第五章5.1.1一元一次方程從算式到方程第

1

課時(shí)問題 1 甲、乙兩支登山隊(duì)沿同一條路線同時(shí)向一山峰進(jìn)發(fā)．甲隊(duì)從距大本營(yíng)

1

km

的一號(hào)營(yíng)地出發(fā)，每小時(shí)行進(jìn)

1.2

km；乙隊(duì)從距大本營(yíng)

3

km

的二號(hào)營(yíng)地出發(fā)，每小時(shí)行進(jìn)

0.8

km．多長(zhǎng)時(shí)間后，甲隊(duì)在途中追上乙隊(duì)？請(qǐng)你先試著用列算式的方法解決．峰頂二號(hào)營(yíng)地一號(hào)營(yíng)地大本營(yíng)新課導(dǎo)入思考

如果用方程解決本題，什么是已知的，什么是未知的呢？在這個(gè)問題中，甲、乙兩隊(duì)的行進(jìn)速度是已知的，甲、乙兩隊(duì)到大本營(yíng)的距離也是已知的，行進(jìn)的時(shí)間和路程是未知的.甲、乙兩支登山隊(duì)沿同一條路線同時(shí)向一山峰進(jìn)發(fā).甲隊(duì)從距大本營(yíng)1km的一號(hào)營(yíng)地出發(fā)，每小時(shí)行進(jìn)1.2km；乙隊(duì)從距大本營(yíng)3km的二號(hào)營(yíng)地出發(fā)，每小時(shí)行進(jìn)0.8km.多長(zhǎng)時(shí)間后，甲隊(duì)在途中追上乙隊(duì)?解：

設(shè)兩隊(duì)行進(jìn)的時(shí)間為

x

h，根據(jù)“路程＝時(shí)間×速度”，甲隊(duì)和乙隊(duì)的行進(jìn)路程可以分別表示為

1.2x

km

和

0.8x

km，從而甲隊(duì)距大本營(yíng)的路程可以表示為(1.2x＋1)km，乙隊(duì)距大本營(yíng)的路程可以表示為(0.8x＋3)km．追問 是否可以通過設(shè)一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈粗?，進(jìn)而將題目中其他的未知量表示出來，并通過題目中的相等關(guān)系列出等式？列式的依據(jù)是什么呢？甲隊(duì)追上乙隊(duì)時(shí)，他們處于同一位置，此時(shí)甲隊(duì)距大本營(yíng)的路程＝乙隊(duì)距大本營(yíng)的路程，1.2x＋1＝0.8x＋3．大本營(yíng)一號(hào)營(yíng)地二號(hào)營(yíng)地峰頂甲1.2km/h乙0.8km/h1km3km追上地點(diǎn)1.2x

0.8x

甲隊(duì)距大本營(yíng)的路程：(1.2x+1)km乙隊(duì)距大本營(yíng)的路程：(0.8x+3)km如果設(shè)兩隊(duì)行進(jìn)的時(shí)間為xh，甲隊(duì)追上乙隊(duì)時(shí)，他們距大本營(yíng)的路程相等.通過畫圖，可以幫助同學(xué)們更好的理解！由這個(gè)含有未知數(shù)

x

的等式可以求出大水杯的單價(jià)，進(jìn)而可以求出小水杯的單價(jià)．如果設(shè)大水杯的單價(jià)為

x

元，那么小水杯的單價(jià)為(x－5)元．因?yàn)橛觅I

3

個(gè)大水杯的錢，可以買

4

個(gè)小水杯，所以3x＝4(x－5)．問題

2

你能找出下面兩個(gè)實(shí)際問題中的相等關(guān)系，并用一個(gè)含有未知數(shù)的等式來表示嗎？1.

用買

3

個(gè)大水杯的錢，可以買

4

個(gè)小水杯，大水杯的單價(jià)比小水杯的單價(jià)多

5元，兩種水杯的單價(jià)各是多少元？52.

