試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁廣東省茂名市多校聯(lián)考2025-2026學(xué)年九年級上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知，則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．2．南陽，一個值得“三顧”的地方．甲、乙兩人相約來南陽旅游，兩人分別從武侯祠、醫(yī)圣祠、南陽府衙三個景點中隨機(jī)選擇一個景點游覽，甲、乙兩人同時選擇“武侯祠”景點的概率為（

）A． B． C． D．3．如圖，四邊形是菱形，對角線相交于點O，若，則菱形的面積為（）A． B． C． D．4．用配方法解方程時，原方程應(yīng)變形為（）A． B． C． D．5．如圖，，若，則的長度是（）

A．3 B．4 C． D．6．在學(xué)習(xí)“用頻率估計概率”這節(jié)課時，教材“讀一讀”環(huán)節(jié)介紹了“估計6個人中有2個人生肖相同的概率”的模擬試驗，課后某課外興趣小組利用計算器進(jìn)行模擬試驗來探究“6個人中有2個人生肖相同的概率”，他們將試驗中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：試驗次數(shù)100200500100020003000“有2個人生肖相同”的次數(shù)2453126259522780“有2個人生肖相同”的頻率0．240．2650．2520．2590．2610．26通過試驗，該小組估計“6個人中有2個人生肖相同”的概率（精確到0．01）大約是（

）A． B． C． D．7．依次連接矩形各邊中點所得到的四邊形是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形8．生活中到處可見黃金分割的美，很多葉片本身都蘊含著黃金分割的比例，在大自然中呈現(xiàn)出優(yōu)美的樣子．如圖，點是的黃金分割點（），如果長為，那么的長約為（

）A． B． C． D．9．若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且10．如圖，在矩形中，E，F(xiàn)是邊上的三等分點，連接相交于點G，連接，過點G作，若，，則的值是（）A． B． C． D．二、填空題11．一元二次方程的一次項系數(shù)是．12．若，則的值為．13．2024年7月27日，“北京中軸線——中國理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遺產(chǎn)名錄》．中軸線上的故宮博物院是深受大眾喜愛的旅游景點之一，據(jù)統(tǒng)計2024年國慶假期共接待觀眾萬人次，2026年國慶假期接待的觀眾預(yù)期達(dá)到58萬人次，求國慶假期接待觀眾人次的年平均增長率．設(shè)國慶假期接待觀眾人次的年平均增長率為x，則可列方程為．14．如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，BE=EC，將正方形邊CD沿DE折疊到DF，延長EF交AB于G，連接DG，現(xiàn)在有如下4個結(jié)論：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4個結(jié)論中，其中一定成立的（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

