易錯(cuò)點(diǎn)04對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的分析存在誤區(qū)

目錄

01易錯(cuò)陷阱

易錯(cuò)點(diǎn)一：不會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解兩種模型

易錯(cuò)點(diǎn)二：對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)理解有誤

易錯(cuò)點(diǎn)三：對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)理解有誤

02易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)一、繩桿末端速度分解的三種方法

知識(shí)點(diǎn)二、常見斜面平拋模型與結(jié)論

類型一：沿著斜面平拋

類型二：垂直撞斜面平拋運(yùn)動(dòng)

類型三：撞斜面平拋運(yùn)動(dòng)中的最小位移問題

知識(shí)點(diǎn)三、水平方向上的圓周運(yùn)動(dòng)

知識(shí)點(diǎn)四、豎直面內(nèi)“繩、桿（單、雙軌道）”模型對(duì)比

知識(shí)點(diǎn)五、豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)常見問題與二級(jí)結(jié)論

03舉一反三——易錯(cuò)題型

題型一：對(duì)繩、桿端速度進(jìn)行分解

題型二：平拋運(yùn)動(dòng)與斜面、曲面的結(jié)合

題型三：多體平拋運(yùn)動(dòng)

題型四：斜拋運(yùn)動(dòng)

題型五：水平面上的圓周運(yùn)動(dòng)（圓錐擺，圓碗……）

題型六：豎直面的繩、桿模型及臨界條件

04易錯(cuò)題通關(guān)

易錯(cuò)點(diǎn)一：不會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解兩種模型

1．解決小船渡河問題掌握“三模型、兩方案、兩確定”

（1）小船渡河三種模型

當(dāng)船頭方向垂直河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，最

渡河時(shí)間最短d

短時(shí)間tmin＝

v船

如果v船>v水，當(dāng)船頭方向與上游河岸夾角θ

滿足v船cosθ＝v水時(shí)，合速度垂直河岸，渡

河位移最短，等于河寬d

渡河位移最短

如果v船<v水，當(dāng)船頭方向(即v船方向)與合

速度方向垂直時(shí)，渡河位移最短，等于dv水

v船

2.繩（桿）關(guān)聯(lián)速度問題

（1）易錯(cuò)注意點(diǎn)

①繩或桿質(zhì)量忽略不計(jì)

②繩或桿不可伸長(zhǎng)

③沿繩(桿)方向的速度分量大小相等．

（2）思路方法

合運(yùn)動(dòng)（實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)）→合速度→繩(桿)拉物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度v

其一：沿繩桿的速度v1

分運(yùn)動(dòng)（對(duì)合運(yùn)動(dòng)沿某方向分解的運(yùn)動(dòng)）→分速度→

其二：與繩桿垂直的速度v2

方法：v1與v2的合成遵循平行四邊形定則．

（3）繩、桿末端速度分解四步

①找到合運(yùn)動(dòng)——物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)；②確定分運(yùn)動(dòng)——沿繩(桿)和垂直于繩(桿)；③作平行四邊形；

④根據(jù)沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解。常見的模型如圖所示。

易錯(cuò)點(diǎn)二：對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)理解有誤

1．平拋(或類平拋)運(yùn)動(dòng)所涉及物理量的特點(diǎn)

物理量公式?jīng)Q定因素

取決于下落高度和重力加

2hh

飛行時(shí)間t＝

g速度g，與初速度v0無(wú)關(guān)

由初速度、下落高度和重

2hv0h

水平射程x＝v0t＝v0

g力加速度g共同決定

與初速度v0、下落高度h和重

222

落地速度vt＝vx＋vy＝v0＋2gh

力加速度g有關(guān)

Δv＝gΔt，方向恒為豎直向下

由重力加速度g和時(shí)間間隔

速度改變量

Δt共同決定

2．平拋運(yùn)動(dòng)中物理量的關(guān)系圖

兩個(gè)三角形，速度與位移；

九個(gè)物理量，知二能求一；

時(shí)間和角度，橋梁和紐帶；

時(shí)間為明線，角度為暗線。

3．平拋運(yùn)動(dòng)常用三種解法

正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出；

?

①?0=?2?

分解速度（速度三角形）：若已知v0、θ，可求出v=v0/cosθ；

推論法：若已知h、x，可求出tanθ=2tanα=2h/x；

②22

動(dòng)能定理法：若已知h、v0，動(dòng)能定理：mgh=?mv-?mv0，可求出。

2

③?=?0+2??

