易錯(cuò)點(diǎn)05不能靈活運(yùn)用圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)解決衛(wèi)星相關(guān)問(wèn)題

目錄

01易錯(cuò)陷阱

易錯(cuò)點(diǎn)一：開(kāi)普勒三定律的理解與易錯(cuò)注意點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)二：混淆衛(wèi)星的不同速度和不同模型

易錯(cuò)點(diǎn)三：分析衛(wèi)星的變軌問(wèn)題出現(xiàn)錯(cuò)誤

02易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)一、人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

知識(shí)點(diǎn)二、近地衛(wèi)星及其速度大小

知識(shí)點(diǎn)三、地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)四、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上物體的運(yùn)行問(wèn)題比較

知識(shí)點(diǎn)五、衛(wèi)星變軌時(shí)三類(lèi)物理量的定性比較

知識(shí)點(diǎn)六、雙星多星模型

03舉一反三——易錯(cuò)題型

題型一：同步、近地衛(wèi)星模型、赤道物體轉(zhuǎn)動(dòng)模型及其物理量的比較

題型二：衛(wèi)星變軌、發(fā)射、回收、空間站對(duì)接及其能量問(wèn)題

題型三：雙星、多星模型

題型四：衛(wèi)星（天體）追及相遇模型

04易錯(cuò)題通關(guān)

易錯(cuò)點(diǎn)一：開(kāi)普勒三定律的理解與易錯(cuò)注意點(diǎn)

（1）行星到太陽(yáng)的距離越大，行星的速率越小，反之越大。

（2）行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)通常按勻速圓周運(yùn)動(dòng)處理。半徑等于半長(zhǎng)軸。

（3）開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)。

a3

（4）開(kāi)普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，故

T2

該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。

易錯(cuò)點(diǎn)二：混淆衛(wèi)星的不同速度和不同模型

1、三個(gè)宇宙速度

第一宇宙速度（環(huán)繞速度）7.9，是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)

?星1的=最大環(huán)k繞m/速s度.

第二宇宙速度（脫離速度）11.2，是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度.

?2=km/s

第三宇宙速度（逃逸速度）16.7，是物體掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度.

?3=km/s

2.宇宙速度、發(fā)射速度與衛(wèi)星的繞行速度的關(guān)系

3.同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星及赤道上物體的比較

如圖所示，a為近地衛(wèi)星，軌道半徑為r1；b為地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為r2；c為赤道上隨地球自

轉(zhuǎn)的物體，軌道半徑為r3.

近地衛(wèi)星同步衛(wèi)星

赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的

比較項(xiàng)目(r1、ω1、(r2、ω2、

物體(r3、ω3、v3、a3)

v1、a1)v2、a2)

向心力來(lái)源萬(wàn)有引力萬(wàn)有引力萬(wàn)有引力的一個(gè)分力

軌道半徑r2>r1＝r3

角速度ω1>ω2＝ω3

線速度v1>v2>v3

向心加速度a1>a2>a3

環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度。

易錯(cuò)點(diǎn)三：分析衛(wèi)星的變軌問(wèn)題出現(xiàn)錯(cuò)誤

1、變軌原理

(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向先發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做勻速圓周

Mmv2

運(yùn)動(dòng)，有G＝m，如圖所示．

2

r1r1

2

MmvA

(2)在A點(diǎn)(近地點(diǎn))點(diǎn)火加速，由于速度變大，所需向心力變大，G<m，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢

2

r1r1

圓軌道Ⅱ.

22

MmvBMmv′

(3)在橢圓軌道B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))將做近心運(yùn)動(dòng)，G>m，再次點(diǎn)火加速，使G＝m，進(jìn)入圓軌

22

r2r2r2r2

道Ⅲ.

2、變軌過(guò)程分析

(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)速率分別

為vA、vB.在A點(diǎn)加速，則vA>v1，在B點(diǎn)加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.

(2)加速度：因?yàn)樵贏點(diǎn)，衛(wèi)星只受到萬(wàn)有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，衛(wèi)星的

加速度都相同，同理，衛(wèi)星在軌道Ⅱ或軌道Ⅲ上經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的加速度也相同．

(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運(yùn)行周期分別為T(mén)1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長(zhǎng)軸)、

r3

r3，由開(kāi)普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3.

T2

(4)機(jī)械能：在一個(gè)確定的圓(橢圓)軌道上機(jī)械能守恒．若衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機(jī)械能分別為E1、

E2、E3，從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ和從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ都需要點(diǎn)火加速，則E1<E2<E3.

