［考研類試卷］考研數(shù)學(xué)三(線性代數(shù))歷年真題試卷匯編11

一、選擇題

下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。

1設(shè)A為四階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2+A=O,若A的秩為3,則A相似于

2設(shè)二次型f(xi,X2,X3)在正交變換x=Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為2yi2+y22-y32,其中P=(ei,

e?,ea),若Q=(ei,-e3,e2)tf(xi,X2,X3)在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為()

(A)2yr-y22+y32o

222

(B)2yi+y2-y3o

222

(C)2yi-y2-y3o

(D)2yi2+y22+y32o

-2-i-nri00

-12-1,B=010

3設(shè)矩陣A=L-1-1200則A與B()

(A)合同，且相似。

(B)合同，但不相似。

(C)不合同，但相似。

(D)既不合同，也不相似。

-12-

4設(shè)A=L21」，則在實(shí)數(shù)域上與A合同的矩陣為

「-211r2一r

(A)。(B)

-1-2」L—12-

「211「1一2?

(C)。(D)

()L]2JL-21.

5設(shè)二次型f(X|,X2,X3)=a(x/+X22+X32)+2X1X2+2X2X3+2X1X3的正、負(fù)慣性指數(shù)分別

為1.2,則()

(A)a>lo

(B)a<—2O

(C)—2<a<1o

(D)a=l或a=—2。

二、填空題

6二次型f(xi,X2,X3)=(X1+X2)2+(X2?X3)2+(X3+X1)2的秩為o

7設(shè)二次型f(xi,X2,X3)=xTAx的秩為1,A中各行元素之和為3,則f在正交變換

x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為o

8二次型f(xi,X2,X3)=K】2-X22+2aXlX3+4x2X3的負(fù)慣性指數(shù)是1,則a的取值范圍是

三、解答題

解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

'02-3'1-20'

-13-3相似于矩陣B=060

9設(shè)矩陣A二_1-2a_031.。(I)求a,b的值；

(II)求可逆矩陣P,使piAP為對(duì)角矩陣。

o-1r

2-30

0

10已知矩陣A=L°°」。(I)求A"；(H)設(shè)三階矩陣B=(ai,a21a3)滿足

B2=BA,記Bi°°=(仇，p2,p3),將例，p2,由分別表示為ai,az,的線性組合。

11a]1-

1a1，P=1

11設(shè)矩陣1“卜2」。已知線性方程組Ax=p有解但不唯一，試

求：(I)a的值；(II)正交矩陣Q,使QrAQ為對(duì)角矩陣。

12設(shè)二次型f(xi,X2,X3)=xTAx=ax12+2x22-2x?2+2bxix?(b>0),其中二次型的矩陣A

的特征值之和為1,特征值之積為一12。(I)求a,b的值；(H)利用正交變換將

二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣。

13設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量ou=(l—，2,-l)T,

a2=(0,—1,1)丁是線性方程組Ax=0的兩個(gè)解。(I)求A的特征值與特征向量；

(H)求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣A,使得QTAQ=A；(HI)求A及(A—2E),其中E

為三階單位矩陣。

14設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值入尸1,M=2,屹二-2,ai=(l,一1,1)1是A的

屬于兀的一個(gè)特征向量。記B=A5—4A3+E,其中E為三階單位矩陣。(1)驗(yàn)證仍

是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；(11)求矩陣人

0-14

-13a

15設(shè)A=14ao](正交矩陣Q使得QTAQ為對(duì)角矩陣，若Q的第一列為

1

須1,2,1)T,求a,Q。

1-11

000

16A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的秩為2,且L-lJJL1求A的所

有特征值與特征向量；(1【)求矩陣人。

■101■

01I

—10a

17已知A=L°。一J二次型f(xi,X2,X3)=”(ATA)x的秩為2。(I)求實(shí)數(shù)

a的值；(II)求正交變換x=Qy,將f化為標(biāo)準(zhǔn)形。

18設(shè)二次型f(xi,X2,

仇一

X3)=2(a?xi+a2X2+a3X3)2+(bix1+62x2+63x3(I)證明二次型f對(duì)應(yīng)

的矩陣為2a0rl郎、([])若5p正交且均為單位向量，證明二次型f在正交變化

下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y，+丫22。

19設(shè)二次型f(xi,X2,x3)=2x/-x22+ax32+2xix2-8xixa+2x2x3在正交變換x=Qy下的標(biāo)

22

準(zhǔn)形為Xiyi4-X2y2,求a的值及正交矩陣Qo

20設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，r(A)=n.Aij是A=(aij)nxn中元素aij的代數(shù)余子式(i.

身￡A_

j=l,2,...n),二次型f(xi,X2,Xn)=iEI'kiXj。(I)記

w>1佻A

X,■1XIAI

X2.........Xn),把f(Xl,X2.........Xn)=iTXXiXjo寫成矩陣形式，并證明二次

型f(x)的矩陣為A/；(II)二次型g(x)=xTAx與f(x)的規(guī)范形是否相同?說明理由。

222

21設(shè)二次型f(xi,X2,X3)=axi+ax2+(a—1)X3+2XIX3—2x2x3o(I)求二次型f的

矩陣的所有特征值；(II)若二次型f的規(guī)范形為yJ+yz?,求a的值。

22設(shè)A為mxn實(shí)矩陣,E為n階單位矩陣。已知矩陣BHE+ATA,試證：當(dāng)，＞0

時(shí)，矩陣B為正定矩陣。

23設(shè)有n元實(shí)二次型f(X|,X2,...?Xn)=(X|+aiX2)2+(X2+a2X3)2+...+(Xn-l+an-

22

ixn)+(xn+anxi),其中ai(i=l,2....n)為實(shí)數(shù)。試問：當(dāng)ai,ai,...?an滿足條

件時(shí)，二次型f(Xl,X2....Xn)為正定二次型。

2

24設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，且滿足A+2A=OO已知A的秩r(A)=2o(I)求A的

全部特征值；(1【)當(dāng)卜為何值時(shí)，矩陣A+kE為正定矩陣，其中