4.平拋運(yùn)動(dòng)中的臨界、極值問題

在平拋運(yùn)動(dòng)中，由于時(shí)間由高度決定，水平位移由高度和初速度決定，因而在越過障礙物時(shí)，有可

能會(huì)出現(xiàn)恰好過去或恰好過不去的臨界狀態(tài)，還會(huì)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)位移的極值等情況．

1．若題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點(diǎn)．

2．若題目中有“取值范圍”“多長(zhǎng)時(shí)間”“多大距離”等詞語(yǔ)，表明題述的過程中存在著“起止點(diǎn)”，而這

些“起止點(diǎn)”往往就是臨界點(diǎn)．

3．若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值點(diǎn)，這些極值點(diǎn)也

往往是臨界點(diǎn)．

易錯(cuò)點(diǎn)三：對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)理解有誤

v22π

1．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式為F＝m＝mω2r＝mr()2.

rT

2．物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件：合力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，提供物體做

圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．

易錯(cuò)分析

3．向心力是效果力：向心力是根據(jù)力的作用效果命名的，不是性質(zhì)力，它可以是重力、彈力、摩擦

力等各種性質(zhì)的力，也可以是它們的合力，或某個(gè)力的分力．注意在分析物體受力時(shí)，不能說物體

還受一個(gè)向心力的作用，向心力可以是某一種性質(zhì)力，也可以是幾個(gè)性質(zhì)力的合力或某一性質(zhì)力的

分力．

知識(shí)點(diǎn)一、繩桿末端速度分解的三種方法

方法一、微元法

要求船在該位置的速率即為瞬時(shí)速率，需從該時(shí)刻起取一小段時(shí)間來求它的平均速率，當(dāng)這一小段

時(shí)間趨于零時(shí)，該平均速率就為所求速率。

如圖所示，設(shè)船在θ角位置經(jīng)t時(shí)間向左行駛x距離，滑輪右側(cè)的繩長(zhǎng)縮短L，當(dāng)繩與水平方向

的角度變化很小時(shí)，ABC可△近似看做是一直△角三角形，因而有L=xcosθ△，兩邊同除以t得：

△△△△

，即收繩速率v0=vAcosθ，因此船的速率為：vA=υ0/cosθ。

方法二、效果分解法

首先確定合運(yùn)動(dòng)，即物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)；其次確定物體A的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：一是沿繩的方向

被牽引，繩長(zhǎng)縮短。繩長(zhǎng)縮短的速度即等于v1=v0；二是隨著繩以定滑輪為圓心的擺動(dòng)，它不改變繩

長(zhǎng)，只改變角度θ的值。這樣就可以將vA按圖示方向進(jìn)行分解。所以v1及v2實(shí)際上就是vA的兩個(gè)分

速度，如圖所示，由此可得vA=υ0/cosθ。

方法三、功率等值法

由題意可知：人對(duì)繩子做功等于繩子對(duì)物體所做的功，即二者做功的功率相等。人對(duì)繩子的拉力為

F，則對(duì)繩子做功的功率為P1=Fv0；繩子對(duì)物體的拉力，由定滑輪的特點(diǎn)可知，拉力大小也為F，則

繩子對(duì)物體做功的功率為P2=FvAcosθ，因?yàn)镻1=P2所以vA=v0/cosθ。

知識(shí)點(diǎn)二、常見斜面平拋模型與結(jié)論

類型一：沿著斜面平拋

1.斜面上平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的計(jì)算

斜面上的平拋(如圖)，分解位移（位移三角形）

x＝v0t，

1

y＝gt2，

2

y

tanθ＝，

x

2v0tanθ

可求得t＝。

g

2.斜面上平拋運(yùn)動(dòng)的推論

根據(jù)推論可知，tanα=2tanθ，同一個(gè)斜面同一個(gè)θ，所以，無(wú)論平拋初速度大小如何，落到斜面速度

方向相同。

3.與斜面的最大距離問題

【構(gòu)建模型】如圖所示，從傾角為θ的斜面上的A點(diǎn)以初速度v0水平拋出一個(gè)物體，物體落在斜面

上的B點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力．

法一：(1)以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面方向?yàn)閤軸，垂直于斜面方向?yàn)閥軸，建立坐標(biāo)系，如圖(a)

所示

vx＝v0cosθ，vy＝v0sinθ，

ax＝gsinθ，ay＝gcosθ.

物體沿斜面方向做初速度為vx、加速度為ax的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，垂直于斜面方向做初速度為vy、加

速度為ay的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，類似于豎直上拋運(yùn)動(dòng)．

v0tanθ

令v′y＝v0sinθ－gcosθ·t＝0，即t＝.

g

v0tanθ2v0tanθ

(2)當(dāng)t＝時(shí)，物體離斜面最遠(yuǎn)，由對(duì)稱性可知總飛行時(shí)間T＝2t＝，

gg

2

122v0tanθ

A、B間距離s＝v0cosθ·T＋gsinθ·T＝.