知識(shí)點(diǎn)一、人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

地球衛(wèi)星的運(yùn)行參數(shù)(將衛(wèi)星軌道視為圓)

物理量推導(dǎo)依據(jù)表達(dá)式最大值或最小值

Mmv2GM當(dāng)r＝R時(shí)有最大值，v＝

線速度G＝m＝

2v

rrr7.9km/s

MmGM

角速度G＝mω2rω＝當(dāng)r＝R時(shí)有最大值

r2r3

2π3當(dāng)r＝R時(shí)有最小值，約

Mm＝r

周期G＝mT2rT2π

r2GM85min

向心MmGM當(dāng)r＝R時(shí)有最大值，最

G＝manan＝

22

加速度rr大值為g

軌道

圓周運(yùn)動(dòng)的圓心與中心天體中心重合

平面

共性：距地面越高，軌道半徑大，運(yùn)動(dòng)越慢，周期越長(zhǎng)——高軌低速（線速度、角速度加速度）長(zhǎng)

周期

知識(shí)點(diǎn)二、近地衛(wèi)星及其速度大小

近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等

于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9km/s。這個(gè)速度值又叫第一宇宙速度/s，人造衛(wèi)星的最小發(fā)射

速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度。

計(jì)算方法

2

mm地vGm地

(1)由G＝m，解得：v＝；

R2RR

v2

(2)由mg＝m，解得：v＝gR。

R

知識(shí)點(diǎn)三、地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)

(1)不偏不倚

軌道平面一定，軌道平面和赤道平面重合繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)的方向一致。

(2)不快不慢

周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24h＝86400s。

角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。

線束度和加速度大小一定.

Mmv2GM

設(shè)其運(yùn)行速度為v，由于G＝m，所以v＝

R＋h2R＋hR＋h

gR2

＝＝3.1×103m/s。

R＋h

MmM2

由G＝ma得a＝G＝gh＝0.23m/s。

R＋h2R＋h2

（3)不高不低：

Mm4π23GMT2

高度一定，據(jù)G＝mr得r＝＝4.23×104km，衛(wèi)星離地面高度h＝r－R≈6R(為恒

r2T24π2

量)。轉(zhuǎn)道半徑一定。。

知識(shí)點(diǎn)四、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上物體的運(yùn)行問(wèn)題比較

1．衛(wèi)星的軌道

(1)赤道軌道：衛(wèi)星的軌道在赤道平面內(nèi)，同步衛(wèi)星就是其中的一種．

(2)極地軌道：衛(wèi)星的軌道過(guò)南、北兩極，即在垂直于赤道的平面內(nèi)，如極地氣象衛(wèi)星．

(3)其他軌道：除以上兩種軌道外的衛(wèi)星軌道．

所有衛(wèi)星的軌道平面一定通過(guò)地球的球心．

(4)重要數(shù)據(jù)：

地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，其自轉(zhuǎn)周期為1天(24小時(shí))，地球半徑約為6.4×103km，地球表面

重力加①速度g約為9.8m/s2.

月球的公轉(zhuǎn)周期約27.3天，在一般估算中常取27天．

②人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行半徑最小為r＝6.4×103km，運(yùn)行周期最小為T(mén)＝84.8min，運(yùn)行速度最

大為③v＝7.9km/s.

2．兩個(gè)向心加速度

衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的向心加速度物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度

產(chǎn)生原由萬(wàn)有引力的一個(gè)分力(另一分

由萬(wàn)有引力產(chǎn)生

因力為重力)產(chǎn)生

方向指向地心垂直且指向地軸

2

GMa＝rω，r為地面上某點(diǎn)到地軸的

大小a＝(地面附近a近似等于g)

2

r距離，ω為地球自轉(zhuǎn)的角速度

特點(diǎn)隨衛(wèi)星到地心的距離的增大而減小從赤道到兩極逐漸減小

3.兩種周期

(1)自轉(zhuǎn)周期是天體繞自身某軸線轉(zhuǎn)動(dòng)一周所需的時(shí)間，取決于天體自身轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢．

r3

(2)公轉(zhuǎn)周期是運(yùn)行天體繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)一周所需的時(shí)間，T＝2π，取決于中心天體

GM

的質(zhì)量和運(yùn)行天體到中心天體的距離．

4.解題技巧

同步衛(wèi)星與赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的共同點(diǎn)是具有相同的角速度和周期。當(dāng)比較近地衛(wèi)星和

赤道上物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，往往借助同步衛(wèi)星這一紐帶使問(wèn)題迎刃而解。

知識(shí)點(diǎn)五、衛(wèi)星變軌時(shí)三類(lèi)物理量的定性比較

(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ、Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v4，在軌道Ⅱ上過(guò)P、Q點(diǎn)時(shí)的速率

分別為v2、v3，在P點(diǎn)加速，則v2>v1；在Q點(diǎn)加速，則v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。