三、解答題15．解下列方程：(1)；(2)．16．如圖，．求證：．17．如圖，在平行四邊形中，過點D作于點E，F(xiàn)是邊上一點，且，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若平分，，求的長．18．我校新一學(xué)年社團(tuán)課即將開啟，為了解初中部1200名學(xué)生對學(xué)校設(shè)置的籃球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳繩共5項體育活動的喜愛情況，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，對他們喜愛的體育項目（每人只選一項）進(jìn)行了問卷調(diào)查，將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖兩幅不完整統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息解答下列各題．(1)___________，這次共抽取了___________名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查；并補(bǔ)全條形圖；(2)請你估計該校約有___________名學(xué)生喜愛打籃球；(3)現(xiàn)學(xué)校準(zhǔn)備從喜歡跳繩活動的4人（三女一男）中隨機(jī)選取2人進(jìn)行體能測試，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到一男一女學(xué)生的概率是多少？19．如圖，某公司將手工繪畫的風(fēng)景畫安裝上一個四周寬度相等的畫框（空白部分），制成一個矩形工藝品后，進(jìn)行銷售，該工藝品的長為，寬為．(1)若該工藝品中間的風(fēng)景畫的面積為，求畫框（空白部分）的寬度；(2)已知該工藝品的成本是40元/件，若以100元/件銷售，則每天可售出200件．為了讓顧客得到優(yōu)惠，該公司決定降價銷售該工藝品，根據(jù)銷售經(jīng)驗，銷售單價每降低1元，每天可多售出20件，則當(dāng)該公司把銷售單價降低多少元時，每天所獲利潤為12000元?20．【學(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)：反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；入射角等于反射角．這就是光的反射定律．【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點處，燈泡到地面的高度，手電筒的光從平面鏡上點處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點，落在墻上的點處，點到地面的高度，燈泡到木板的水平距離，木板到墻的水平距離為．圖中在同一條直線上．(1)求的長；(2)求點到地面的高度．21．閱讀下列材料：已知實數(shù)、滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程可化為，即；解得．，．上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替(即換元)，則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料為內(nèi)容，解決下列問題：(1)若四個連續(xù)正整數(shù)的積為，直接寫出這四個連續(xù)的正整數(shù)為．(2)已知實數(shù)、滿足，求的值．(3)解方程．22．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形的對角線相交于點O，在正方形繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點M，邊與邊交于點N．證明：．（2）【類比遷移】如圖2，矩形的對角線相交于點O，且，，在矩形，繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點M，邊與邊交于點N．若，求的長；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，四邊形和四邊形都是平行四邊形，且，，，是直角三角形，在繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點M，邊與邊交于點N．當(dāng)與重疊部分的面積是的面積的時，請直接寫出的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《廣東省茂名市多校聯(lián)考2025-2026學(xué)年九年級上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案CDCBDCBCDA1．C【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握比例的性質(zhì)．根據(jù)比例的基本性質(zhì)，由已知比例式可得等式，再驗證各選項是否一致．【詳解】解：∵，∴，選項A：?，與不符，故不成立；選項B：?，與不符，故不成立；選項C：，與已知一致，故成立；選項D：，與不符，故不成立．故選：C．2．D【分析】本題考查了畫樹狀圖法或列表法求概率，熟練掌握畫樹狀圖法或列表法求概率是解題的關(guān)鍵．根據(jù)畫樹狀圖法求概率即可．【詳解】解：將武侯祠、醫(yī)圣祠、南陽府衙三個景點命為A、B、C景點，畫樹狀圖如下：由圖可知，共有9種等可能的情況，其中甲、乙兩人同時選擇景點A的情況有1種，∴甲、乙兩人同時選擇景點的概率為，故選：D．3．C【分析】本題考查求菱形的面積，根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：菱形的面積為；故選C．4．B【分析】方程移項后，兩邊加上4變形即可得到結(jié)果．【詳解】解：方程移項得：，配方得：，即．故選：B．【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．5．D【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故選：D．6．C【分析】本題主要考查了利用頻率估計概率，在大量重復(fù)試驗中，如果事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，那么這個常數(shù)就是事件發(fā)生的概率成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可解答．【詳解】解：通過圖表給出的數(shù)據(jù)得出，該小組估計“6個人中有2個人生肖相同”的概率大約是．故選C．7．B【分析】連接、，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形中位線定理、菱形的判定定理得到四邊形為菱形．【詳解】解：連接、，四邊形是矩形，，、分別是、的中點，，，同理，，，，，，，，四邊形為菱形，故選：B．【點睛】本題考查的是中點四邊形，掌握三角形中位線定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】本題考查了黃金分割點，掌握黃金分割是指把一條線段分割為兩部分，使其中較長部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，且其比值是一個無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：由題意得·：，故選：C．9．D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②，方程有兩個相等的實數(shù)根，③，方程沒有實數(shù)根；由題意可得且，求解即可，熟練掌握此知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴且，解得且，故選：D．10．