2025-2026學年江西省宜春市豐城九中、高安二中、宜春一中、萬載中學、樟樹中學、宜豐中學數學高二上期末經典模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數的導函數為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.2．若拋物線焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.3．直線的傾斜角是（）A. B.C. D.4．直線經過兩點，那么其斜率為（）A. B.C. D.5．函數在（0，e]上的最大值為（）A.－1 B.1C.0 D.e6．拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線C的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為（）A. B.C. D.10．已知三個觀測點，在的正北方向，相距，在的正東方向，相距.在某次爆炸點定位測試中，兩個觀測點同時聽到爆炸聲，觀測點晚聽到，已知聲速為，則爆炸點與觀測點的距離是（）A. B.C. D.11．曲線的一個焦點F到兩條漸近線的垂線段分別為FA，F(xiàn)B，O為坐標原點，若四邊形OAFB是菱形，則雙曲線C的離心率等于（）A. B.C.2 D.12．已知實數，滿足約束條件則的最大值為（）A.10 B.8C.4 D.20二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國南北朝時期的數學家祖暅提出了一個原理“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓，則該幾何體的體積為________.14．寫出一個漸近線的傾斜角為且焦點在y軸上的雙曲線標準方程___________.15．已知向量與是平面的兩個法向量，則__________16．在2021件產品中有10件次品，任意抽取3件，則抽到次品個數的數學期望的值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的左右焦點分別為，，點P是橢圓C上位于第二象限的任一點，直線l是的外角平分線，過左焦點作l的垂線，垂足為N，延長交直線于點M，（其中O為坐標原點），橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）過右焦點的直線交橢圓C于A，B兩點，點T在線段AB上，且，點B關于原點的對稱點為R，求面積的取值范圍.18．（12分）已知數列和中，，且，.（1）寫出，，，，猜想數列和的通項公式并證明；（2）若對于任意都有，求的取值范圍.19．（12分）已知橢圓C：的長軸長為，P是橢圓上異于頂點的一個動點，O為坐標原點，A為橢圓C的上頂點，Q為PA的中點，且直線PA與直線OQ的斜率之積恒為-2.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為k且過上焦點F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當點M，N到y(tǒng)軸距離之和最大時，求直線l的方程.20．（12分）已知數列的前n項和，（1）求數列的通項公式；（2）設，，求數列的前n項和21．（12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，直線與平面ABCD所成角的正弦值為.E，F(xiàn)分別為、的中點.（1）求證：平面BED；（2）求直線與平面FAC所成角的正弦值.22．（10分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點，、是橢圓上位于直線兩側的動點，且直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】構造函數，用導數判斷函數單調性，即可求解.【詳解】根據題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調遞減函數，∴，即，，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則正確；故選：.2、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D3、A【解析】將直線方程化為斜截式，由此確定斜率；根據斜率和傾斜角關系可得結果.【詳解】設直線的傾斜角為，則，由得：，則斜率，.故選：A.4、B【解析】由兩點的斜率公式可得答案.【詳解】直線經過兩點，則故選：B5、A【解析】對函數求導，然后求出函數的單調區(qū)間，從而可求出函數的最大值【詳解】由，得，當時，，當，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得最大值，故選：A6、B【解析】根據拋物線的幾何性質可得選項.【詳解】由得，所以，所以拋物線的焦點到準線的距離為1，故選：B.7、B【解析】根據雙曲線的離心率，求出即可得到結論【詳解】∵雙曲線的離心率是，∴，即1+，即1，則，即雙曲線的漸近線方程為，故選：B8、D【解析】設出雙曲線方程，通過做標準品和雙曲線與圓O的交點將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設雙曲線的方程為，則，因為AB＝BC＝CD，所以，所以，因為坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D9、B【解析】寫出每次循環(huán)的結果，即可得到答案.【詳解】當時，，，，；，此時，退出循環(huán)，輸出的的為.