(2)加速度：因?yàn)樵赑點(diǎn)不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)，P點(diǎn)到地心的距離都相同，衛(wèi)星的加速

度都相同，設(shè)為aP。同理，在Q點(diǎn)加速度也相同，設(shè)為aQ。又因Q點(diǎn)到地心的距離大于P點(diǎn)到地

心的距離，所以aQ<aP。

(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運(yùn)行周期分別為T(mén)1、T2、T3，軌道半徑或半長(zhǎng)軸分別為r1、

r3

r2、r3，由＝k可知T1<T2<T3。

T2

(4)能量問(wèn)題

衛(wèi)星速率增大(發(fā)動(dòng)機(jī)做正功)會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑增大，萬(wàn)有引力做負(fù)功，衛(wèi)星動(dòng)能減小，

Mmv2

由于變軌時(shí)遵從能量守恒，穩(wěn)定在圓軌道上時(shí)需滿(mǎn)足G＝m，致使衛(wèi)星在較高軌道上的運(yùn)行速

r2r

率小于在較低軌道上的運(yùn)行速率，但機(jī)械能增大(發(fā)動(dòng)機(jī)做正功)；

相反，衛(wèi)星由于速率減小(發(fā)動(dòng)機(jī)做負(fù)功)會(huì)做向心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑減小，萬(wàn)有引力做正功，衛(wèi)

星動(dòng)能增大，同樣原因致使衛(wèi)星在較低軌道上的運(yùn)行速率大于在較高軌道上的運(yùn)行速率，但機(jī)械能

減小(發(fā)動(dòng)機(jī)做負(fù)功)。

知識(shí)點(diǎn)六、雙星多星模型

(1)兩顆星體繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1所示。

(2)特點(diǎn)

Gm1m22

各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力相互提供，即＝m1ω1r1，

L2

①

Gm1m22

＝m2ω2r2。

L2

兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。

②兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L。

m1r2

③兩顆星到軌道圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即＝。

m2r1

④

L3

雙星的運(yùn)動(dòng)周期T＝2π。

Gm1＋m2

⑤

4π2L3

雙星的總質(zhì)量m1＋m2＝。

T2G

2⑥．三星模型

(1)三星系統(tǒng)繞共同圓心在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)比較穩(wěn)定，三顆星的質(zhì)量一般不同，其軌道

如圖2所示。每顆星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由其他星體對(duì)該星體的萬(wàn)有引力的合力提供。

(2)特點(diǎn)：對(duì)于這種穩(wěn)定的軌道，除中央星體外(如果有)，每顆星體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同，運(yùn)行的角

速度、周期相同。

(3)理想情況下，它們的位置具有對(duì)稱(chēng)性，下面介紹兩種特殊的對(duì)稱(chēng)軌道。

三顆星位于同一直線上，兩顆質(zhì)量均為m的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上

運(yùn)行①(如圖3甲所示)。

三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖3乙所示)。

②

題型一：同步、近地衛(wèi)星模型、赤道物體轉(zhuǎn)動(dòng)模型及其物理量的

比較

【例1】（2024?大興區(qū)校級(jí)模擬）北京時(shí)間2023年12月17日15時(shí)，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使

用雙曲線一號(hào)商業(yè)運(yùn)載火箭成功將“迪邇一號(hào)”衛(wèi)星順利送入預(yù)定軌道?！暗线円惶?hào)”衛(wèi)星、北

斗地球同步衛(wèi)星飛行的軌道如圖所示。下列說(shuō)法正確的是（）

A．“迪邇一號(hào)”衛(wèi)星的角速度小于北斗地球同步衛(wèi)星的角速度

B．“迪邇一號(hào)”衛(wèi)星的角速度大于北斗地球同步衛(wèi)星的角速度

C．“迪邇一號(hào)”衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的線速度等于靜止于赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度

D．“迪邇一號(hào)”衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的線速度小于靜止于赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度

【解答】解：AB、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得

??2

?2=???

可得?

??

3

因“迪?邇=一號(hào)?”衛(wèi)星的軌道半徑比北斗地球同步衛(wèi)星的小，則“迪邇一號(hào)”衛(wèi)星的角速度大于北

斗地球同步衛(wèi)星的角速度，故A錯(cuò)誤，B正確；

CD、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得

Gm

2

???

2=

可得?v?

??

