數(shù)學(xué)公式速查手冊(cè)：科學(xué)計(jì)算必備數(shù)學(xué)公式是科學(xué)計(jì)算的基石，涵蓋了從基礎(chǔ)代數(shù)到高等微積分的各類(lèi)表達(dá)式。本文系統(tǒng)整理了常用數(shù)學(xué)公式，為科研人員、學(xué)生及工程師提供便捷的查閱資源，涵蓋基礎(chǔ)運(yùn)算、三角函數(shù)、指數(shù)對(duì)數(shù)、微積分、線(xiàn)性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等核心領(lǐng)域。一、基礎(chǔ)運(yùn)算公式1.1加減乘除運(yùn)算-交換律：a+b=b+a，a×b=b×a-結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)，(a×b)×c=a×(b×c)-分配律：a×(b+c)=a×b+a×c-零乘法：a×0=0-消去律：若a+b=a+c，則b=c1.2代數(shù)恒等式-完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2-立方和差：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3，(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3-因式分解：x2-y2=(x+y)(x-y)，x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)-二項(xiàng)式定理：(a+b)?=∑_{k=0}^{n}C(n,k)a^{n-k}b^k二、三角函數(shù)公式2.1基本定義-正弦：sinθ=對(duì)邊/斜邊-余弦：cosθ=鄰邊/斜邊-正切：tanθ=sinθ/cosθ-余切：cotθ=1/tanθ=cosθ/sinθ-正割：secθ=1/cosθ-余割：cscθ=1/sinθ2.2三角恒等式-基本關(guān)系：sin2θ+cos2θ=1，1+tan2θ=sec2θ，1+cot2θ=csc2θ-商數(shù)公式：tanθ=sinθ/cosθ，cotθ=cosθ/sinθ-和差公式：-sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ-cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ-sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ-cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ-倍角公式：-sin2θ=2sinθcosθ-cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ-tan2θ=2tanθ/(1-tan2θ)-半角公式：-sin2(θ/2)=(1-cosθ)/2-cos2(θ/2)=(1+cosθ)/2-tan(θ/2)=(1-cosθ)/(sinθ)2.3三角形公式-正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC-余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC-面積公式：Area=(1/2)absinC=(abc)/(4R)=(1/2)R×(a+b+c)（R為外接圓半徑）三、指數(shù)與對(duì)數(shù)公式3.1指數(shù)運(yùn)算法則-a^m×a^n=a^{m+n}-(a^m)^n=a^{mn}-a^m÷a^n=a^{m-n}-a^0=1-a^(-n)=1/a^n-(ab)^n=a^nb^n-(a/b)^n=a^n/b^n3.2對(duì)數(shù)性質(zhì)-log_a(MN)=log_aM+log_aN-log_a(M/N)=log_aM-log_aN-log_a(M^p)=plog_aM-log_aM=log_bM÷log_ba（換底公式）-log_a1=0-log_aa=1-a^(log_aM)=M-log_ab=1/log_ba3.3自然對(duì)數(shù)-e≈2.71828（自然對(duì)數(shù)底數(shù)）-lnx=log_ex-d/dxlnx=1/x-∫1/xdx=ln|x|+C四、微積分公式4.1導(dǎo)數(shù)公式-常數(shù)：d/dxc=0-冪函數(shù)：d/dxx^n=nx^{n-1}-指數(shù)函數(shù)：d/dxe^x=e^x-對(duì)數(shù)函數(shù)：d/dxlnx=1/x-三角函數(shù)：-d/dxsinx=cosx-d/dxcosx=-sinx-d/dxtanx=sec2x-d/dxcotx=-csc2x-d/dxsecx=secxtanx-d/dxcscx=-cscxcotx-復(fù)合函數(shù)：d/dxf(g(x))=f'(g(x))g'(x)-隱函數(shù)求導(dǎo)：對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)4.2積分公式-基本積分：-∫x^ndx=x^{n+1}/(n+1)+C(n≠-1)-∫1/xdx=ln|x|+C-∫e^xdx=e^x+C-∫sinxdx=-cosx+C-∫cosxdx=sinx+C-∫sec2xdx=tanx+C-∫csc2xdx=-cotx+C-常用積分技巧：-分部積分：∫udv=uv-∫vdu-換元積分：令u=g(x)，dx=du/g'(x)-有理函數(shù)分解：將假分式分解為多項(xiàng)式與真分式之和4.3級(jí)數(shù)求和-等差數(shù)列：S_n=n(a?