2025年遼寧鐵嶺市清河第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，．若，則（）A. B.C. D.2．已知1與5的等差中項(xiàng)是，又1，，，8成等比數(shù)列，公比為，則的值為（）A.5 B.4C.3 D.63．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.4．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B.C. D.5．如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.8 B.9C.10 D.116．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A B.4C.3 D.27．在等比數(shù)列中，，公比，則（）A. B.6C. D.28．某中學(xué)的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進(jìn)行的天數(shù)為（）A.13 B.14C.15 D.169．復(fù)數(shù)，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的值可以為（）A.2 B.C. D.010．圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍世本記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年歷史．圍棋不僅能抒發(fā)意境、陶冶情操、修身養(yǎng)性、生慧增智，而且還與天象易理、兵法策略、治國安邦等相關(guān)聯(lián)，蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵．在某次國際圍棋比賽中，規(guī)定甲與乙對陣，丙與丁對陣，兩場比賽的勝者爭奪冠軍，根據(jù)以往戰(zhàn)績，他們之間相互獲勝的概率如下：甲乙丙丁甲獲勝概率乙獲勝概率丙獲勝概率丁獲勝概率則甲最終獲得冠軍的概率是（）A.0.165 B.0.24C.0.275 D.0.3611．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，準(zhǔn)線與對稱軸交于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.12．下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的左頂點(diǎn)為，虛軸的一個端點(diǎn)為，右焦點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為__________.14．在公差不為0的等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則正整數(shù)______15．已知數(shù)列滿足，，若為等差數(shù)列，則___________，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為___________.16．?dāng)€尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．如圖屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則側(cè)面與底面的夾角為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（A、B非橢圓頂點(diǎn)），求的最大值.18．（12分）已知數(shù)列，，，為其前n項(xiàng)和，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，.（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與所成角的余弦值.20．（12分）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正實(shí)數(shù)a，使得不等式對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.21．（12分）{}是公差為1的等差數(shù)列，.正項(xiàng)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列{}和數(shù)列}的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入1個數(shù)，使，，成等差數(shù)列，在和之間插入2個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列，…，在和之間插入n個數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.①記，求{}的通項(xiàng)公式；②求的值.22．（10分）已知曲線上任意一點(diǎn)滿足方程，（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線在軸左、右兩側(cè)的交點(diǎn)分別是，且，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量平行的坐標(biāo)表示直接計(jì)算作答.【詳解】向量，，因，則，解得，所以，B，D都不正確；，C不正確，A正確.故選：A2、A【解析】由等差中項(xiàng)的概念列式求得值，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，則答案可求.【詳解】由題意，，則；又1，，，8成等比數(shù)列，公比為，，即,,故選：.3、C【解析】由，可得存在實(shí)數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結(jié)果【詳解】，，因，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C4、D【解析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其漸近線方程為，即，則其焦點(diǎn)到漸近線的距離；故選D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點(diǎn)坐標(biāo).5、B【解析】由題意可得的邊長，進(jìn)而可得周長及，進(jìn)而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項(xiàng)和，所以，故選：B.6、C【解析】化簡復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進(jìn)而求的模即可.【詳解】由為純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C7、D【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：.故選：D8、C【解析】由題意可得募捐構(gòu)成了一個以10元為首項(xiàng)，以10元為公差的等差數(shù)列，設(shè)共募捐了天，然后建立關(guān)于的方程，求出即可【詳解】由題意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐構(gòu)成了一個以10元為首項(xiàng)，以10元為公差的等差數(shù)列，根據(jù)題意，設(shè)共募捐了天，則，解得或（舍去），所以，故選：9、B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出的范圍，即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限時，則有，可得，結(jié)合選項(xiàng)可知，B正確故選：B10、B【解析】先求出甲第一輪勝出的概率，再求出甲第二輪勝出的概率，即可得出結(jié)果.【詳解】甲最終獲得冠軍的概率，故選：B.11、B【解析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合三角形相似以及已知條件，求得，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，如下所示：因?yàn)?，?/，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線方程為：.故選：.12、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和運(yùn)算法則分別計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，則，故A錯誤；B.若，則，故B錯誤；C.若，則，故C錯誤；D.若，則，故D正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)雙曲線左頂點(diǎn)和虛軸端點(diǎn)的定義，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】不妨設(shè)在縱軸的正半軸上，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為：，因?yàn)橛医裹c(diǎn)到直線的距離為，所以有，即雙曲線的離心率為，故答案為：14、13【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及可求k.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，∵，∴，即，即，∴.故答案為：13.15、①.##②.【解析】利用遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得公差，進(jìn)而得到；利用遞推關(guān)系式可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，采用裂項(xiàng)相消的方法可求得前項(xiàng)和.【詳解】由得：，解得：；為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，解得：，；由知：數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；，又，，數(shù)列的前項(xiàng)和，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系求解數(shù)列中的項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和的問題；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，由此可通過裂項(xiàng)相消的方法求得所求數(shù)列的和.16、【解析】設(shè)此四棱錐P-ABCD底面邊長為，斜高為，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OP.則以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出側(cè)面與底面夾角.【詳解】設(shè)此四棱錐P-ABCD底面邊長為，斜高為，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OP.則，，以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，顯然平面的法向量為所以，所以側(cè)面與底面的夾角為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率和點(diǎn)在橢圓上建立方程，結(jié)合，然后解出方程即可（2）設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后利用韋達(dá)定理表示出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，并表示出為直線斜率的函數(shù)，然后求出的最大值【小問1詳解】由橢圓過點(diǎn)，則有：由可得：解得：則橢圓的方程為：【小問2詳解】由（1）得，，已知直線不過橢圓長軸頂點(diǎn)則直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為：設(shè)，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程整理可得：故是恒成立的根據(jù)韋達(dá)定理可得：，則有：由，可得：所以的最大值為：18、（1）（2）【解析】(1)按照所給條件，先算出的表達(dá)式，再按照與的關(guān)系計(jì)算,；(2)裂項(xiàng)相消求和即可.【小問1詳解】由題可知數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，又因?yàn)?，所以；【小?詳解】所以；故答案為：，.19、（1）證明見解析；（2）；【解析】（1）證明，利用面面垂直的性質(zhì)可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得平面平面；（2）連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)可得出，求出的值，利用空間向量法可求得直線與所成角的余弦值.【詳解】（1）為的中點(diǎn)，且，則，又因?yàn)?，則，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)椋仕倪呅螢榫匦?，所以，平面平面，平面平面，平面，平面，因?yàn)槠矫?，因此，平面平面；?）連接，由（1）可知，平面，，為的中點(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)，,因?yàn)?，則，解得，，，則.因此，直線與所成角的余弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）通過構(gòu)造新數(shù)列求解；（2）由（1）得，再研究其單調(diào)性，從而得到最值，再解不等式即可求解.【小問1詳解】由，假設(shè)其變形為，則有，所以，又.所以，即.【小問2詳解】由（1），所以，令，則，所以，所以是遞減數(shù)列，所以，所以使得不等式對一切正整數(shù)n都成立，則，即，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以.21、（1），（2）①；②【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將展開化簡，求得首項(xiàng)，可得；根據(jù)遞推式，確定，再寫出，兩式相減可求得；（2）①根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，采用倒序相加法求得結(jié)果；②根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特征，采用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列{}的公差為d，則d=1，由，即，可得，所以{}的通項(xiàng)公式為；由可知：當(dāng)，得，當(dāng)時，，兩式相減得；，即，所以{}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)