因“迪=邇一號(hào)?”衛(wèi)星的軌道半徑比北斗地球同步衛(wèi)星的小，則“迪邇一號(hào)”衛(wèi)星的線速度大于北

斗地球同步衛(wèi)星的線速度。地球同步衛(wèi)星的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，由v＝r分析可知，

北斗地球同步衛(wèi)星的線速度大于靜止于赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度，所以“ω迪邇一號(hào)”衛(wèi)

星繞地球運(yùn)行的線速度大于靜止于赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度，故CD錯(cuò)誤。

故選：B。

【變式1-1】（2024?皇姑區(qū)校級(jí)模擬）中國(guó)志愿者王躍參與了人類(lèi)歷史上第一次全過(guò)程模擬從地球往

返火星的試驗(yàn)“火星—500”。假設(shè)將來(lái)人類(lèi)一艘飛船從火星返回地球時(shí)，經(jīng)歷如圖所示的變軌過(guò)

程，下列說(shuō)法正確的是（）

A．飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在P點(diǎn)的速度大于在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)在P點(diǎn)的速度

B．飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在P點(diǎn)的速度小于在Q點(diǎn)的速度

C．若軌道Ⅰ貼近火星表面，已知萬(wàn)有引力常量為G，測(cè)出飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期，就可以

推知火星的密度

D．飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度小于飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度

【解答】解：A、軌道Ⅰ相對(duì)于Ⅱ做向心運(yùn)動(dòng)，所以飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在P點(diǎn)的速度小于

在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)在P點(diǎn)的速度，故A錯(cuò)誤；

B、根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知，所以飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在P點(diǎn)的速度大于在Q點(diǎn)的速度，

故B錯(cuò)誤；

C、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，則有：mr，解得火星的質(zhì)量為：M

223

???4?4??

2=2=2

根據(jù)密度計(jì)算公式可得：，其中V????

?43

ρ==??

若軌道Ⅰ貼近火星表面，則有?r≈R，解得：3

2

3?

2

已知萬(wàn)有引力常量為G，測(cè)出飛船在軌道Ⅰ上ρ=運(yùn)?動(dòng)?的周期，就可以推知火星的密度，故C正確；

D、根據(jù)牛頓第二定律可得ma，解得a；飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度等

?????

2==2

于飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)?時(shí)的加速度，故D錯(cuò)?誤。

故選：C。

【變式1-2】（2024?榮昌區(qū)校級(jí)模擬）有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星：a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地

球表面一起轉(zhuǎn)動(dòng)；b在地球的近地圓軌道上正常運(yùn)行；c是地球同步衛(wèi)星；d是高空探測(cè)衛(wèi)星。各

衛(wèi)星排列位置如圖，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．a(chǎn)的向心加速度大于b的向心加速度

B．四顆衛(wèi)星的速度大小關(guān)系是：va＞vb＞vc＞vd

C．在相同時(shí)間內(nèi)d轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)

D．d的運(yùn)動(dòng)周期可能是30h

【解答】解：A、地球同步衛(wèi)星的周期c必須與地球自轉(zhuǎn)周期相同，角速度相同，則知a與c的

角速度相同，根據(jù)a＝2r知，c的向心加速度大。由牛頓第二定律得：ma，解得：a，

????

?2==2

衛(wèi)星的軌道半徑越大，ω向心加速度越小，則同步衛(wèi)星c的向心加速度小于?b的向心加速度，故?知

a的向心加速度小于b的向心加速度，故A錯(cuò)誤。

B、根據(jù)v可知，vb＞vc＞vd，a、c同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，由于c的半徑大，則va＜vc，

??

故B錯(cuò)誤。=?

C、由B可知，衛(wèi)星b的半徑最小，速度最大，在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤。

D、由開(kāi)普勒第三定律k知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，周期越大，所以d的運(yùn)動(dòng)周期大于c的

3

?

2=

周期24h，d的運(yùn)行周期?應(yīng)大于24h，可能是30h，故D正確。

故選：D。

【變式1-3】（2024?湖北模擬）我國(guó)首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星于2016年8月16日1點(diǎn)40分成功發(fā)射。

量子衛(wèi)星成功運(yùn)行后，我國(guó)在世界上首次實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星和地面之間的量子通信，構(gòu)建天地一體化的量

子保密通信與科學(xué)實(shí)驗(yàn)體系。1軌道為量子衛(wèi)星靜止在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)，2為近地軌道，3為地

球的同步軌道，如圖所示。已知該衛(wèi)星在1軌道隨地球自轉(zhuǎn)的周期約為近地軌道2運(yùn)動(dòng)周期的17

倍，關(guān)于該衛(wèi)星在1、2、3軌道繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法中正確的是（）

A．衛(wèi)星在軌道1的加速度最大，線速度最小

B．衛(wèi)星在軌道2的加速度最大，線速度最大

C．衛(wèi)星在軌道3運(yùn)動(dòng)的周期最大，線速度最小

D．若將該衛(wèi)星放在南極極點(diǎn)上，與軌道1處相比，其重力將變?yōu)樵瓉?lái)的2.89倍

【解答】解：ABC、衛(wèi)星在1軌道和3軌道上運(yùn)行時(shí)，周期相等，角速度相等，根據(jù)v＝r，a

＝2r可知，衛(wèi)星在軌道1的加速度和線速度都小于衛(wèi)星在軌道3的加速度和線速度。ω

對(duì)于ω2軌道和3軌道，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得

22

??4??