2gcosθ

法二：(1)如圖(b)所示，當(dāng)速度方向與斜面平行時(shí)，離斜面最遠(yuǎn)，v的切線反向延長(zhǎng)與v0交點(diǎn)為此

時(shí)橫坐標(biāo)的中點(diǎn)P，

12

ygt

則＝＝2，＝v0tanθ

tanθ1t.

x1g

v0t

22

2222

1v0tanθ2v0tanθAD

(2)AC＝y(tǒng)＝gt2＝，而ACCD＝13，所以AD＝4y＝，A、B間距離s＝＝

22ggsinθ

2∶∶

2v0tanθ

.

gcosθ

法三：(1)設(shè)物體運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)離斜面最遠(yuǎn)，所用時(shí)間為t，將v分解成vx和vy，如圖(c)所示，則由tan

vygtv0tanθ

θ＝＝，得t＝.

vxv0g

(2)設(shè)由A到B所用時(shí)間為t′，水平位移為x，豎直位移為y，如圖(d)所示，由圖可得

y

tanθ＝，y＝xtanθ

x

1①

y＝gt′2

2

②

x＝v0t′

2v0tanθ

由式得：t′＝③

g

2

①②③2v0tanθ

而x＝v0t′＝，

g

2

x2v0tanθ

因此A、B間的距離s＝＝.

cosθgcosθ

類型二：垂直撞斜面平拋運(yùn)動(dòng)

方法：分解速度．

vx＝v0，

vy＝gt，

vxv0

tanθ＝＝，

vygt

v0

可求得t＝.

gtanθ

底端正上方平拋?zhàn)残泵嬷械膸缀稳切?/p>

類型三：撞斜面平拋運(yùn)動(dòng)中的最小位移問題

過拋出點(diǎn)作斜面的垂線，如圖所示，

當(dāng)小球落在斜面上的B點(diǎn)時(shí)，位移最小，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則

水平方向：x＝hcosθ·sinθ＝v0t

12gh2h

豎直方向：y＝hcosθ·cosθ＝gt，解得v0＝sinθ，t＝cosθ.

22g

知識(shí)點(diǎn)三、水平方向上的圓周運(yùn)動(dòng)

1．結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：一根質(zhì)量和伸長(zhǎng)可以不計(jì)的輕細(xì)線，上端固定，下端系一個(gè)可以視為質(zhì)點(diǎn)的擺球在水

平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)繩所掠過的路徑為圓錐表面。

2．受力特點(diǎn)：擺球質(zhì)量為，只受兩個(gè)力即豎直向下的重力和沿?cái)[線方向的拉力。兩個(gè)力的

合力，就是擺球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，如圖所示（也可以理解為拉力的豎直分力?與擺球的重

?Fn??FT?

力平衡，的水平分力提供向心力）。

FT

4．運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：擺長(zhǎng)為，擺線與豎直方向的夾角為的圓錐擺，擺球做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心是O，圓周運(yùn)

動(dòng)的軌道半徑是??

?=?????

向心力合

22

?=??????=???=???????=??/(?????)

擺線的拉力

??=??/????

【討論】：(1)當(dāng)擺長(zhǎng)一定，擺球在同一地點(diǎn)、不同高度的水平面內(nèi)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，據(jù)

可知，若角速度越大，則越大，擺線拉力也越大，向心加速度????=

2

??

?也/越(?大?，)線速度?=?也越大。?=??/?????=?????

?=????????????

結(jié)論是：同一圓錐擺，在同一地點(diǎn)，若越大，則擺線的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越

大，轉(zhuǎn)動(dòng)的越快，運(yùn)動(dòng)的也越快，。?

(2)當(dāng)為定值時(shí)（為擺球的軌道面到懸點(diǎn)的距離h，即圓錐擺的高度），擺球的質(zhì)量相

??????????=?

等、擺長(zhǎng)不等的圓錐擺若在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則擺線拉力，向心力合

?

，向心加速度，角速度，線速度?=??/???。??=

????????=??????=?/??=??=??????

結(jié)論是：在同一地點(diǎn)，擺球的質(zhì)量相等、擺長(zhǎng)不等但高度相同的圓錐擺，轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢相等，但角

大的圓錐擺，擺線的拉力大，向心力大，向心加速度大，運(yùn)動(dòng)得快。?

