如圖，為菱形的邊，同理可得：或②如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由，，可得：重合，重合時(shí)，四邊形為菱形，綜上：，，，；【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，結(jié)合菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和一元二次方程的求解是解題的關(guān)鍵．8．（1）見解析；（2）①，；②存在，或或【分析】（1）對(duì)角線所在的直線為平行四邊形的中分線，直徑所在的直線為圓的中分線；（2）①將代入拋物線，得，解得，拋物線解析式，頂點(diǎn)為；②根據(jù)拋物線解析式求出，，，當(dāng)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，過對(duì)角線的交點(diǎn)的直線將該平行四邊形分成面積相等的兩部分，所以平行四邊形的中分線必過對(duì)角線的交點(diǎn)．Ⅰ．當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，中分線解析式為；Ⅱ．當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)．中分線解析式為；Ⅲ．當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，中分線解析式為．【詳解】解：（1）如圖，對(duì)角線所在的直線為平行四邊形的中分線，直徑所在的直線為圓的中分線，（2）①將代入拋物線，得，解得，拋物線解析式，頂點(diǎn)為；②將代入拋物線解析式，得，解得或4，，，令，則，，當(dāng)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，過對(duì)角線的交點(diǎn)的直線將該平行四邊形分成面積相等的兩部分，所以平行四邊形的中分線必過對(duì)角線的交點(diǎn)．Ⅰ．當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，即，中分線經(jīng)過點(diǎn)，中分線解析式為；Ⅱ．當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，即．中分線經(jīng)過點(diǎn)，中分線解析式為；Ⅲ．當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，即，中分線經(jīng)過點(diǎn)，中分線解析式為，綜上，中分線的解析式為式為或?yàn)榛驗(yàn)椋军c(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．C解析：（1）；y＝?（x?2）＋4；（2）（n，n）；[（n＋1），（n＋1）]；y＝x；（3）①存在，理由見詳解；②CC＝2m．【分析】（1）），則＝2，則＝2＋2＝4，將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，則點(diǎn)（4，0），將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得：＝2，＝4，即可求解；（2）同理可得：＝3，＝9，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，），以此推出：點(diǎn)[（n＋1），（n＋1）]，故所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y＝，即可求解；（3）①△AAnBn為等腰直角三角形，則AAn＝2ABn，即（2n）＝2（n＋），即可求解；②y＝?（m?n＋1）＋（n?1），y＝?（m?n）＋n，CC=y?y，即可求解．【詳解】解：（1），則＝2，則＝2＋2＝4，將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，則點(diǎn)（4，0），將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得：＝2，＝4；故y＝?（x?）＋＝?（x?2）＋4；（2）同理可得：＝3，＝9，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，），以此推出：點(diǎn)[（n＋1），（n＋1）]，故所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y＝；故答案為：（n，n）；[（n＋1），（n＋1）]；y＝x；（3）①存在，理由：點(diǎn)A（0，0），點(diǎn)An（2n，0）、點(diǎn)（n，n），△AAnBn為等腰直角三角形，則AAn＝2ABn，即（2n）＝2（n＋n），解得：n＝1（不合題意的值已舍去），拋物線的表達(dá)式為：y＝?（x?1）＋1；②y＝?（m?n＋1）＋（n?1），y＝?（m?n）＋n，CC＝y(tǒng)?y＝?（m?n）＋n＋（m?n＋1）?（n?1）＝2m．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，這種找規(guī)律類型題目，通常按照題設(shè)的順序逐次求解，通常比較容易．10．F解析：（1），；（2）O1(,)或（，）；（3）滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1(-2，3)，F(xiàn)2(3，-12)．