?2=?2?=?=??

可得?：?，?，

3

?????

?=2

可知衛(wèi)星?=在2軌?道的線速?度大?于=衛(wèi)2?星在??3軌道的線速度，衛(wèi)星在2軌道的加速度大于衛(wèi)星在3軌

道的加速度，衛(wèi)星在2軌道的周期小于衛(wèi)星在3軌道的周期.

綜上所述，衛(wèi)星在軌道2的加速度最大，線速度最大，衛(wèi)星在軌道1和軌道3運(yùn)動(dòng)的周期相等，

衛(wèi)星在軌道2運(yùn)動(dòng)的周期最小，故AC錯(cuò)誤，B正確；

D、設(shè)衛(wèi)星在2軌道上運(yùn)行的周期為T(mén)，地球半徑為R，根據(jù)題意可知，在南極極點(diǎn)上，衛(wèi)星的

重力等于地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力，為

2

4?

2

在?=赤?道上×，?衛(wèi)×星?的重力為

22

4?4?

?'=?×2×???×2×?

可得：?，故D(1錯(cuò)7?誤)。

?

≈1.0034

故選：?B'。

題型二：衛(wèi)星變軌、發(fā)射、回收、空間站對(duì)接及其能量問(wèn)題

【例2】（2024??？谀M）嫦娥六號(hào)于2024年6月2日成功著陸月背南極﹣艾特肯盆地。如圖所示，

假設(shè)登月探測(cè)器在環(huán)月軌道1上的P點(diǎn)實(shí)施變軌，進(jìn)入橢圓軌道2，再由Q點(diǎn)進(jìn)入圓軌道3。若

軌道1的半徑為3r，軌道3的半徑為r，登月探測(cè)器在軌道3的運(yùn)行周期為T(mén)，則下列說(shuō)法正確

的是（）

A．探測(cè)器在軌道3上運(yùn)行時(shí)加速度不變

B．探測(cè)器在軌道2上運(yùn)行的周期為

C．探測(cè)器在軌道1和軌道3上運(yùn)行的2線2速?度大小之比v1：v3＝1：3

D．探測(cè)器從軌道2上的Q點(diǎn)進(jìn)入圓軌道3時(shí)，需要點(diǎn)火加速

【解答】解：A、根據(jù)牛頓第二定律有

???

2=??

解?得

??

?=2

可知，?探測(cè)器在軌道3上運(yùn)行時(shí)加速度大小不變，方向改變，所以加速度是變化的，故A錯(cuò)誤；

B、探測(cè)器在軌道2上運(yùn)行時(shí)的軌道半長(zhǎng)軸為

2?+3?

探?測(cè)=器在2軌=道2?2和軌道3上運(yùn)行時(shí)，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律得

33

(2?)?

2=2

解?得2探測(cè)?器在軌道2上運(yùn)行的周期為，故B正確；

C、探測(cè)器在軌道1、3上運(yùn)行時(shí)，根?據(jù)2萬(wàn)=有2引2?力提供向心力得

2

????

解得2=?

??

??

?=

解得?，故C錯(cuò)誤；

?11

=

D、探?3測(cè)器由3高軌道變軌到低軌道，做向心運(yùn)動(dòng)，需要在Q點(diǎn)減速，故D錯(cuò)誤。

故選：B。

【變式2-1】（2024?浙江模擬）太空碎片會(huì)對(duì)航天器帶來(lái)危害。設(shè)空間站在地球附近沿逆時(shí)針?lè)较蜃?/p>

勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖中實(shí)線所示。為了避開(kāi)碎片，空間站在P點(diǎn)向圖中箭頭所指徑向方向極短時(shí)

間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實(shí)現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其

半長(zhǎng)軸大于原軌道半徑。則（）

A．空間站變軌前、后在P點(diǎn)的加速度相同

B．空間站變軌后的運(yùn)動(dòng)周期比變軌前的小

C．空間站變軌后在P點(diǎn)的速度比變軌前的小

D．空間站變軌前的速度比變軌后在近地點(diǎn)的大

【解答】解：A.根據(jù)萬(wàn)有引力定律

??

?2=??

得?

??

?=2

由于空間?站變軌前、后在P點(diǎn)到地球中心的距離相等，因此空間站變軌前、后在P點(diǎn)的加速度相

同，故A正確；

B.根據(jù)開(kāi)普勒第三定律

3

?