A【分析】此題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，先判定??都是等腰直角三角形，得到，進(jìn)而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，即可求出答案．【詳解】解：∵E，F(xiàn)是邊上的三等分點，∴，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∴，，∵，∴，∴，∴故選：A．11．【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的含義”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為a，b，c，據(jù)此即可解答．【詳解】解：一元二次方程的一次項系數(shù)為．故答案為：．12．4【分析】本題主要查了比例的性質(zhì)．根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：413．【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程：熟悉增長率模型列方程是解決問題的關(guān)鍵．利用增長率模型列出一元二次方程即可．【詳解】解：設(shè)國慶假期接待觀眾人次的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：故答案為：14．①②④．【詳解】解：由折疊可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正確；∵正方形邊長是12，∴BE=EC=EF=6，設(shè)AG=FG=x，則EG=x+6，BG=12-x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12-x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正確；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，則△GED不是等腰三角形，△GDE與△BEF不相似，③錯誤；S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正確.故答案為：①②④15．(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，選擇合適的方法進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．（1）利用直接開平方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，或，，；（2）解：，，或，，．16．見解析【分析】本題考查相似三角形的判定，根據(jù)角之間的關(guān)系可得，再根據(jù)相似三角形判定定理即可證明．【詳解】證明：，，，又，．17．(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)和勾股定理．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，結(jié)合，可知，即，再根據(jù)即可求證；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得和，因此，即，從而可得，在中，由勾股定理得的值，進(jìn)而利用即可求出答案．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，即，四邊形是平行四邊形，又，，四邊形是矩形；（2）解：平分，，，，，，，，在中，由勾股定理得，四邊形是矩形，，．18．(1)，，補(bǔ)全條形圖見解析(2)(3)【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率以及扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖的知識．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）首先由條形圖與扇形圖可求得；由打籃球的人數(shù)有人，占的百分比為，可得總?cè)藬?shù)；計算出喜歡乒乓球的人數(shù)，然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（2）用乘以樣本中喜歡籃球的百分比可估計出該校最喜愛打籃球的人數(shù)；（3）首先根據(jù)題意畫出表格，然后由表格即可求得所有等可能的結(jié)果與抽到一男一女學(xué)生的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】（1）解：，抽查的總?cè)藬?shù)為：；喜歡乒乓球的人數(shù)為：(人)．補(bǔ)全圖形如圖所示；故答案為：，．（2）解：∵∴該校約有名學(xué)生喜愛打籃球．故答案為：．（3）列表如下：女1女2女3男女1女2，女1女3，女1男，女1女2女1，女2女3，女2男，女2女3女1，女3女2，女3男，女3男女1，男女2，男女3，男∵所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共12種情況，并且每種情況出現(xiàn)的可能性相等．其中一男一女的情況有6種．∴抽到一男一女學(xué)生的概率是．19．(1)畫框（空白部分）的寬度為(2)該公司把銷售單價降低元時，每天所獲利潤為12000元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)畫框（空白部分）的寬度為，根據(jù)矩形的面積公式列出一元二次方程，解方程即可得解；（2）設(shè)該公司把銷售單價降低元時，每天所獲利潤為12000元，根據(jù)總利潤單件利潤銷售量列出一元二次方程，解方程即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)畫框（空白部分）的寬度為，由題意可得：，解得：，，當(dāng)時，，不符合實際，舍去，∴，∴畫框（空白部分）的寬度為；（2）解：設(shè)該公司把銷售單價降低元時，每天所獲利潤為12000元，由題意可得：，整理可得：，解得：（不符合題意，舍去），，故該公司把銷售單價降低元時，每天所獲利潤為12000元．20．(1)(2)【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，理解題意，利用相似三角形的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵．（1）證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，，∴，∴，∵，，，∴，解得，經(jīng)檢驗，符合題意；（2）解：由題意，，，∴，∴，即，∴．21．(1)，，，(2)(3)【分析】本題考查了解一元二次方程，多項式的乘法，平方差公式與求方程的解；（1）根據(jù)題意設(shè)最小數(shù)為，列出關(guān)系式，進(jìn)而利用換元法即可求解．（2）設(shè)．由已知等式得出，結(jié)合可得答案；（3）設(shè)，則，可得，求出的值，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)最小數(shù)為，則，即：，設(shè)，則，，，為正整數(shù)，，，舍去，這四個整數(shù)為，，，．故答案為：，，，．（2）設(shè)．，，，，，；（3），，設(shè)，則，，或，，，或，∴．22．（1）見解析；（2）；（3）或【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，，通過角的和差得到，即可通過證得；（2）過點作的平行線交于點，交于點，過點作垂線交于點，由矩形的性質(zhì)可得，，從而得出，，證明，從而可得，再由相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由是直角三角形，，得出或；當(dāng)時，過點作的垂線交于點，過