知識(shí)點(diǎn)四、豎直面內(nèi)“繩、桿（單、雙軌道）”模型對(duì)比

輕繩模型（沒有支撐）輕桿模型（有支撐）

常見

類型

v2

過最高點(diǎn)的臨由mg＝m得v臨＝gr由小球能運(yùn)動(dòng)即可得v臨＝0

r

界條件

對(duì)應(yīng)最低點(diǎn)速度v低≥對(duì)應(yīng)最低點(diǎn)速度v低≥

繩不松不脫軌5??4??

v低≥或v低≤不脫軌

條件

5??2??

22

F低-mg=mv低/rF低-mg=mv低/r

最低點(diǎn)彈力

22

F低=mg+mv低/r，向上拉力F低=mg+mv低/r，向上拉力

(1)當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為向上支持力

v2

(2)當(dāng)0＜v＜gr時(shí)，－FN＋mg＝m，F(xiàn)N向

v2r

過最高點(diǎn)時(shí)，v≥gr，F(xiàn)N＋mg＝m，

r

上支持力，隨v的增大而減小

最高點(diǎn)彈力v2

繩、軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力FN＝m-mg

r(3)當(dāng)v＝gr時(shí)，F(xiàn)N＝0

向下壓力v2

(4)當(dāng)v＞gr時(shí)，F(xiàn)N＋mg＝m，F(xiàn)N為向下壓

r

力并隨v的增大而增大

在最高

點(diǎn)的FN

取豎直向下為正方向

圖線取豎直向下為正方向

知識(shí)點(diǎn)五、豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)常見問題與二級(jí)結(jié)論

【問題1】一個(gè)小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內(nèi)側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，軌道的最高點(diǎn)記為A和最

低點(diǎn)記為C，與原點(diǎn)等高的位置記為B。圓周的半徑為

要使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在最高點(diǎn)的向心力恰?好等于重力時(shí)，由可得

A2

?

??=?????①

對(duì)應(yīng)C點(diǎn)的速度有機(jī)械能守恒得

1212

2?2??

當(dāng)小球在C點(diǎn)時(shí)給小球一個(gè)水平??向2左?=的速?度?若?小球??恰能?到達(dá)=與5O??點(diǎn)②等高的D位置則由機(jī)械能守恒

得

12

???=2?????=2??③

小結(jié)：(1).當(dāng)時(shí)小球能通過最高點(diǎn)A小球在A點(diǎn)受軌道向內(nèi)的支持力由牛頓第二定律

??>5????+

2

??

??=??④

當(dāng)時(shí)小球恰能通過最高點(diǎn)小球在點(diǎn)受軌道的支持力為由牛頓第二定律。

(2).AA02

??

??=5????=??

(⑤3).當(dāng)時(shí)小球不能通過最高點(diǎn)A小球在A點(diǎn)，上升至DA圓弧間的某一位向右做

斜拋運(yùn)動(dòng)2?離?開<圓??周<，且5?v?越大離開的位置越高，離開時(shí)軌道的支持力為0

在段射重力與半徑方向的夾角為則、

DA2

??

(4).當(dāng)時(shí)小球不能通過?最高?點(diǎn)??A??上?升=至?C?D圓??弧??的=某?一位置速度減為0之后沿圓弧返

回。上0升<的?最?≤高點(diǎn)2為??C永不脫離軌道

【問題2】常見幾種情況下物體受軌道的作用力

(1)從最高點(diǎn)A點(diǎn)靜止釋放的小球到達(dá)最低點(diǎn)C：由機(jī)械能守恒

12

??2?=2???

在點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：得

C2

??

?????=????=5??⑥

(2)從與O等高的D點(diǎn)（四分之一圓弧）處?kù)o止釋放到達(dá)最低點(diǎn)C：由機(jī)械能守恒

12

???=2???

在點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：得

C2

??

??

(3)從A點(diǎn)以初速度??釋?放?小=球?到?達(dá)最?低點(diǎn)=3??⑦

?

由機(jī)械能守恒?=??

1212

??2?=2????2???

在點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：得

C2

??

?????=????=6??⑧

題型一：對(duì)繩、桿端速度進(jìn)行分解

【例1】（2024?荊門三模）如圖所示，一輛貨車?yán)每邕^光滑定滑輪的輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的纜繩提升一

箱貨物，已知貨箱的質(zhì)量為m0，貨物的質(zhì)量為m，貨車向左做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在將貨物提升到

圖示的位置時(shí)，貨箱速度為v，連接貨車的纜繩與水平方向夾角為，不計(jì)一切摩擦，下列說法正

確的是（）θ

A．貨車的速度等于vcos

B．貨物處于失重狀態(tài)θ

C．纜繩中的拉力FT大于（m0+m）g

D．貨車對(duì)地面的壓力大于貨車的重力

【解答】解：A、關(guān)聯(lián)速度可知，沿著繩上的速度相等，可知v貨cos＝v

θ

解得貨

?