【分析】（1）把A（1，0），B（-3，0）代入y=ax2+bx+3即可求解；（2）先求出直線OO1的解析式為，再根據(jù)，求解即可或是根據(jù)得出x的值，再根據(jù)直線OO1的解析式為求解；（3）先求出直線EF解析式為，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：（1）將點(diǎn)A（1,0），B（-3,0）代入拋物線解析式y(tǒng)=x2+bx+3得：解得：∴拋物線解析式為∴∴（2）∵點(diǎn)C為與軸的交點(diǎn)∴C（0，3）∵B(－3，0)∴OB＝OC∴∠CBO=45°∵將△COB沿直線BC平移，得到△C1O1B1∴直線OO1∥BC∴∠O1OA=45°∴直線OO1的解析式為根據(jù)題意得整理得解得∴O1(,)或)（，）解法2∵點(diǎn)C為與軸的交點(diǎn)∴C（0，3）∴OC=3∵將△COB沿直線BC平移，得到△C1O1B101C1=3∴整理得解得∵B(－3，0)∴OB＝OC∴∠CBO=45°∵將△COB沿直線BC平移，得到△C1O1B1∴直線OO1∥BC∴∠O1OA=45°∴直線OO1的解析式為y=x∴O1(,)或（，）(3)∵拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(-1,0),過點(diǎn)C作CF∥x軸根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得F的坐標(biāo)為F(-2,3)∴AE=CF=2∵CF∥AE∴四邊形CFEA為平行四邊形∴EF∥CA設(shè)直線EF的解析式為得：解得：∴直線EF解析式為根據(jù)題意得解得滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1(-2，3)，F(xiàn)2(3，-12)．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．二、中考幾何壓軸題11．教材呈現(xiàn)：見解析；探究：16；拓展：．【分析】教材呈現(xiàn)：先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；探究：先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等底同高可得，從而解析：教材呈現(xiàn)：見解析；探究：16；拓展：．【分析】教材呈現(xiàn)：先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；探究：先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等底同高可得，從而可得，然后根據(jù)三角形中位線定理即可得；拓展：先根據(jù)正方形的性質(zhì)和面積可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，然后利用三角形的面積公式可得，最后利用平行四邊形的性質(zhì)即可得．【詳解】教材呈現(xiàn)：補(bǔ)充完整證明過程如下：，又∵，∴，即，∴四邊形EHFG是平行四邊形；探究：如圖，連接OE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CO的中點(diǎn)，，由等底同高得：，，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，是的中位線，，故答案為：16；拓展：如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)O，四邊形ABCD是面積為16的正方形，，，，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，，在和中，，，，即，解得，，由教材呈現(xiàn)可知，四邊形EHFG是平行四邊形，則四邊形EHFG的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是拓展，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．12．【問題發(fā)現(xiàn)】；【類比探究】上述結(jié)論還成立，理由見解析；【拓展延伸】或．【分析】問題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即解析：【問題發(fā)現(xiàn)】；【類比探究】上述結(jié)論還成立，理由見解析；【拓展延伸】或．【分析】問題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即可的結(jié)論；拓展延伸：分兩種情況，連接CE交GF于H，由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=4，AC=AB=4，GF=CE=CF，GH=HF=HE=HC，得出CF=BC=2，GF=CE=2，HF=HE=HC=，由勾股定理求出AH==，即可得出答案．【詳解】問題發(fā)現(xiàn)：AE=BF，理由如下：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，CE=CF，，∴，∴，∴AE=BF；故答案為：AE=BF；類比探究：上述結(jié)論還成立，理由如下：連接，如圖2所示：∵，∴，在和中，CE=CF，CA=CB，∴，∴，∴，∴AE=BF；拓展延伸：分兩種情況：①如圖3所示：連接交于，∵四邊形和四邊形是正方形，∴，AC=AB=4，GF=CE=CF，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，GF=CE=2，GH=HF=HE=HC=，∴∴AG=AH+HG=；②如圖4所示：連接交于，同①得：GH=HF=HE=HC=，∴，∴AG=AH-HG=；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．13．（1）①；②；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由詳見解析；（3）或2或．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（2）結(jié)論仍然成立．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌解析：（1）①；②；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由詳見解析；（3）或2或．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（2）結(jié)論仍然成立．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（3）分三種情形利用等邊三角形的判定和性質(zhì)分別求解即可．【詳解】（1）如圖1中，∵CM平分∠ACB，∠ACB=90°，