右圖是一枚長(zhǎng)方形的慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100

周年紀(jì)念幣，其面積是

4

000

mm2，長(zhǎng)和寬的比為

8∶

5(即寬是長(zhǎng)的

8

)．這枚紀(jì)念幣的長(zhǎng)和寬分別是多少毫米？555如果設(shè)這枚紀(jì)念幣的長(zhǎng)為

x

mm，那么紀(jì)念幣的寬可以表示為8

x

mm，面積可以表示為

8

x2

mm2．已知紀(jì)念幣的面積是

4

000mm2，所以8

x2＝4000． 由這個(gè)含有未知數(shù)

x

的等式可以求出這枚紀(jì)念幣的長(zhǎng)，進(jìn)而可以求出紀(jì)念幣的寬．問題

3

回顧問題

1、問題

2，得到的這些等式有什么共同點(diǎn)呢？像這樣，先設(shè)出字母表示未知數(shù)，然后根據(jù)問題中的相等關(guān)系，列出一個(gè)含有未知數(shù)的等式，這樣的等式叫作方程.

未知數(shù)的個(gè)數(shù)不一定是一個(gè)未知數(shù)也可以用其他字母表示D數(shù)學(xué)著作時(shí)，開始將

equation(指含有未知數(shù)的等式)一詞譯為“方程”．李善蘭(1811－1882)問題

4 閱讀教科書中溯源欄目，談?wù)勛约旱母邢耄菰礉h語中“方程”一詞源于討論含多個(gè)未知數(shù)的等式的問題．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有專門的“方程”章，其中以一些實(shí)際應(yīng)用問題為例，給出了由幾個(gè)一次方程組成的方程組的解法，稱為“方程術(shù)”．19

世紀(jì)

50

年代，清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯外國(guó)例 根據(jù)下列問題，設(shè)未知數(shù)并列出方程：(1)某校女生占全體學(xué)生數(shù)的

52%，比男生多

80

人，這所學(xué)校有多少名學(xué)生？拓展提升解：設(shè)這所學(xué)校的學(xué)生數(shù)為

x，那么女生數(shù)為

0.52x，男生數(shù)為(1－0.52)x．根據(jù)“女生比男生多

80

人”，列得方程0.52x－(1－0.52)x＝80．(2)如圖，一塊正方形綠地沿某一方向加寬

5

m，擴(kuò)大后的綠地面積是500

m2，求正方形綠地的邊長(zhǎng)．

解：設(shè)正方形綠地的邊長(zhǎng)為

x

m，那么擴(kuò)大后的綠地面積為(x2＋5x)

m2．根據(jù)“擴(kuò)大后的綠地面積是

500

m2”，列得方程x2＋5x＝500．歸納

分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的一種方法．這個(gè)過程可以表示如下：設(shè)未知數(shù)，用含有未知數(shù)的實(shí)際問題 方程等式表示相等關(guān)系方法歸納課堂練習(xí)根據(jù)下列問題，設(shè)未知數(shù)并列出方程：(1)甲種鉛筆每支

1.4

元，乙種鉛筆每支

1.8

元．用

23

元錢買這兩種鉛筆，

一共買了

15

支，兩種鉛筆各買了多少支？解：設(shè)買甲種鉛筆

x

支，那么買乙種鉛筆(15－x)支．則買甲種鉛筆花費(fèi)

1.4x

元，買乙種鉛筆花費(fèi)

1.8(15－x)元，根據(jù)“用23

元錢買這兩種鉛筆”，列得方程1.4x＋1.8(15－x)＝23．(2)有兩條電線，第一條長(zhǎng)

90

m，第二條長(zhǎng)

40

m．要從第一條截下一段接在第二條上，使兩條電線長(zhǎng)度相等．求截下的那段電線的長(zhǎng)度(兩條電線接頭部分的長(zhǎng)度忽略不計(jì))．解：設(shè)截下的那段電線的長(zhǎng)度為

x

m，那么截完的第一條電線的長(zhǎng)度為(90－x)

m，接完的第二條電線的長(zhǎng)度為(40＋x)

m，根據(jù)“兩條電線長(zhǎng)度相等”，列得方程90－x＝40＋x．(3)某圓環(huán)形狀的工件如圖所示，它的面積是

200

cm2，外沿大圓的半徑是

10

cm，內(nèi)沿小圓的半徑是多少厘米？解：設(shè)內(nèi)沿小圓的半徑為

x

cm，那么內(nèi)沿小圓的面積為

πx2

cm2，外沿大圓的面積為

100π

cm2，根據(jù)圓環(huán)的面積是

200

cm2，列得方程100π－πx2＝200．課堂小結(jié)分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題