?=

故A錯(cuò)誤；????

B、貨車向左做勻速直線運(yùn)動(dòng)的過程中，減小，cos增大，貨車向左做勻速直線運(yùn)動(dòng)，v增大，

加速度向上，則貨物處于超重狀態(tài)，故Bθ錯(cuò)誤；θ

C、由加速度向上，則FT﹣（m+m0）g＝（m+m0）a

纜繩中的拉力FT大于（m0+m）g，故C正確；

D、對(duì)貨車受力分析可得FN+FTsin＝m貨g

即FN＜m貨gθ

貨車的對(duì)地面的壓力小于貨車的重力，故D錯(cuò)誤；

故選：C。

【變式1-1】（2024?錦江區(qū)校級(jí)模擬）為了減小關(guān)后備箱時(shí)箱蓋和車體間的沖力，在箱蓋和車體間安

裝液壓緩沖桿，其結(jié)構(gòu)如圖所示。當(dāng)液壓桿AO2長(zhǎng)度為L(zhǎng)時(shí)，AO2和水平方向夾角為75°，AO1

和水平方向夾角為45°，A點(diǎn)相對(duì)于O1的速度是vA，則A點(diǎn)相對(duì)于O2的角速度為（）

A．B．C．D．

3????2??2??

【解答2?】解：由幾何關(guān)系可2?知∠O1AO2＝30°；2?3?

將vA沿著AO2桿和垂直AO2桿分解如圖

由幾何關(guān)系可得v⊥與vA之間的夾角是30°，且vAcos30°＝v⊥

設(shè)A點(diǎn)相對(duì)于O2的角速度為，則v⊥＝L

解得ωω

3??

故A?正=確，2?BCD錯(cuò)誤。

故選：A。

【變式1-2】（2024?浙江模擬）如圖所示，有一半徑為r的圓環(huán)在一水平地面上向右運(yùn)動(dòng)，且其圓心

速度大小為v?，F(xiàn)有一木板，左端固定于地面之上，同時(shí)還搭于圓環(huán)之上，且木板與地面所成銳

角為。則木板轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為（）

θω

A．B．

????

??????????????

C．?2D．?2

????

??????????????

【解?答】解2：設(shè)圓周與上木板的接觸點(diǎn)為P，圓心?為O，角的2頂點(diǎn)為A，連接AO，AP之間的距

離為x，將圓心的速度分解為板的速度和圓上P點(diǎn)的速度，如圖所示

由幾何關(guān)系有

??

由運(yùn)動(dòng)的合成與??分?解2有=?

v板＝vsin

板

板的角速θ度為

?

?=

解得?

??

故B正?確=，?A??C?D???錯(cuò)?誤2。

故選：B。

【變式1-3】（2024?西城區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，小球A、B用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿相連，豎直放置在

光滑水平地面上，小球C挨著小球B放置在地面上。由于微小擾動(dòng)，小球A沿光滑的豎直墻面

下滑，小球B、C在同一豎直面內(nèi)向右運(yùn)動(dòng)。當(dāng)桿與墻面夾角為，小球A和墻面恰好分離，最

后小球A落到水平地面上。下列說法中不正確的是（）θ

A．當(dāng)小球A的機(jī)械能取最小值時(shí)，小球B與小球C的加速度為零

B．小球A由靜止到與墻面分離的過程中，小球B的速度先增大后減小

C．當(dāng)小球A和墻面恰好分離時(shí)，小球B與小球C也恰好分離

D．當(dāng)小球A和墻面恰好分離時(shí)，A、B兩球的速率之比為tan：1

【解答】解：B．從靜止開始到小球A和墻面恰好分離的過程θ，對(duì)A、B、C三個(gè)小球組成的系

統(tǒng)，由于受到豎直墻面向右的彈力，根據(jù)動(dòng)量定理可得Ft＝（mB+mC）vB，

所以小球A由靜止到與墻面分離的過程中，小球B的速度一直增大，故B錯(cuò)誤；

A．對(duì)A、B、C三個(gè)小球組成的系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，由B項(xiàng)的分析可知，球A和墻面恰好分離

時(shí)，小球B與小球C速度最大，則其加速度最小，機(jī)械能最大，則此時(shí)A球機(jī)械能最小，

所以當(dāng)小球A的機(jī)械能取最小值時(shí)，小球B與小球C的加速度為零，故A正確；

C．當(dāng)小球A與墻面分離后，水平方向動(dòng)量守恒，小球A在水平方向的速度會(huì)不斷增大，B球在

水平方向的速度會(huì)不斷減小，所以在小球A與墻面分離瞬間，小球C球和小球B分離，故C正

確；

D．當(dāng)小球A和墻面恰好分離時(shí)，兩球的速度分解如圖所示：

兩球的速度關(guān)聯(lián)，沿桿方向的速度相等，有vAcos＝vBsin，可得：，故D正確。

??????