∠ACM=∠BCM=45°，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠DCE=90°，CD=CE，

∴∠BCD=∠BCE=45°，在△BCD和△BCE中，，∴△BCD≌△BCE（SAS），

∴BD=BE，

∵CD=CE，

∴BC垂直平分線段DE，

故答案為：BD=BE，BC⊥DE；（2）結(jié)論仍然成立．理由：∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠DCE=，CD=CE，∴，在△BCD和△BCE中，，∴△BCD≌△BCE（SAS），

∴BD=BE，

∵CD=CE，

∴BC垂直平分線段DE，

故BD=BE，BC⊥DE仍然成立；（3）①如圖3（1），當(dāng)時(shí)，∵，，，CD是的平分線，∴△ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，∴AD=AB=1，CD⊥AB，∠ECA=30，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：CE=CF，∠ECF=60，∴△EFC是等邊三角形，∵，∴AF=AE，∠DAE=∠GAF，∴∠DAE+∠EAG=∠GAF+∠EAG=60，∴△AEF是等邊三角形，在Rt△ADE中，，∴EF=AE=；②如圖3（2），當(dāng)時(shí)，由①得：AD=AB=1，CD⊥AB，△EFC是等邊三角形，∵，∴，∠AGF=∠ADE=90，由①得：∠ECA=∠FCA=30，在Rt△ADC和Rt△FGC中，，∴Rt△ADCRt△FGC，∴，∴；③如圖（3），當(dāng)時(shí)，∵，∴，同理可得△EFC是等邊三角形，可求得：∠GFA=30，AG=AD=1，∴，∴；綜上，的長(zhǎng)或2或【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．14．（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，過作于，在中，利用勾股定理求得EH的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，利用解析：（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，過作于，在中，利用勾股定理求得EH的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理即可求解；（3）分點(diǎn)D在線段AC上和在AC延長(zhǎng)線上兩種情況討論，仿照（1）的方法即可求解．【詳解】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，過作于，∵，，∴四邊形BDEG是矩形，∵等腰直角三角形，，∴∠C=∠A=45，∵，∴等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵在中，，∴；（2）當(dāng)時(shí)，分成兩種情況：如圖在上方，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，∵∠BAC=45，∴是等腰直角三角形，且B為AH的中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；如圖，在下方，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，同理是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，過作于，∠ACB+∠DCE=90，∠ABC=90，∴四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=2+6=8，∴EH=，∴；當(dāng)點(diǎn)D在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，過作于，同理四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=6-2=4，∴EH=，∴；【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．15．（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性解析：（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）設(shè)BP＝x，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理列出方程，解方程即可；（3）如圖2，連接QM，證明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接PC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠MD′C＝∠D＝90°，∴∠CD′P＝∠B＝90°，在Rt△CD′P和Rt△CBP中，，∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），∴BP＝D′P；（2）解：設(shè)正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為1．則AM＝DM＝D′M＝．設(shè)BP＝x，則MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，在Rt△AMP中，根據(jù)勾股定理得AM2+AP2＝MP2．∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，解得x＝，∴BP＝，AP＝，∴AP：BP＝2：1，故答案為：2：1．（3）解：點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)．理由：如圖2，連接QM．∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，∴∠QD′M＝∠A＝90°．在Rt△AQM和Rt△D′QM中，，∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），∴AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，則QP＝AP﹣AQ＝﹣y．在Rt△QPD′中，根據(jù)勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．∵D′P＝BP＝，∴y2+（）2＝（﹣y）2，解得y＝．