+a?)/2=na?+(n-1)n/2d-等比數(shù)列：S_n=a?(1-r^n)/(1-r)(r≠1)-幾何級(jí)數(shù)求和：∑_{n=0}^∞ar^n=a/(1-r)(|r|<1)-泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：-e^x=∑_{n=0}^∞x^n/n!-sinx=∑_{n=0}^∞(-1)^nx^{2n+1}/(2n+1)!-cosx=∑_{n=0}^∞(-1)^nx^{2n}/(2n)!-ln(1+x)=∑_{n=1}^∞(-1)^{n+1}x^n/n(|x|≤1)五、線(xiàn)性代數(shù)公式5.1矩陣運(yùn)算-矩陣加法：(A+B)?=A?+B?-數(shù)乘矩陣：k(A+B)=kA+kB-乘法結(jié)合律：(AB)C=A(BC)-乘法分配律：A(B+C)=AB+AC-轉(zhuǎn)置性質(zhì)：(AB)?=B?A?-逆矩陣：AA?1=A?1A=I5.2行列式計(jì)算-2×2行列式：|ab|=a×d-b×c|cd|-3×3行列式：|abc|=a×(b×d-c×e)-b×(c×d-a×e)+c×(c×e-b×f)|def||ghi|-伴隨矩陣法：A?1=(1/|A|)adjA-逆矩陣性質(zhì)：(AB)?1=B?1A?15.3向量運(yùn)算-向量加法：(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)-向量減法：(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)-向量數(shù)乘：k(a,b)=(ka,kb)-向量點(diǎn)積：u·v=a?c?+a?c?-向量叉積（三維）：u×v=(a?c?-a?c?,a?c?-a?c?,a?c?-a?c?)-向量模長(zhǎng)：|u|=√(a?2+a?2+a?2)5.4特征值與特征向量-特征方程：det(A-λI)=0-特征向量：若Ax=λx，則x是特征向量，λ是特征值-對(duì)角化：若P?1AP=D，則A可對(duì)角化，D為對(duì)角矩陣六、概率統(tǒng)計(jì)公式6.1基礎(chǔ)概率-加法法則：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)-條件概率：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)-全概率公式：P(B)=∑P(B|A?)P(A?)-貝葉斯公式：P(A|B)=[P(B|A)P(A)]/P(B)6.2隨機(jī)變量-期望：E[X]=∑xP(X=x)-方差：Var(X)=E[(X-E[X])2]=E[X2]-(E[X])2-標(biāo)準(zhǔn)差：σ=√Var(X)-常用分布：-二項(xiàng)分布：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)-泊松分布：P(X=k)=(λ^ke^-λ)/k!-正態(tài)分布：f(x)=(1/√(2πσ))e^(-(x-μ)2/2σ2)-均值：E[X]=μ-方差：Var(X)=σ26.3統(tǒng)計(jì)推斷-樣本均值：x?=(∑x?)/n-樣本方差：s2=(∑(x?-x?)2)/(n-1)-t分布：t=(x?-μ)/(s/√n)-z分布：z=(x?-μ)/(σ/√n)-置信區(qū)間：μ?±z(α/2)s/√n(大樣本)-假設(shè)檢驗(yàn)：-第一類(lèi)錯(cuò)誤：α=P(拒絕H?|H?為真)-第二類(lèi)錯(cuò)誤：β=P(接受H?|H?為假)七、復(fù)變函數(shù)公式7.1基本定義-復(fù)數(shù)：z=x+yi，x為實(shí)部，y為虛部-共軛復(fù)數(shù)：z?=x-yi-模長(zhǎng)：|z|=√(x2+y2)-幅角：argz=arctan(y/x)-乘方公式：z^n=|z|^ne^(inargz)7.2拉普拉斯變換-定義：L{f(t)}=∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt-常用公式：-L{1}=1/s-L{e^(at)}=1/(s-a)-L{sinat}=a/(s2+a2)-L{cosat}=s/(s2+a2)-L{t^n}=n!/s^(n+1)7.3留數(shù)定理-留數(shù)：Res[f(z),z?]=lim[(z-z?)f(z)]-留數(shù)定理：∮_Cf(z)dz=2πi∑Res[f(z),a?]-求積分：∫[a,b]f(x)dx=2πi∑Res[f(z),z?](若f(x)為實(shí)軸上的解析函數(shù))八、物理應(yīng)用公式8.1力學(xué)-牛頓第二定律：F=ma-功：W=∫F·dr-動(dòng)能：KE=?mv2-勢(shì)能：PE=mgh-動(dòng)量：p=mv-沖量：J=∫Fdt=Δp8.2熱力學(xué)-熱力學(xué)第一定律：ΔU=Q-W-熱力學(xué)第二定律：ΔS≥0-理想氣體狀態(tài)方程：PV=nRT-熵：S=Q/T-