θθ=

本題選錯(cuò)誤的，??1

故選：B。

題型二：平拋運(yùn)動(dòng)與斜面、曲面的結(jié)合

【例2】（2024?五華區(qū)校級(jí)模擬）國(guó)家跳臺(tái)滑雪中心是中國(guó)首座跳臺(tái)滑雪場(chǎng)館，主體建筑靈感來自

于中國(guó)傳統(tǒng)飾物“如意”，因此被形象地稱作“雪如意”。如圖所示，現(xiàn)有甲、乙兩名可視為質(zhì)點(diǎn)

的運(yùn)動(dòng)員從跳臺(tái)a處先后沿水平方向向左飛出，初速度大小之比為2：3，不計(jì)空氣阻力，則甲、

乙從飛出至落到斜坡（可視為斜面）上的過程中，下列說法正確的是（）

A．甲、乙飛行時(shí)間之比為3：2

B．甲、乙飛行的水平位移之比為4：9

C．甲、乙在空中豎直方向下落的距離之比為2：3

D．甲、乙落到坡面上的瞬時(shí)速度方向與水平方向的夾角之比為2：3

【解答】解：A、坡面傾角即為位移與水平方向的夾角，設(shè)為，則有

θ

，故飛行時(shí)間與初速度成正比，

12tan

?2????

=0=0=θ

???2?甲

甲甲

整理解得2?????

乙

?乙??乙2

=2?????==

??3

甲、乙兩人飛行時(shí)間?之比為2：3，故A錯(cuò)誤；

B、根據(jù)x＝v0t，

甲

代入數(shù)據(jù)解得

?乙4

=

?9

可得甲、乙兩人飛行的水平位移之比為4：9，故B正確；

C、把運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)分解為沿斜面方向的運(yùn)動(dòng)和垂直于斜面方向的運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可知，運(yùn)動(dòng)

員在垂直于斜面方向上做初速度為v0sin，加速度大小為gcos的勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)垂直于斜面方

向的速度減小到零時(shí)，運(yùn)動(dòng)員離斜面距離θ最大，為θ

，

?2

(?0????)

?=

2?????甲

代入數(shù)據(jù)解得則他們?cè)诳罩须x雪坡面的最大距離之比為，故C錯(cuò)誤；

?乙4

=

?9

D、當(dāng)落在斜坡上時(shí)，瞬時(shí)速度與水平方向夾角正切值的兩倍，只要是落在斜面上，位移與水平

方向的夾角就相同，所以兩人落到斜坡上的瞬時(shí)速度方向一定相同，故D錯(cuò)誤。

故選：B。

【變式2-1】（2024?德州模擬）如圖所示，把一小球從斜面上先后以相同大小的速度拋出，一次水平

拋出，另一次拋出的速度方向與斜面垂直，兩小球最終都落到斜面上，水平拋出與垂直斜面拋出

落點(diǎn)到拋出點(diǎn)的距離之比為（）

A．1：2B．2：1C．1：1D．1：3

【解答】解：設(shè)斜面傾角為，當(dāng)小球做平拋運(yùn)動(dòng)落在斜面上時(shí)；

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，水平位移θ為x＝v0t

豎直位移

12

?=??

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)2

?

????=

拋出點(diǎn)與落點(diǎn)之間的距?離

?

?1=

代入數(shù)據(jù)解得；????

2

2?0????

?1=

當(dāng)小球垂直于斜面拋?出??時(shí)??，小球做斜拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，豎直分速度vy＝v0cos，

水平分速度vx＝v0sinθ

以拋出點(diǎn)為參考點(diǎn)，根θ據(jù)斜拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，水平位移x1＝vxt1

豎直位移

2

1?111

根據(jù)數(shù)學(xué)知??識(shí)=???2??

?1

????=

拋出點(diǎn)與落點(diǎn)之間的距?1離

?1

?2=

代入數(shù)據(jù)解得；????

2

2?0????