2=?

變軌后的半長(zhǎng)軸r2＞r1?

聯(lián)立得＞

2

?2?23

2=()1

空間站變?1軌后的?1運(yùn)動(dòng)周期比變軌前的大，故B錯(cuò)誤；

C.空間站變軌前后的運(yùn)動(dòng)情況如圖所示：

根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，空間站在P點(diǎn)變軌前的速度小于變軌后的速度，即v1p＜v2p，故C錯(cuò)誤；

D.空間站從2軌道進(jìn)入3軌道做向心運(yùn)動(dòng)，因此v2Q＞v3Q

空間站在1、3軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)線速度與軌道半徑的關(guān)系

??

由于r1＞r3，因此v3＞v1，即v3Q＞v1P?=?

綜合分析得v2Q＞v3Q＞v1P

空間站變軌前的速度比變軌后在近地點(diǎn)的小，故D錯(cuò)誤。

故選：A。

【變式2-2】（2024?江蘇模擬）一宇宙飛行器從地面發(fā)射，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)移軌道后，繞太陽(yáng)系另一行星運(yùn)行，

若再經(jīng)過(guò)幾次變軌后，進(jìn)入如圖所示的橢圓軌道Ⅰ，然后在軌道上P點(diǎn)變軌進(jìn)入圓軌道Ⅱ，已知

萬(wàn)有引力常量為G，則（）

A．飛行器從地面發(fā)射的速度小于11.2km/s

B．飛行器在P點(diǎn)從軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ時(shí)機(jī)械能減小

C．若測(cè)出飛行器在軌道Ⅱ上運(yùn)行的速率，可求該行星質(zhì)量

D．若測(cè)出飛行器在軌道Ⅰ經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速率和到該行星中心的距離，可求該行星質(zhì)量

【解答】解：A、因?yàn)轱w行器已經(jīng)離開(kāi)了地球的束縛，成為了另一顆行星的衛(wèi)星，所以發(fā)射速度

需要大于第二宇宙速度11.2km/s，故A錯(cuò)誤；

B、飛行器在P點(diǎn)從軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ需要點(diǎn)火減速，對(duì)飛行器做負(fù)功，所以飛行器的機(jī)械能減

小，故B正確；

C、根據(jù)牛頓第二定律有，可得行星的質(zhì)量為M，因?yàn)椴恢儡壍腊霃絩，所以

23

???????

無(wú)法計(jì)算行星的質(zhì)量，故2=錯(cuò)誤；=

M?C??

D、若測(cè)出飛行器在軌道Ⅰ經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速率和到該行星中心的距離，但是飛行器在P點(diǎn)后要做

離心運(yùn)動(dòng)，不滿(mǎn)足，所以無(wú)法計(jì)算行星的質(zhì)量，故D錯(cuò)誤。

2

?????

故選：。2=

B??

【變式2-3】（2024?香坊區(qū)校級(jí)二模）2023年5月30日16時(shí)29分，神舟十六號(hào)載人飛船入軌后，

成功對(duì)接于空間站天和核心艙徑向端口，形成了三艙三船組合體，飛船發(fā)射后會(huì)在停泊軌道（Ⅰ）

上進(jìn)行數(shù)據(jù)確認(rèn)，后擇機(jī)經(jīng)轉(zhuǎn)移軌道（Ⅱ）完成與中國(guó)空間站的交會(huì)對(duì)接，其變軌過(guò)程可簡(jiǎn)化為

下圖所示，已知停泊軌道半徑近似為地球半徑R，中國(guó)空間站軌道距地面的平均高度為h，飛船

在停泊軌道上的周期為T(mén)1，則（）

A．飛船在轉(zhuǎn)移軌道（Ⅱ）上各點(diǎn)的速率均小于7.9km/s

B．飛船在停泊軌道（Ⅰ）與組合體在空間站軌道（Ⅲ）上的速率之比為（R+h）：R

C．飛船在轉(zhuǎn)移軌道（Ⅱ）上正常運(yùn)行的周期為

3

1?

D．飛船在轉(zhuǎn)移軌道（Ⅱ）上Q點(diǎn)的加速度小于?空=間?站軌(1道+（2Ⅲ?)）上Q點(diǎn)的加速度

【解答】解：A、第一宇宙速度（7.9km/s）是最小的發(fā)射速度，飛船在轉(zhuǎn)移軌道（Ⅱ）上P點(diǎn)的

速率均大于7.9km/s，故A錯(cuò)誤；

B、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力有：m，解得：v，所

2

??????