∴AQ：AB＝1：4，即點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，∵EF∥AB，∴，即，解得AE＝．∴點(diǎn)E為AD的五等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．16．（1）；（2）AP的最小值為；（3）存在，BD的最大值為6+6【分析】（1）連接AC、AF、DG、CF，證△ADG∽△ACF，根據(jù)線段比例關(guān)系可求；（2）以BC為斜邊作等腰直角三角形BOC，以解析：（1）；（2）AP的最小值為；（3）存在，BD的最大值為6+6【分析】（1）連接AC、AF、DG、CF，證△ADG∽△ACF，根據(jù)線段比例關(guān)系可求；（2）以BC為斜邊作等腰直角三角形BOC，以O(shè)為圓心BO為半徑畫圓，則P的運(yùn)動(dòng)軌跡在矩形ABCD內(nèi)的劣弧BC上，連接AO交弧BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP最小，根據(jù)給出數(shù)據(jù)求值即可；（3）以AB為斜邊向下做等腰直角三角形AEB，連接CE，根據(jù)△DAB∽△CAE，得出BD=CE，以AB為斜邊向上做等腰直角三角形AOB，以O(shè)為圓心OA為半徑畫圓，根據(jù)C點(diǎn)的軌跡求出CE最大值，即求出BD最大值．【詳解】解：（1）如圖①，連接AC、AF、DG、CF，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，∴AC=AB，AF=AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，∴，又∵∠DAG=∠DAC-∠GAC=45°-∠GAC，∠CAF=∠GAF-∠GAC=45°-∠GAC，∴∠DAG=∠CAF，∴△DGA∽△CFA，∴，故答案為；（2）如圖②，以BC為斜邊作等腰直角三角形BOC，以O(shè)為圓心BO為半徑畫圓，則∠BPC作為圓周角剛好是135°，∴P的運(yùn)動(dòng)軌跡在矩形ABCD內(nèi)的劣弧BC上，連接AO交弧BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP最小，作OE垂直AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵△BOC為等腰直角三角形，BC=4，∴OB=OC=BC=×4=2，∠OBC=45°，∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°，又∵OE⊥AE，∴△BEO為等腰直角三角形，∴BE=OE=OB=×2=2，又∵AB=3，∴AE=AB+BE=3+2=5，∴，∵OP=OB=2，∴AP=AO-OP=-2，即AP的最小值為-2；（3）存在，如圖3，以AB為斜邊向下做等腰直角三角形AEB，連接CE，則∠EAB=45°，，∵AC=AD，∠ACD=90°，∴DAC=45°，，∴，∠DAB=∠CAE=45°，∴△DAB∽△CAE，∴，∴BD=CE，∴當(dāng)CE最大時(shí)，BD取最大值，以AB為斜邊向上做等腰直角三角形AOB，以O(shè)為圓心OA為半徑畫圓，∵∠AOB=90°，∠ACB=45°，∴點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，由圖知當(dāng)C在OE延長(zhǎng)線C'位置時(shí)C'E有最大值，此時(shí)C'E=OE+OC'，∵AB=6，△AOB和△AEB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形，∴四邊形AOBE為正方形，∴OE=AB=6，OC'=OA=AB=3，∴CE的最大值為6+3，∵BD=CE，∴BD的最大值為×（6+3）=6+6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變換，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圓周角，圓心角等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．17．（1）等邊三角形；（2）的形狀不變，理由見解析；（3）或．【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、解直角三角形可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，最后解析：（1）等邊三角形；（2）的形狀不變，理由見解析；（3）或．【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、解直角三角形可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）如圖（見解析），先根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理證出，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形中位線定理可得，，從而可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得出答案；（3）分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段上兩種情況，再利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理分別求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、線段的和差即可得．【詳解】解：（1）在矩形中，，，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，同理可得：，，，，，是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；（2）的形狀不變，理由如下：如圖，延長(zhǎng)到，使；延長(zhǎng)到，使，連接，其中相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，垂直平分，，同理可得：，，即，在和中，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，同理可得：，，是等邊三角形；（3）由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，在中，，，在中，，，，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同理可