?2=

因此有，故C?正??確??，ABD錯(cuò)誤。

?11

=

故選：?C2。1

【變式2-2】（2024?觀山湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示為固定的半圓形豎直軌道，AB為水平直徑，O為

圓心，現(xiàn)同時(shí)從A、B兩點(diǎn)水平相向拋出甲、乙兩個(gè)小球，其初速度大小分別為v1、v2，且均落

在軌道上的C點(diǎn)，已知OC與豎直方向的夾角＝30°，忽略空氣阻力，兩小球均可視為質(zhì)點(diǎn)。

則下列說法正確的是（）θ

A．甲、乙兩球不會(huì)同時(shí)落到軌道上

B．兩者初速度關(guān)系為v1＞v2

C．整個(gè)下落過程，甲球速度變化量大于乙球速度變化量

D．甲球可沿半徑方向垂直打在軌道上C點(diǎn)

【解答】解：AC、由圖可知，兩個(gè)物體下落的高度是相等的，

自由落體運(yùn)動(dòng)下降的高度為

?

12

又速=度2變??化為

Δv＝gt

可知甲、乙兩球下落到軌道的時(shí)間相等，即甲、乙兩球同時(shí)落到軌道上，甲、乙兩球下落到軌道

的速度變化量相同，故AC錯(cuò)誤。

B、設(shè)圓形軌道的半徑為R，則甲水平位移為

x甲＝R+Rsin30°＝R+0.5R＝1.5R

乙水平位移為

x乙＝R﹣Rsin30°＝R﹣0.5R＝0.5R

可得

x甲＝3x乙

小球水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有

v1：v2＝3：1

故B正確。

D、由平拋運(yùn)動(dòng)推論，速度反向延長(zhǎng)線過水平位移中點(diǎn)，由題圖可知若甲球垂直打在軌道上，由

幾何關(guān)系，其速度方向延長(zhǎng)線應(yīng)過O點(diǎn)，與推論矛盾，則甲球不可能沿半徑方向垂直打在半圓形

豎直軌道上，故D錯(cuò)誤。

故選：B。

【變式2-3】（多選）（2023??？谌＃┤鐖D所示，DOE為豎直半圓，O為圓周的最低點(diǎn)，B、C關(guān)

于過O點(diǎn)的豎直線左右對(duì)稱。現(xiàn)從D點(diǎn)分別水平拋出三個(gè)小球a、b、c，其落點(diǎn)分別為圓周上的

A、B、C三點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，則下列說法正確的是（）

A．飛行時(shí)間最短的是小球c

B．飛行位移最小的是小球a

C．三個(gè)小球飛行的加速度大小關(guān)系為aa＜ab＝ac

D．小球c的初速度比小球b的初速度大

【解答】解：A、小球在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有

?

12

由圖=可2知??小球a下落高度最小，則飛行時(shí)間最短的是小球a，故A錯(cuò)誤；

B、由圖可知小球a下落高度最小，且水平位移最小，根據(jù)

22

?可=知飛?行+位?移最小的是小球a，故B正確；

C、三個(gè)小球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向上做的是自由落體運(yùn)動(dòng)，三個(gè)小球飛行的加速度均為重力加

速度，故C錯(cuò)誤；

D、由圖可知小球c與小球b的下落高度相同，則空中飛行時(shí)間相同，小球c的水平位移大于小

球b的水平位移，則小球c的初速度比小球b的初速度大，故D正確。

故選：BD。

題型三：多體平拋運(yùn)動(dòng)

【例3】（2024?南京二模）如圖所示，在同一豎直面內(nèi)，物塊1從a點(diǎn)以速度v1水平拋出，同時(shí)物

塊2從b點(diǎn)以速度v2拋出，兩物塊在落地前相遇，兩物塊均視為質(zhì)點(diǎn)，除重力外不受其他作用力。

下列說法正確的是（）

A．相遇點(diǎn)在二者初速度連線交點(diǎn)的正下方

B．只改變v1的大小，兩物塊仍可相遇

C．只改變v2的大小，兩物塊仍可相遇

D．只把v2的方向向左轉(zhuǎn)動(dòng)，兩物塊仍可相遇

【解答】解：設(shè)a離地的高度為h，ab間水平距離為L(zhǎng)，如圖所示。

取豎直向上為正方向，相遇時(shí)，豎直方向有

（v2sin?t）＝h

1212

??+α???

可2得t2

?

=?2????

相遇點(diǎn)到b點(diǎn)的水平距離為x2＝v2cos?t＝v2cos?bc，可知相遇點(diǎn)在二者初速度

??

αα==

連線交點(diǎn)的正下方，故A正確；?2????????

B、只改變v1的大小，由上分析可知相遇時(shí)所用時(shí)間仍為t

?