故選：B【點睛】本題考查程序框圖的應用，此類題要注意何時循環(huán)結束，建議數據不大時采用寫出來的辦法，是一道容易題.10、D【解析】根據題意作出示意圖，然后結合余弦定理解三角形即可求出結果.【詳解】設爆炸點為，由于兩個觀測點同時聽到爆炸聲，則點位于的垂直平分線上，又在的正東方向且觀測點晚聽到，則點位于的左側，，,，設，則，解得，則爆炸點與觀測點的距離為，故選：D.11、A【解析】依題意可得為正方形，即可得到，從而得到雙曲線的漸近線為，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：依題意，，且四邊形為菱形，所以為正方形，所以，即雙曲線的漸近線為，即，所以；故選：A12、A【解析】根據約束條件作出可行域，再將目標函數表示的一簇直線畫出向可行域平移即可求解.【詳解】作出可行域，如圖所示轉化為，令則，作出直線并平移使它經過可行域點，經過時，，解得，所以此時取得最大值，即有最大值，即故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓，由，求得底面半徑，進而得到高，再利用錐體的體積公式求解.【詳解】設圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為r，因為圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓，所以，解得，所以，所以圓錐的體積為：，故該幾何體的體積為，故答案為：14、(答案不唯一)【解析】根據已知條件寫出一個符合條件的方程即可.【詳解】如，焦點在y軸上，令，得漸近線方程為，其中的傾斜角為.故答案為：(答案不唯一).15、【解析】由且為非零向量可直接構造方程求得，進而得到結果.【詳解】由題意知：，，解得：（舍）或，.故答案為：.16、【解析】設抽到的次品的個數為，則，求出對應的概率即得解.【詳解】解：設抽到的次品的個數為，則，所以所以抽到次品個數的數學期望的值是故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據題意可得到的值，結合橢圓的離心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，進一步推得，于是設直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數的關系，求得弦長，表示出三角形AOB的面積，利用換元法結合二次函數的性質求其范圍.【小問1詳解】由題意可知：為的中點，為的中點，為的中位線，，,又,故,即,，又，，，橢圓的標準方程為；【小問2詳解】由題意可知，，,①當過的直線與軸垂直時，，,②當過的直線不與軸垂直時，可設，，直線方程為,聯(lián)立,可得：.,,,由弦長公式可知，到距離為,故，令，則原式變?yōu)椋?，原式變?yōu)楫敃r，故，由①②可知.【點睛】本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時的三角形的面積問題，考查學生的計算能力和數學素養(yǎng)，解答的關鍵是計算三角形面積時要理清運算的思路，準確計算.18、（1），，，證明見解析（2）【解析】（1）已知兩式相加化簡可得是首項為2，公比為2的等比數列，則，兩式相減化簡可得是首項為2，公差為2的等差數列，則，（2）由題意可得只需要，令，由和解不等式可求出的最小值，從而可求得的取值范圍【小問1詳解】由已知得，猜想，，由題得，所以易知，即所以是首項為2，公比為2的等比數列，故，由題得，所以，即，所以是首項為2，公差為2的等差數列，所以.【小問2詳解】因為任意都有，即，只需要，記，易知，故，當時，，解得或，當時，，解得，因為，所以，所以，所以的取值范圍是.19、（1）（2）【解析】（1）設點，求出直線、直線的斜率相乘可得，結合可得答案；（2）設直線l的方程為與橢圓方程聯(lián)立，代入得，設，再利用基本不等式可得答案.【小問1詳解】由題意可得，，即，則，設點，∵Q為的中點，∴，∴直線斜率，直線的斜率，∴，又∵，∴，則，解得，∴橢圓C的方程為.【小問2詳解】由（1）知，設直線l的方程為，聯(lián)立化簡得，，設，則，易知M，N到y(tǒng)軸的距離之和為，，設，∴，當且僅當即時等號成立，所以當時取得最大值，此時直線l的方程為.20、（1）；（2）【解析】（1）將代入可求得.根據通項公式與前項和的關系,可得數列為等比數列,由等比數列的通項公式即可求得數列的通項公式.（2）由（1）可得數列的通項公式,代入中,結合裂項法求和即可得前n項和.【詳解】（1）當時,由得；當時,由得是首項為3,公比為3的等比數列當,滿足此式所以（2）由（1）可知,【點睛】本題考查了通項公式與前項和的關系,裂項法求和的應用,屬于基礎題.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明垂直于平面BED內的兩條相交直線，即可得到答案；（2）分別以OB，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標系，平面FAC的一個法向量為，代入向量的夾角公式，即可得到答案；【小問1詳解】∵ABCD為菱形，∴，設AC與BD的交點為O，則OE為的中位線，∴.由題意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC平面ABCD中，∴.又，∴平面BED.小問2詳解】∵ABCD為菱形，，∴為正三角形，∴.∵平面ABCD，∴與平面ABCD所成角，由，得，所以.如圖，分別以OB，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標系，則，，，，，，，設平面FAC的法向量為，則由可得，取，故可得平面FAC的一個法向量為，記直線與平面FAC的夾角為，則22、（1）（2）【解析】（1）根據離心率的定義以及橢圓與拋物線焦點的關系，可以求出橢圓方程；（2）根據題意，