2==

以飛船在停泊軌道（Ⅰ）與組合體在空間站軌道（Ⅲ）上的速率?之比為?，故B錯(cuò)誤；?

?+?

?

C、根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可得2?+?，則飛船在轉(zhuǎn)移軌道（Ⅱ）上正常運(yùn)行的周期為

33

?(2)

2=2?=

?1?

，故C正確；

?3

?1(1+)

D、根據(jù)牛2?頓第二定律可得ma，解得a，所以飛船在轉(zhuǎn)移軌道（Ⅱ）上Q點(diǎn)的加速

?????

2==2

度等于空間站軌道（Ⅲ）上Q?點(diǎn)的加速度，故D?錯(cuò)誤。

故選：C。

題型三：雙星、多星模型

【例3】（2024?天心區(qū)校級(jí)模擬）據(jù)報(bào)道，中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái)捕捉到一個(gè)“四星系統(tǒng)”。兩種可

能的四星系統(tǒng)構(gòu)成如圖所示，第一種如甲所示，四顆星穩(wěn)定地分布在正方形上，均繞正方形中心

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，第二種如乙所示，三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，第四顆星相對(duì)其他三

星位于三角形中心，位于頂點(diǎn)的三顆星繞三角形中心運(yùn)動(dòng)。若兩系統(tǒng)中所有星的質(zhì)量都相等，AB

＝CD，則第一、二種四星系統(tǒng)周期的比值為（）

A．B．

23+333+3

32+422+4

C．D．

32+423+3

【解2答】解3+：3對(duì)于第一種四星系統(tǒng)，圖甲中每顆星3體受2力+2情況如下圖所示。

設(shè)AB＝CD＝a，由幾何關(guān)系可知，圖甲中正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度為a

由萬(wàn)有引力定律可得：F1，F(xiàn)22

????

=?2=?2

每顆星體所受合力大小為：F合?1＝2F1cos4(5°2?+)F2

由合力提供向心力有：F合1

2

4?2?

=?2?

聯(lián)立解得：?12

23

242??

?1=

對(duì)于第二種四星系(2統(tǒng)2，+圖1)?乙?中三角形頂點(diǎn)上的星體受力情況如下圖所示。

由幾何關(guān)系可知，圖乙中三角形的邊長(zhǎng)：r2，三角形的頂點(diǎn)與中心的距離為：

?23

==?

r3???60°3

2

=3?

由萬(wàn)有引力定律可得：F3，F(xiàn)4

????

=?2=?2

23

每顆星所受合力大小為：F合2＝?2F3cos30°?+F4

由合力提供向心力有：F合2

2

4?

=?2?3

聯(lián)立解得：?

23

232??

?2=

9(3+3)??

可得第一、二種四星系統(tǒng)周期的比值為：，故B正確，ACD錯(cuò)誤。

?133+3

=

故選：B。?222+4

【變式3-1】（2024?龍鳳區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，P、Q恒星構(gòu)成的雙星系統(tǒng)，一顆質(zhì)量為m，另一

顆質(zhì)量為2m，兩星均視為質(zhì)點(diǎn)且距離保持不變，均繞它們連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。軌道

平面上的觀測(cè)點(diǎn)F相對(duì)于O點(diǎn)靜止，連續(xù)兩次出現(xiàn)P、Q與O、F共線的時(shí)間間隔為t。僅考慮雙

星間的萬(wàn)有引力，引力常量為G。則下列說(shuō)法不正確的是（）

A．恒星Q的質(zhì)量為2m

B．恒星P圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為

?

C．任意時(shí)間內(nèi)兩星與O點(diǎn)的連?線掃過(guò)的面積相等

D．恒星P、Q之間的距離為

21

3???3

(2)

【解答】解：AB.設(shè)恒星P、Q的?質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑分別為r1、r2，且

兩恒星之間的距離為L(zhǎng)，根據(jù)題圖可知r1＞r2，而根據(jù)題意可得。根據(jù)可得兩恒星

?2?

=??=

轉(zhuǎn)動(dòng)得角速度，根據(jù)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力有：2，?，解

??1?22?1?22

211222

?=??=????=???

得：，由此可知m1＝m，m2＝2m，即恒星Q的質(zhì)?量為2m，故AB正?確；

?1?2

=

C.由于?2兩恒?星1角速度相同，但半徑不同，且P的軌跡半徑大于Q的軌跡半徑，因此任意時(shí)間內(nèi)兩

星與O點(diǎn)的連線掃過(guò)的面積SP＞SQ，故C錯(cuò)誤；

D.根據(jù)，，解得：，則有：

2222

?1?22?1?22??2???1?

2112221212

??=?????=????=??=??+?=

，可得，故D正確。

22222321

??1???1???3???3

2

本題?選擇+錯(cuò)誤?的，=故選?：=C。3??=(?)