=

水平方向應(yīng)有v1t+v2cos?t＝L?2????

其他量不變，只改變v1α的大小，上式不成立，即兩物塊不能相遇，故B錯(cuò)誤；

C、只改變v2的大小，相遇時(shí)，水平方向應(yīng)有v1t+v2cos?t＝L，將t代入得：

?

α=?2????

v1v2cos?L

??

+α=

即?2?????L2????

?1??

+=

只改?2?變??v?2的?大??小?，上式不成立，即兩物塊不能相遇，故C錯(cuò)誤；

D、只把v2的方向向左轉(zhuǎn)動(dòng)，即只改變，L不成立，即兩物塊不能相遇，故D

?1??

α+=

錯(cuò)誤。?2????????

故選：A。

【變式3-1】（2023?鐵東區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，A、B兩小球從相同高度同時(shí)水平拋出，經(jīng)過時(shí)間

t在空中相遇，若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉淼?，不?jì)空氣阻力，則兩球從拋出到相遇的過程中，

1

下列說法正確的是（）2

A．相遇時(shí)間變?yōu)?/p>

?

4

B．相遇時(shí)間變?yōu)?/p>

?

C．相遇點(diǎn)的高度下2降了

32

??

D．相遇點(diǎn)的位置在原來2的左下方

【解答】解：AB、設(shè)第一次拋出時(shí)A球的速度為v1，B球的速度為v2，則A、B間的水平距離

x＝（v1+v2）t，第二次兩球的速度為第一次的，但兩球間的水平距離不變，則，

1?1?2

?=(+)?'

聯(lián)立得t′＝2t，故AB錯(cuò)誤；222

CD、兩次相遇位置的高度差Δh，相遇位置在原來的正下方，故C正確，

121232

D錯(cuò)誤。=2?(2?)?2??=2??

故選：C。

【變式3-2】如圖所示，兩人各自用吸管吹黃豆，甲黃豆從吸管末端P點(diǎn)水平射出的同時(shí)乙黃豆從另

一吸管末端M點(diǎn)斜向上射出，經(jīng)過一段時(shí)間后兩黃豆在N點(diǎn)相遇，曲線1和2分別為甲、乙黃

豆的運(yùn)動(dòng)軌跡。若M點(diǎn)在P點(diǎn)正下方，M點(diǎn)與N點(diǎn)位于同一水平線上，且PM長(zhǎng)度等于MN的

長(zhǎng)度，不計(jì)黃豆的空氣阻力，可將黃豆看成質(zhì)點(diǎn)，則（）

A．兩黃豆相遇時(shí)，甲的速度與水平方向的夾角的正切值為乙的兩倍

B．甲黃豆在P點(diǎn)速度與乙黃豆在最高點(diǎn)的速度不相等

C．兩黃豆相遇時(shí)甲的速度大小為乙的兩倍

D．乙黃豆相對(duì)于M點(diǎn)上升的最大高度為PM長(zhǎng)度一半

【解答】解：B、設(shè)甲黃豆做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，那么乙黃豆做斜拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也為t，根據(jù)斜

拋運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知：乙黃豆從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的時(shí)間為，乙黃豆從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的水

?

平位移為MN的一半，設(shè)PM＝MN＝L，甲黃豆在P點(diǎn)的速度2為v1，乙黃豆到達(dá)最高點(diǎn)的速度為

v′，在水平方向上有運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，對(duì)甲黃豆：L＝v1t，對(duì)乙黃豆從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)有：，

??

=?'?

22

聯(lián)立解得：v1＝v′，故B錯(cuò)誤；

?

=?

ACD、對(duì)甲黃豆到達(dá)N點(diǎn)時(shí)，在豎直方向上：L，v1y＝gt，

12

=2??=2??

在水平方向：v1；

???

=?=2

甲黃豆到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的速度為：v甲，

225??

=?1+?1?=

對(duì)乙黃豆在從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的過程中，由逆向2思維得上升的最大高度為：h

1?21

=?()=?

，所以乙黃豆相對(duì)于M點(diǎn)上升的最大高度為PM長(zhǎng)度的；224

1211

??=?

乙2黃豆在4M點(diǎn)的豎直方向分速度為：，則：，4

2

2??2???

?=2??4?=2

由運(yùn)動(dòng)的合成與分解得乙黃豆在N點(diǎn)的速度為：乙，所以兩黃豆相遇時(shí)甲

22

2?

的速度大小不是乙的兩倍；?=?'+?=??

兩黃豆相遇時(shí)甲的速度與水平方向的夾角正切值為：tan2，