【變式3-2】（2024?天心區(qū)校級(jí)模擬）宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的雙星系統(tǒng)。雙星系統(tǒng)由兩顆

相距較近的恒星組成，在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上的一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)

動(dòng)。某雙星系統(tǒng)由甲、乙兩顆恒星組成，甲、乙兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，且m1＞m2。它

們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，萬(wàn)有引力常量為G。關(guān)于雙星系統(tǒng)的下列說(shuō)法正確的是（）

A．恒星甲做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大于恒星乙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

B．恒星甲做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大于恒星乙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度

．雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的速率之和

C3

(?1+?2)

?1+?2=?

D．雙星之間的距離2

2

?(?1+?2)

?=?2

【解答】解：A、兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的4?角速度相等，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：

?1?22

211

??=???=

2

22

可?得?：?

?1?2

=

根據(jù)題設(shè)?2條件?可1知：m1＞m2

則有：r1＜r2

則恒星甲做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑小于恒星乙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，故A錯(cuò)誤；

B、根據(jù)v＝r可知恒星甲做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度小于恒星乙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，故B

錯(cuò)誤；ω

CD、根據(jù)A中表達(dá)式，變形后有：，

?22?12

?2=??1?2=??2

兩式相加整理后得：??

32

?(?1+?2)??(?1+?2)

?=2=2

雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的速率之和：?4?，故D正確，C錯(cuò)誤。

3

122??12

故選：D。?+?=??=?(?+?)

【變式3-3】（2024?蜀山區(qū)校級(jí)三模）宇宙中大多數(shù)恒星系都是雙星系統(tǒng)，如圖所示，兩顆遠(yuǎn)離其他

星系的恒星A和B在相互之間的引力作用下繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且A星距離O點(diǎn)更近。軌

道平面上的觀測(cè)點(diǎn)P相對(duì)O點(diǎn)靜止，觀察發(fā)現(xiàn)每隔T時(shí)間，兩顆恒星與O、P共線。已知引力常

量為G，其中一顆恒星的質(zhì)量為m、另一顆恒星的質(zhì)量為3m，恒星的半徑都遠(yuǎn)小于它們之間的

距離。則以下說(shuō)法正確的是（）

A．A的質(zhì)量為m

B．該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)

C．A、B相距的距離為

32

4???

2

D．在相同時(shí)間里，A、?B=兩顆恒?星與O點(diǎn)連線掃過(guò)的面積之比為1：3

【解答】解：A、雙星系統(tǒng)的周期相同，相互之間引力等大，因此質(zhì)量大的恒星半徑較小，A的

質(zhì)量為3m，故A錯(cuò)誤；

BD、觀察發(fā)現(xiàn)每隔T時(shí)間，兩顆恒星與O、P共線，該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期為2T，而單位時(shí)間

內(nèi)恒星與O點(diǎn)連線掃過(guò)的面積，則相等時(shí)間內(nèi)，A、B兩顆恒星與O點(diǎn)連線掃過(guò)的面積

2

??

之比為1：9，故BD錯(cuò)誤；?=2?

C、由萬(wàn)有引力提供向心力有，且r1+r2＝r，解得A、B相距的

22

?1?24?4?

2112222

??=??(2?)=??(2?)

距離為，故C正確。

32

4???

2

故選：C?。=?

題型四：衛(wèi)星（天體）追及相遇模型

【例4】（2024?海珠區(qū)校級(jí)模擬）無(wú)地面網(wǎng)絡(luò)時(shí)，華為Mate60Pro可連接天通一號(hào)進(jìn)行衛(wèi)星通話。

天通一號(hào)目前由01、02、03共三顆地球同步衛(wèi)星組網(wǎng)而成，分別定位于東經(jīng)101.4度、東經(jīng)125

度、東經(jīng)81.6度。已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，同步衛(wèi)星運(yùn)行的周期為T(mén)，

下列說(shuō)法正確的是（）

A．若03星加速，則一定可以追上01星

B．三顆衛(wèi)星的線速度一定比赤道上地面物體的線速度小

C．三顆衛(wèi)星的軌道半徑一定都是

322

???

2

D．三顆衛(wèi)星的線速度大小一定都是4?

3

22

【解答】解：A.若03星加速，則軌道半2?徑??會(huì)?增大，無(wú)法追上01星，故A錯(cuò)誤；

B.地球同步衛(wèi)星與地球赤道上物體的角速度相等，由v＝r可知，三顆衛(wèi)星的線速度一定比赤道

上地面物體的線速度大，故B錯(cuò)誤；ω

C.由

??2?2

?2=?()?

??

???

2=??

可?得三